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Instituto Superior de Engenharia de Coimbra Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
An´alise Matem´atica I
T´opicos de resolu¸c˜ao da 3a^ Frequˆencia do dia 5 de janeiro de 2015
- Calcule o valor m´edio da fun¸c˜ao f (x) = |x^2 − 1 | no intervalo [− 1 , 2].
Resolu¸c˜ao: O valor m´edio de f no intervalo [− 1 , 2] ´e dado por
f (c) = 1 2 − (−1)
− 1
|x^2 − 1 | dx,
em que c ∈] − 1 , 2[, ou seja,
f (c) = 1 3
− 1
−x^2 + 1 dx +
1
x^2 − 1 dx
([
x^3 3
] 1
− 1
[
x^3 3
− x
] 2
1
3 −^1
- Considere a regi˜ao plana limitada pelas curvas y = x^2 + 1, y = e−x^ e x = 1.
(a) Represente a regi˜ao no plano e determine o valor da sua ´area. Resolu¸c˜ao:
Area =^ ´
0
x^2 + 1 − e−x^ dx =
[
x^3 3
] 1
0
(b) Determine o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao, em torno do eixo das ordenadas. Resolu¸c˜ao:
Volume = π
1 /e
12 dy − π
1 /e
(− ln(y))^2 dy − π
1
y − 1)^2 dy
= π
1 /e
1 dy − π
1 /e
ln^2 (y) dy − π
1
y − 1 dy
= π [y]^21 /e −
[
y ln^2 (y) − 2 y ln(y) + 2y
] 1
1 /e −^ π
[
y^2 2
− y
] 2
1 = π
e
− π
e
− π 2
= π
e
(c) Indique uma express˜ao que permita calcular o per´ımetro da regi˜ao. Resolu¸c˜ao:
Per´ımetro = 2 − 1 e
0
1 + 4x^2 dx +
0
1 + e−^2 x^ dx.
- Calcule o valor do integral
0
(x + 1)^2 − 1 x + 1
dx , efetuando a substitui¸c˜ao x = sec(t) − 1.
Resolu¸c˜ao: Tomando x = sec(t) − 1, tem-se x′^ = sec(t) tan(t) e t = arccos(1/(x + 1)). Assim, ∫ (^1)
0
(x + 1)^2 − 1 x + 1
dx =
∫ (^) π/ 3
0
sec^2 (t) − 1 sec(t)
sec(t) tan(t) dt
∫ (^) π/ 3
0
tan^2 (t) dt =
∫ (^) π/ 3
0
sec^2 (t) − 1 dt
= [tan(t) − t]π/ 03
= tan
( (^) π 3
π 3
π 3
- Resolva apenas uma das al´ıneas deste exerc´ıcio:
(a) Calcule as primitivas: I.
x + 1 x^3 − x^2
dx II.
(x + ex)^2 dx.
Resolu¸c˜ao - Com C ∈ IR:
I. Primitiva de fun¸c˜ao racional - Decomposi¸c˜ao em elementos simples: ∫ x + 1 x^3 − x^2 dx^ =
x + 1 x^2 (x − 1) dx^ =
A 1
x +^
A 2
x^2 +^
B
x − 1 dx^ =
x +^
x^2 +^
x − 1 dx = − 2
x
dx −
x−^2 dx + 2
x − 1
dx = −2 ln |x| +^1 x
II. Primitiva por decomposi¸c˜ao e por partes: ∫ (x + ex)^2 dx =
x^2 + 2xex^ + (ex)^2 dx =
x^2 dx + 2
xex^ dx +
e^2 x^ dx
= x
3 3
xex^ −
ex^ dx
+^1
2 e^2 x^ dx = x
3 3
2 x 2
+ C.
(b) Determine, se poss´ıvel, a ´area da regi˜ao ilimitada definida pelas condi¸c˜oes x ≤ − 1 e 0 ≤ y ≤
1 + x^2
Resolu¸c˜ao: Na figura est´a representada a regi˜ao ilimitada.
A ´area ´e dada pelo seguinte integral impr´oprio ∫ (^) − 1
−∞
x^2 + 1
dx = (^) s→−∞lim
s
x^2 + 1
dx = (^) s→−∞lim [arctan(x)]− s^1
= (^) s→−∞lim (arctan(−1) − arctan(s))
= − π 4
− π 2
= π 4
Portanto, a ´area da regi˜ao ´e igual a π/4.
