Matematica Elementar II, Notas de estudo de Física

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Matemática

ElementarII

ClícioFreiredaSilva

CláudioBarrosVitor

ArnaldoBarbosaLourenço

FICHA TÉCNICA

Governador Eduardo Braga Vice-Governador Omar Aziz Reitor Lourenço dos Santos Pereira Braga Vice-Reitor Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Planej. e Administração Antônio Dias Couto Pró-Reitor de Extensão e Assuntos Comunitários Ademar R. M. Teixeira Pró-Reitor de Ensino de Graduação Carlos Eduardo S. Gonçalves Pró-Reitor de Pós-Graduação e Pesquisa Walmir de Albuquerque Barbosa

Coordenador Geral do Curso de Matemática (Sistema Presencial Mediado) Carlos Alberto Farias Jennings NUPROM Núcleo de Produção de Material Coordenador Geral João Batista Gomes Projeto Gráfico Mário Lima Editoração Eletrônica Helcio Ferreira Junior Horácio Martins Mário Lima Revisão Técnico-gramatical João Batista Gomes

Silva, Clício Freire da. S586m Matemática elementar II / Clício Freire da Silva, Cláudio Barros Vitor, Arnaldo Barbosa Lourenço. – Manaus/AM: UEA, 2006. – (Licenciatura em Matemática. 2. Período)

120 p.: il. ; 29 cm. Inclui bibliografia

1. Matemática – Estudo e ensino. I. Vitor, Cláudio Barros. II. Lourenço, Arnaldo Barbosa. III. Título. CDU (1997): 51 CDD (19.ed.): 510

SUMÁRIO

• Palavra do Reitor
• UNIDADE I – Conjuntos numéricos
• TEMA 01 – Conjunto dos números reais
• TEMA 02 – Polinômios
• UNIDADE II – Produtos notáveis e fatoração
• TEMA 03 – Produtos notáveis
• TEMA 04 – Cubo da soma de dois termos
• TEMA 05 – Fatoração
• TEMA 06 – Fatoração do trinômio quadrado perfeito
• TEMA 07 – Frações algébricas
• TEMA 08 – Cálculo do mmc e do mdc de polinômios
• UNIDADE III – Potências e radicais
• TEMA 09 – Potenciação
• TEMA 10 – Usando potências de
• TEMA 11 – Radicais
• TEMA 12 – Equações do 1.º grau
• TEMA 13 – Equações literais
• TEMA 14 – Equações fracionárias
• UNIDADE IV – Inequações e sistemas
• TEMA 15 – Inequação do 1.º grau
• TEMA 16 – Sistemas de equações e inequações do 1.º grau com duas variáveis
• TEMA 17 – Representação gráfica de uma inequação do 1.º grau com duas variáveis
• UNIDADE V – Equação do 2.º grau e intervalos em IR
• TEMA 18 – Equação do 2.º grau
• TEMA 19 – Relação entre os coeficientes e as raízes
• TEMA 20 – Intervalo reais
• UNIDADE VI – Funções
• TEMA 21 – Função ou aplicação
• TEMA 22 – Domínio
• TEMA 23 – Função do 1.º grau
• TEMA 24 – Raiz ou zero da função do 1.º grau
• TEMA 25 – Função do 2.º grau
• TEMA 26 – Inequação do 2.º grau
• TEMA 27 – Inequação do “tipo” quociente e do “tipo” produto
• Respostas de Exercícios
• Referências

PALAVRA DO REITOR

A realidade amazônica, por si só, é um desafio à educação tradicional, aquela que teima em ficar arraigada à sala de aula, na dependência única dos métodos triviais de ensino. A Universidade do Estado do Amazonas já nasceu consciente de que o ensino presencial mediado é a única estratégia capaz de respon- der aos anseios de um público que, por estar disperso, tem de ser atendido por projetos escudados em dinamismo técnico-científico.

