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Higor Rosenberger CF1820 LF LABORATÓRIO DE FÍSICA BÁSICA 2 Questionário: Pêndulo Físico Questão 1. Defina um pêndulo simples.
Um pêndulo simples consiste numa massa m suspensa por um fio ou haste de comprimento l e massa desprezível. Desse modo, m move-se sobre um círculo de raio l sob a ação da força gravitacional m⃗g e a tensão T⃗. Decompondo a aceleração em componentes tangencial e radial temos:
(1) ma r = −ml
( dθ dt
) 2 = mg cos θ − T
ma θ = ml
d^2 θ dt^2
= mg sin θ ⇒
d^2 θ dt^2
g l
sin θ Figura^ 1.^ Pêndulo^ simples. Retirada do livro Nussenzweig M., Curso de Física Básica Vol. 2
Onde a Eq. 2 é justamente a equação de movimento do pêndulo simples.
Questão 2. Defina um pêndulo físico.
Qualquer corpo rígido suspenso de um ponto O de tal forma que possa girar livremente em torno de um eixo horizontal, passando pelo ponto de suspensão O, constitui um pêndulo físico.
Se θ é o ângulo de desvio de OG em relação à vertical e M a massa total, o torque (τ ) em relação a O é
(3) τ = −M gs sin θ
Sendo I o momento de inércia do pêndulo em relação ao eixo horizontal que passa por O, temos que
(4) Iα = I
d^2 θ dt^2
= τ = −M gs sin θ
Comparando esta equação a Eq. 2 vemos
que são idênticas, sendo l =
M s
Figura 2. Pêndulo Físico. Re- tirada do livro Nussenzweig M., Curso de Física Básica Vol. 2
E de fato, o pêndulo simples é um caso particular de pêndulo físico, onde a massa está toda concentrada num ponto à uma distância l do ponto de suspensão O, de modo que s = l e I = M l^2.
(5) l =
I
M s
⇒ s =
M s^2 M s
⇒ s = s
Questão 3. Para uma peça de formato qualquer, qual é a expressão do teorema dos eixos paralelos para o momento de inércia?
Para relacionarmos o momento de inércia de um corpo a qualquer eixo arbitário, conhe- cendo o I CM , podemos associar ao eixo O′z, que passa pelo centro de massa, um eixo O′′z′ de modo que O′z//O′′z′. Seja l a distância de O′′^ até O′, ρ e ρ′^ a dis- tância entre O′^ e O′′^ e o eixo de rotação, res- pectivamente. Imaginemos agora que o corpo é composto por uma pilha de fatias delgadas perpendiculares ao eixo de rotação. Figura 3. Compressão de uma mola. Retirada do livro Nus- senzweig M., Curso de Física Bá- sica Vol. 2
Dessa forma, a contribuição de cada uma dessas fatias ao momento de inércia é
(6) dl =
∫ ρ′ 2 dm
Observe que ρ′^ = ρ + l, portanto ρ′^2 = ρ^2 + 2lρ + l^2 Substituindo na Eq. 6
(7) dI =
∫ ρ^2 dm +
∫ 2 lρdm +
∫ l^2 dm
Sendo r o vetor de posição em relação ao centro de massa, considerando uma distribuição contínua de matéria, temos
∫ rdm = 0
Seja r = ρ + Z, onde Z = OO′, então
∫ ρdm +
∫ Zdm = 0
Como ρ e Z têm componentes vetoriais independentes, então
∫ ρdm = 0
Pela escolha de referenciais
τ |⃗ | = F yˆ · dxˆ Destarte
τ = M g · d sin θ Para oscilações de amplitude muito pequena, podemos dizer que sin θ ≈ θ. Temos então
(11) τ = M g · dθ
Como o ponto C detém trajetória em formato de um arco de circunferência durante o movimento, também podemos calcular o torque (τ ) como
τ = F · Rθ Onde F = M ω^2 R. Portanto
τ = M ω^2 R^2 θ Como M R^2 = I d , temos
(12) τ = I d ω^2 θ
Igualando as Eqs. 11 e 12
(13) M gd sin θ = I d ω^2 θ ⇒ ω =
√ M gd I d
Como T =
2 π ω
(14) T =
2 π √ M gd I d
⇒ T = 2π
√ I d M gd
Questão 7. Mostre, utilizando o teorema dos eixos paralelos, que:
T = 2π
√√ √√ I CM + M d^2 M gd onde I CM é o momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa.
De acordo com o Teorema dos Eixos Paralelos o momento de inércia de um corpo com relação a qualquer eixo é dado por
I = I CM + M d^2
onde I CM é o momento de inércia do corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa, M a massa do corpo e d a distância entre o eixo que passa pelo centro de massa e o eixo de referência. Dessa forma, uma vez que
T = 2π
√ I M gd Então
(15) T = 2π
√√ √√ I CM + M d^2 M gd Questão 8. Mostre, utilizando o teorema dos eixos paralelos e o conceito de raio de giração, que:
T = 2π
√√ √√ k^2 + d^2 gd
De acordo com o Teorema dos Eixos Paralelos
I = I CM + M d^2 Dessa forma
T = 2π
√ I M gd
= 2π
√√ √√ I CM + M d^2 M gd
T = 2π
√√ √√ I CM mgd
M d^2 M gd
= 2π
√√ √√ I CM mgd
d^2 gd Como I CM = M k^2
(16) T = 2π
√√ √√ M k^2 M gd
d^2 gd
⇒ T = 2π
√√ √√ k^2 + d^2 gd
