Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
An´alise Matem´atica I
T´opicos de resolu¸c˜ao da 3aFrequˆencia do dia 4 de janeiro de 2013 (v1)
1. Calcule a primitiva ∫1
2sin(√x)dx.
∫1
2sin(√x)dx =∫v
z}|{
√x
u
z }| {
1
2√xsin(√x)dx =−cos(√x)√x−∫−cos(√x)1
2√xdx
=−cos(√x)√x+ sin(√x) + C, com C∈IR.
Alternativamente, podiam resolver a primitiva por substitui¸c˜ao tomando x=t2.
2. Suponha que f´e uma fun¸c˜ao cont´ınua em IR e satisfaz ∫2
0
f(t)dt = 3. Calcule:
(a) o valor m´edio de fem [0,2];
O valor m´edio ´e dado por f(c) = 1
2−0∫2
0
f(t)dt =3
2.
(b) ∫2
0
f(2 −x)dx, efetuando no integral a substitui¸c˜ao x= 2 −t.
∫2
0
f(2 −x)dx =∫0
2
f(t)(−1) dt =−∫2
0−f(t)dt = 3.
3. Considere a regi˜ao Rno semi-plano y≥0, definida pelas condi¸c˜oes x2+y2≥1, y≤x2+ 1 e |x| ≤ 1.
(a) Represente a regi˜ao Re determine o valor da sua ´area. (Note que A⊙=πr2)
−2 −1 1 2
−1
1
2
3
x
y
´
Area= 2 ∫1
0
x2+ 1 −√1−x2dx = 2 [x3
3+x]1
0−2∫1
0√1−x2dx = 2(1
3+ 1) −π
2=16 −3π
6.
(b) Determine o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao Rem torno do eixo das ordenadas.
Volumey=π∫2
0
12dy −π∫1
0(√1−y2)2
dy −π∫2
1(√y−1)2
dy = 2π−2π
3−π
2=7π
6.
(c) Indique uma express˜ao que permita determinar o per´ımetro da regi˜ao. (Note que P⊙= 2πr)
Per´ımetro = π+4+∫1
−1√1 + 4x2dx.
4. Seja F(x) = ∫1/x
x
ln(t)dt uma fun¸c˜ao definida no intervalo ]0,+∞[. Determine a equa¸c˜ao da reta tangente
ao gr´afico da fun¸c˜ao no ponto de abcissa 1.
A reta tangente ao gr´afico de Fno ponto de abcissa x0= 1 ´e dada pela equa¸c˜ao y−y0=m(x−1), onde
y0=F(1) e m=F′(1). Das propriedades dos integrais, resulta que F(1) = ∫1
1ln(t)dt = 0.Derivando
o integral indefinido, obt´em-se F′(x) = ln( 1
x).(−1
x2)−ln(x).1, de modo que o declive ´e igual a F′(1) =
−ln(1) −ln(1) = 0. Portanto, y= 0 ´e a equa¸c˜ao da reta tangente.
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