Assim, a Licenciatura Plena em Matemática, ancorada no Sistema Presencial Mediado, nasceu para ofere- cer aos discentes as habilidades necessárias para que eles venham a construir seus próprios objetivos exis- tenciais, estimulando-lhes a ousadia de aceitar o novo e de criar novas possibilidades de futuro, dando-lhes uma visão multifacetada das maneiras de educar.

Os livros-textos em que o curso se apóia são produzidos com o rigor didático de quem sabe que a história da educação, no nosso Estado, está sendo reescrita. Os agentes desse processo têm visão crítica e apos- tam na formação de novos professores que saberão aliar inteligência e memória, não permitindo que o ensi- no em base tecnológica ganhe a conotação de “um distanciado do outro”.

A autonomia de agir que cada um está aprendendo a conquistar virá, em breve, como resposta aos desafios que se impõem hoje.

Lourenço dos Santos Pereira Braga Reitor da Universidade do Estado do Amazonas

TEMA 01

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS:

INTRODUÇÃO, NÚMERO RACIONAL

CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS

1. Introdução.

É possível repartir igualmente vinte bolinhas de gude entre três crianças carentes? Vejamos:

Nesse caso, não é possível, pois cada criança receberá seis bolinhas e ainda sobrarão duas bolinhas. Conclui-se, então, que a divisão de dois nú- meros inteiros nem sempre é possível de ser realizada no conjunto Z. Daí a necessidade de ampliar o conjunto Z para o conjunto dos números racionais (Q), pois não existe número inteiro que represente o quociente 20 : 3.

No século VI a.C., na Grécia, Pitágoras formou uma sociedade secreta e mística. Os membros dessa sociedade dedicaram-se ao estudo dos números, porque acreditavam que tudo que existe no Universo podia ser explicado por meio de números. Os pitagóricos conheciam os números inteiros e as frações, que representavam comparações entre duas grandezas de mesma espécie. Com a descoberta do Teorema de Pitágoras, os pensadores verificaram que a razão entre a medida d da diagonal do quadrado e a medida

do lado do quadrado não era um número racional, pois essas medidas nunca podiam ser ambas expressas por números inteiros. Isso levou à criação dos números irracionais, que não são inteiros e nem racionais, pois não podem ser escritos como fração nem como decimal exato ou periódico. E sabe-se, hoje, que

2. Número Racional (Q) É qualquer número que pode ser escrito como quociente de dois números inteiros, sendo o divisor diferente de zero.

2.1 Forma decimal Há duas formas de se representar um número racional: a forma fracionária e a forma deci- mal. Dada a forma fracionária, basta dividir o numerador pelo seu denominador para obter a forma decimal. Veja os exemplos: a) Se dividirmos 15 metros de cabo em oito pedaços de comprimentos iguais, qual será o comprimen- to de cada pedaço?

→ representação fracionária.

1,875 → representação decimal.

O comprimento de cada pedaço de cabo será de 1,875m.

b) → representação fracionária.

1,333... → representação decimal.

A representação decimal de um número racional pode apresentar: 2.1.1 Um número finito de algarismos não- nulos. Nesse caso, o número racional é chamado de decimal exato , como no exemplo a.

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Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

Alguns números irracionais são identificados por símbolos especiais.

O número π (pi)

Há muitos anos, os egípcios descobriram que a razão entre o comprimento de uma cir- cunferência e o seu diâmetro é a mesma para qualquer circunferência. É essa razão que hoje chamamos de π, representando um número irracional de valor aproximadamente igual a 3,1415...

C

2r

Logo, C = 2.π.r

A roda de um automóvel tem 0,6m de diâmetro. Nessas condições, responda:

a) Qual será, aproximadamente, o comprimento da circunferência da roda?

b) Se essa roda der 5000 voltas completas, de quantos metros será a distância percorrida pelo automóvel?

Solução:

a) C =? C = 2.π.r

d = 0,6 m = 0,3 m

C = 2. 3,14. 0,3 →

C = 1,884m

b) N.° de voltas completas = 5000.

