Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
An´alise Matem´atica I
T´opicos de resolu¸c˜ao da 1aFrequˆencia do dia 20 de novembro de 2013 (v2)
1. Considere a fun¸c˜ao f(x) = √1 + cos(2x) definida no seguinte dom´ınio de injetividade [0,π
2]. Determine a
fun¸c˜ao inversa de findicando dom´ınio, contradom´ınio e express˜ao anal´ıtica.
Contradom´ınio: D′
f−1=Df= [0,π
2].
Dom´ınio: −1≤cos(2x)≤1⇔0≤1 + cos(2x)≤2⇔0≤√1 + cos(2x)≤√2
Portanto, Df−1=D′
f= [0,√2].
Express˜ao anal´ıtica: y=√1 + cos(2x)⇔y2= 1 + cos(2x)⇔y2−1 = cos(2x)⇔arccos(y2−1)
2=x.
Portanto, f−1(x) = arccos(x2−1)
2.
2. Calcule apenas dois limites:
i. lim
x→0
sin(x)
x2+x
0
0
=
Hlim
x→0
cos(x)
2x+ 1 = 1.
ii. lim
x→−∞ xex∞×0
= lim
x→−∞
x
e−x
∞
∞
=
Hlim
x→−∞
1
−e−x= 0
iii. Sabemos que lim
x→0+xx00
= lim
x→0+exln(x). Uma vez que lim
x→0+
ln(x)
1/x
∞
∞
=
Hlim
x→0+
1/x
−1/x2= lim
x→0+−x= 0,
ent˜ao, limx→0+xx=e0= 1.
3. Considere a fun¸c˜ao f(x) = ln(x2).
(a) Mostre que f(−2) = f(2) e f′(x)= 0 no intervalo ] −2,2[. Enuncie o Teorema de Rolle e analise se os
resultados obtidos est˜ao em contradi¸c˜ao com o teorema.
Temos f(2) = ln(4) = f(−2). Al´em disso, a derivada f′(x)=2/x ´e diferente de zero no dom´ınio de f,
Df= IR \ {0}, em particular, f′´e diferente de zero no intervalo ] −2,2[ C.Q.D.
O Teorema de Rolle afirma o seguinte: “Seja fuma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo fechado [a, b],
diferenci´avel no intervalo aberto, tal que, f(a) = f(b). Ent˜ao, existe c∈]a, b[, tal que, f′(c) = 0.”
Uma vez que a fun¸c˜ao fn˜ao ´e diferenci´avel no ponto x= 0 ∈]−2,2[, ent˜ao, fn˜ao est´a nas condi¸c˜oes
do teorema de Rolle e, portanto, os resultados obtidos n˜ao est˜ao em contradi¸c˜ao com o teorema.
(b) Determine a aproxima¸c˜ao linear de fem torno de x0= 1 e calcule o valor aproximado de ln(0.25).
A aproxima¸c˜ao linear da fun¸c˜ao de fem torno de x0= 1 ´e dada por
l(x) = f(1) + f′(1)(x−1) = 0 + 2(x−1) = 2x−2.
Portanto, ln(0.25) = f(0.5) ≈2×0.5−2 = −1.
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