Distância percorrida pelo automóvel: d = 5000. 1, d = 9420m

4. Números Reais (IR) É o conjunto formado por todos os números racionais e por todos os números irracionais. Em resumo, temos:

O diagrama abaixo permite-nos visualizar que:

I ⊂ IR Q ∪ I = IR Q ∩ I = ∅ IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR

4.1 Representação geométrica dos números reais. Para cada número real, há um ponto correspon- dente na reta e, para cada ponto da reta, há um número correspondente. Por isso, dizemos que existe uma correspondência um a um entre os números reais e os pontos de uma reta.

Escreva entre que números inteiros consecu- tivos fica cada um dos números reais abaixo. Identifique se ele é real racional ou real irracional. a) b) c) 8,666... Solução: a) : real irracional; fica entre 5 e 6.

c) : real racional; fica entre 2 e 3. d) 8,666...: real racional; fica entre 9 e 8.

4.2 Operações em IR No conjunto dos números reais, podemos efe- tuar as operações de adição, subtração, multi- plicação e divisão (divisor diferente de zero).

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Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

Propriedades Sendo a , b e c números reais quaisquer, podemos escrever as propriedades das se- guintes operações: a) Adição

• Fechamento: (a + b) ∈ IR

Ex.: 10 + 20 = 30 (30 ∈ IR)

• Comutativa: a + b = b + a Ex.: 8 + 9 = 9 + 8 = 17
• Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) Ex.: 3 + (5 + 4) = (3 + 5) + 4 = 12
• Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a Ex.: 6 + 0 = 0 + 6 = 6
• Elemento oposto: a + (−a) = 0 Ex.: 4 + (−4) = 0 b) Subtração
• Fechamento: (a – b) ∈ IR

Ex.: 3 – 5 = 2 (− 2 ∈ IR)

c) Multiplicação

• Fechamento: (a. b) ∈ IR

Ex.: 3. 5 = 15 (15 ∈ IR)

• Comutativa: a. b = b. a Ex.: 9. 3 = 3. 9 = 27
• Associativa: a .(b. c) = (a. b). c Ex: (4. 5). 6 = 4 .(5. 6) = 120
• Elemento inverso: , a ≠ 0

Ex.:

• Elemento neutro: a. 1 = 1. a = a Ex.: 3. 1 = 1. 3 = 3
• Distributiva: a. (b + c) = a.b + a.c Ex.: 3. (5 + 4) = 3. 5 + 3. 4 d) Divisão
• Fechamento: (a : b) ∈ IR, b ≠ 0

Ex.: 3 : 5 = 0,6 (0,6 ∈ IR)

1. Dados os números 0; 0,7; ; 7,7; –7; 0,70007... quais são: a) reais e racionais? b) reais e irracionais?
2. Represente os seguintes números na forma

decimal: a) 5/4 b) 5/3 c) 5/6 d)

3. Represente com uma fração irredutível. a) 0,45 b) 0,454545... c) 2,16 d) 5,444...
4. Considere – 1,444... e B = 0,7 – 0,777...

Determine.

5. Diga qual a propriedade aplicada em cada caso: a) –3 + 8 = 8 + 3 b) 5. 8 = 8. 5 c) 3 + (–2 + 4) = [3 + (–2)] + 4 d) (4. 3). 2 = 4 .(3. 2)
6. Represente na reta numérica real os seguintes números.

a) b) c) (^) d)

7. Determine o único conjunto cujos elementos são todos números racionais: a) { 1/2; ; 3, 5, } c) {–3, –2, , 0} b) {–1, 2/7, 0, , } d) { 0, , ; 5,7}
8. Com auxílio de um diagrama, represente a seguinte afirmação: Q e I são conjuntos disjuntos.
9. Utilizando a propriedade distributiva da multi- plicação, desenvolva os produtos: a) 2. (b + 3) c) – 4. (x + 4) b) 17. (c – 2) d) – 2. (a – b)
10. Qual a correspondência existente entre os pontos de uma reta e os números reais? Justifique sua resposta.
11. Dê um exemplo de dois números irracionais cuja soma seja um número racional.
12. O produto ou quociente de dois números irra- cionais pode ser um número racional?
13. Quando um número decimal não–exato é um número irracional?

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UEA – Licenciatura em Matemática

portanto, o valor numérico da expressão algébrica para x = 4 é 4.

b) A expressão não possui valor numérico real

quando a = 0, pois esse valor anula o deno- minador.

3. Monômio ou termo algébrico
   • Determinação do perímetro de um quadrado de lado a.

Expressão algébrica: 4.a = 4a

• Determinação do volume de um paralelepí- pedo retângulo de arestas a, b e c.

Expressão algébrica: a .b .c = abc Portanto as expressões algébricas racionais inteiras representadas por um único produto são chamadas de monômios (ou termos algé- bricos). Exemplo:

a) 5x³y² → coeficiente: 5; parte literal: x³y²

b) abc → coeficiente: 1 ; parte literal: abc

c) Uma revendedora de veículos vendeu, numa se- mana, 5 automóveis a x reais cada, e 6 motos a y reais cada. Qual a expressão algébrica que repre- senta o total arrecadado na venda desses veículos?

• Total arrecadado com a venda dos automóveis: 5x.
• Total arrecadado com a venda das motos: 6y.
• Total arrecadado com a venda desses veículos pode ser representado pela soma: 5x + 6y. Temos, aí, uma adição de monômios. Conclui-se, então, que qualquer adição algébrica de monômios denomina-se polinômio. Exemplo:

a) 5x + 8 → é um polinômio de dois termos, tam-

bém chamado binômio.

b) y² – 7y + 10 → é um polinômio de três termos,

também chamado de trinômio.

c) a³ + 5a²b + 6ab² + b³ → é um polinômio de

quatro termos.

Cuidado!!! O grau de um monômio, com coeficientes não- nulos, é indicado pela soma dos expoentes da sua parte literal. Exemplos:

4. Monômios semelhantes Verifique:
   • Os monômios 5a³b² e a³b² apresentam a

mesma parte literal: a³b².

• Os monômios 3m²n e m²n apresentam a

mesma parte literal: m²n. Portanto conclui-se que dois ou mais monô- mios são semelhantes quando apresentam a mesma parte literal ou não possuem parte liter- al.

5. Operações com monômios

5.1 Adição algébrica de monômios. Uma expressão algébrica em que todos os mo- nômios são semelhantes pode ser simplificada somando-se algebricamente os coeficientes nu- méricos e conservando-se a parte literal. Observe a figura:

• Área do retângulo ACDF é expressa pelo monômio: 9xy.
• Área do retângulo ABEF é expressa pelo monômio: 5xy.
• Área do retângulo BCDE é expressa pelo monômio: 4xy.

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UEA – Licenciatura em Matemática

Logo, 9xy – 5xy = (9 – 5)xy = 4xy. Exemplos: a) 3x²y + 5x²y = (3 + 5)x²y = 8x²y

b) 6xy – xy + xy = (6 – + )xy = ( ) xy

5.2 Multiplicação de Monômios

O produto de dois ou mais monômios pode ser obtido multiplicando-se os coeficientes numéri- cos e as partes literais entre si. Na figura:

O volume do paralelepípedo (V) é: V = (2ab).(3b).(c) V = (2. 3. 1). (a. b. b. c) V= 6ab²c Logo, o monômio 6ab²c representa o volume desse paralelepípedo. Exemplo: a)

b)

=

5.3 Divisão de monômios

O quociente de dois monômios pode ser obti- do dividindo-se os coeficientes numéricos e as partes literais entre si. Exemplo: a)

b)

5.4 Potenciação de monômios

A potência de um monômio pode ser obtida elevando-se o coeficiente numérico e a parte li- teral à potência indicada.

Exemplos:

a)

b)

5.5 Raiz quadrada de um monômio A raiz quadrada de um monômio pode ser obti- da extraindo-se a raiz quadrada do coeficiente numérico e dividindo-se por 2 o expoente de cada variável da parte literal. Exemplos:

a) = 6 a²b³

b)

6. Grau de um polinômio

O grau de um polinômio não-nulo é dado pelo seu termo de maior grau não-nulo.

Exemplos:

• O polinômio x 4 y – x^5 y^3 + 3x^2 yz é do 8.º grau.
• O polinômio 2a3 + 5a2b2 – 6ab é do 4.º grau.

6.1 Polinômio com uma só variável

O grau do polinômio corresponde ao maior expoente com que a variável figura num dos termos não-nulos do polinômio.

Exemplos:

• O polinômio 6x 3 + 2x^2 + 4 é do 3.º grau.
• O polinômio –2a3 + 5a7 – 6a + 3 é do 7.º grau.

7. Operações com Polinômios

7.1 Adição de Polinômios Pense e responda: Qual o polinômio reduzido que dá o perímetro do triângulo ao lado?

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Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

polinômio que multiplicado por 3x dá 6x² + 9x.

Esse polinômio é 2x + 3, pois:

3x. (2x + 3) = 6x² + 9x.

Observe que o polinômio 2x + 3 pode ser obtido dividindo-se os dois termos de 6x² + 9x por 3x.

Então: (6x² + 9x) : (3x) = 2x + 3

Exemplos:

a) (18x³ – 12x² + 3x) : (–3x) = –6x² + 4x –

b) (7x³y² – 5x²y^4 ) : (–3x²y) = xy + y³

• Divisão de polinômio por polinômio

A divisão de polinômio por outro polinômio não-nulo será feita, considerando apenas os polinômios com uma variável.

Para facilitar essas divisões, devemos escrever os polinômios segundo as potências decres- centes da variável, e o polinômio dividendo de- ve ser escrito na forma geral.

Exemplo:

Calcular o quociente de (8x² – 10x + 5) por (2x + 1).

• Começamos dividindo o primeiro termo do dividendo (8x²) pelo primeiro termo do polinômio divisor (2x). Obtemos 4x. 8x² – 10x + 5 |2x + 1 4x
• Multiplicamos o quociente obtido (4x) pelo divisor (2x + 1), obtendo o produto (8x² + 4x); subtraímos esse produto do dividendo: 8x² – 10x + 5 | 2x + 1 –8x² – 4x 4x –14x + 5

Repetimos os passos anteriores para calcular o quociente de –14x + 5 por 2x + 1.

Dividimos (–14x) por (2x), obtendo o segundo termo do quociente (–7).

Multiplicamos (–7), por (2x + 1), obtendo – 4x – 7.

Subtraímos esse produto de –14x + 5 e obte- mos o resto (12).

8x² – 10x + 5 |2x + 1 –8x² – 4x 4x – 7

–14x + 5 14x + 7

Como o resto (12) tem grau zero, que é menor que o grau do divisor (2x + 1), de grau 1, fica encerrada a divisão. Logo: Quociente: 4x + 7 Resto: 12

1. Determine uma expressão algébrica que repre- senta a área total de um cubo planificado. Solução:

Área total do cubo planificado: A (^) t A (^) t = a. a + a. a + a. a + a. a + a. a + a. a A (^) t = a² + a² + a² + a² + a² + a² = 6a²

2. Determine o polinômio que, dividindo por 2x³ + 5x, tem quociente (x² – 1) e resto x + 5. Solução: P | 2x³ + 5x x + 5 x² – 1 P = (x² – 1).(2x³ + 5x) + x + 5 P = x². 2x³ + x². 5x – 1. 2x³ – 1. 5x + x + 5 P = 2x^5 + 5x³ – 2x³ – 5x + 5 P = 2x^5 + 3x³ – 5x + 5
3. Calcule o quociente de 8x³ – 1 por 2x – 1. Solução: Como o polinômio dividendo é incompleto, vamos ordenar o polinômio segundo a ordem decrescente das potências da variável x. 8x³ + 0x² + 0x – 1 |2x – 1 –8x³ + 4x² 4x² + 2x + 1 4x² + 0x – –4x² +2x Quociente: 4x² + 2x + 1 2x – 1 Resto: 0 –2x + 1 0 Quando o resto é zero, dizemos que a divisão é exata.

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Matemática Elementar II – Conjuntos Numéricos

1. Efetue as seguintes expressões algébricas, reduzindo os termos semelhantes : a) 6 a² – 3b² + 5a – 7a² + b² – 2a b) x²y – xy + 2x²y + 2xy – xy
2. Efetue os seguintes produtos: a) (7m²n).(mn²).(–2mn) (^) b)
3. Efetue as seguintes divisões:

a) (–30a^3 b 2 c^4 ) : (–6ab 2 c^3 ) b)

4. Calcule as seguintes potências:

a) (–5a²bc³)³ b) (–4a^3 b^4 ) 2 c)

5. Calcule a raiz quadrada:

a) b)

c)

6. De acordo com Lorentz, existe uma relação ideal entre a altura T (em cm) e a massa M (em kg) de um indivíduo. Essa relação é dada pela seguinte expressão algébrica: M = T – 100 – (T – 150), para um homem.

M = T – 100 – (T – 150), para uma mulher.

Com base nisso, responda: a) Qual a massa ideal de um homem que tem 1,80m de altura? E de uma mulher com 1,65m de altura? b) Qual a altura ideal de um homem cuja massa é 70kg? E de uma mulher de massa 55kg?

7. Numa partida de tênis, Paulo deu x saques e acertou 45% deles. Lúcio, seu adversário, deu y saques e acertou 60% desses saques menos
   2. Nessas condições, determine: a) O polinômio que representa a quantidade de sa- ques que Paulo acertou. b) O polinômio que representa a quantidade de sa- ques que Lúcio acertou.

c) O polinômio que representa a quantidade de sa- ques que os dois acertaram juntos.

8. Calcule o valor numérico das expressões algé- bricas:

a) , para x = 2 e y = 3.

b) x²– 4x+5y, para x=1 e y= –2.

9. Determine os valores das variáveis, para os quais as seguintes expressões não possuem valor numérico real: a) b)
10. Uma locadora cobra pelo aluguel de um veícu- lo uma taxa fixa de R$ 1.000,00 mais R$ 40, por hora de uso. Qual o polinômio que repre- senta o preço a ser pago por um locador que utilizou o carro durante t horas?
11. Cláudia é dona de uma papelaria. Ela compra um caderno por x reais e o revende por y reais. a) Qual a expressão algébrica que representa o lu- cro de Cláudia por caderno vendido? b) Qual foi o lucro que Cláudia teve na venda de 24 cadernos que foram comprados por R$ 3,20 e vendidos por R$ 8,70?
12. Sendo A = x + 5, B = x² + 2x + 1 e C = 2x² – 4, determine: a) A. B b) B. C c) A. C
13. Determine os quocientes: a) (9x^5 – 12x^4 + 18x³ – x²) : (3x²) b) (20x¹³ – 16x^10 + 8x^5 ) : (4x^3 )
14. Determine o quociente e o resto: a) (8x² – 10x + 5) : (2x – 2) b) (12x³ – 17x² + 10x – 3) : (3x² – 2x + 1)
15. Determine o polinômio que, dividido por (x + 5), tem por quociente (x – 2) e o resto 3.
16. A área do retângulo abaixo é expressa pelo polinômio 2x² + 11x + 15. Qual é o polinômio que representa a medida da altura desse retângulo?

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