Trabalho de Minitab, Trabalhos de Engenharia Civil

Baixe Trabalho de Minitab e outras Trabalhos em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!

ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO – POLI / UPE

Graduação em Engenharia Civil

Aluno

Darley da Costa Tigre

Turma

GE

Professor

Dirac

Abril de 2004

1ª Questão: Dado o polinômio abaixo, verifique se existe raiz entre (1,2) com erro de ξ1=0.

a 1:=

b 2:=

Solução:

Será verificada em primeiro plano a existência da raiz no intervalo dado, para isso: P(1) x P(2) < 0

P() 2.1 1 =-

P() 3.6 2 =

Logo, pode-se afirmar que existe ao menos uma raiz entre o intervalo dado.

Para se encontrar a raiz, usar-se-á o Newton Raphson.

x

(a 2 +) 2

:=

Xx( ) x (Px^ ( )^ x1)=1.

x

dPx( ) d

X()1.7862x1=

Erro1:=X()x1x1- Erro1=0.2862 (^) (Erro maior que da tolerância)

X( )1.71081.7862=

Erro2:=X()1.78621.7862- Erro2=0.0754 (^) (Erro maior que a tolerância)

X( )1.70021.7108=

Erro3:=X()1.71081.7108- Erro3=0.011 (^) (Erro maior que a tolerância)

X( )1.70001.7002=

Erro4:=X()1.70021.7002- Erro4=0.000 (^) (Erro menor que a tolerância!!!)

A raiz, portanto, será X=1.

2ª Questão: Seja f(x) = x+Ln(x), verifique p/ qualquer método se Xo ε I (0,2;2) para ξ1=0.

Solução:

Para se verificar se a raiz pertence ao intervalo dado, será usado o Método de Newton Raphson.

Primeiramente se verificará se existe raiz entre o intervalo dado, para isso f(0.2) x P(2) < 0.

fx()xln:=+()x

f0.2()1.409=-

f2()2.693=

Logo, podemos afirmar que existe ao menos uma raiz entre o intervalo dado.

a 0.2:=

b 2:=

Intervalo

x 1:= (^) Raiz inicial

x

d y()x d

=0.

Como o resultado é menor que 1(um) a função de iteração converge.

y()0.4636 1 =

Erro1:=y()1 1 - (^) Erro1=0.

y( )0.22780.4636=

Erro2:=y()0.46360.4636- (^) Erro2=0.

y( )0.11340.2278=

Erro3:=y()0.22780.2278- (^) Erro3=0.

y( )0.05660.1134=

Erro4:=y()0.05660.1134- (^) Erro4=0.

Logo, x=0.0566 é a raiz com erro menor que 0.

b)

Solução:

x11:=

Scales for plots: r2 1:=

1 0 1

1

1

f(x)

Xx( ) x (f x^ ( ))

x

df x( ) d

X()0.6386x1=

Erro1:=X()x1x1- Erro1=0.3614 (^) (Erro acima da tolerância)

X( )0.23610.6386=

Erro2:=X()0.63860.6386- Erro2=0.4025 (^) (Erro maior que a tolerância)

X( )0.01650.2361=

Erro3:=X()0.23610.2361- Erro3=0.2196 (^) (Erro maior que a tolerância)

X( )0.000010.0165=

Erro4:=X()0.01650.0165- Erro4=0.0165 (^) (Erro maior que a tolerância)

X0.00001()0.000000000000001=

Erro5:=X()0.000010.00001- Erro5=0.0000 (^) (Erro menor que a tolerância!!!)

Logo, a raiz é X=0.

c) fx() x

:=- 6

Solução:

Scales for plots: r2 5:=

5 0 5

5

5

f(x)

Pelo gráfico, a raiz aproximada é: x o = 1.

x 1.43:=

Xx( ) x (f x^ ( ))

x

df x( ) d

X()1.43097x=

Erro1:=X()xx1- Erro1=0.57 (^) (Erro acima da tolerância)

X( )1.43101.43097=

Erro2:=X()1.430971.43097- Erro2=0.000001 (^) (Erro menor que da tolerância!!!)

Logo, a raiz é X= 1.

5ª Questão: Aplique o MNR analítico e geométrico na equação

x 1.91:=

Geométrico

Solução:

Scales for plots: r2 3:=

6ª Questão: Deduza o MNR a partir da interpretação geométrica. Traçar uma função graficamente.

Esta questão encontra-se deduzida nas anotações de aula.

7ª Questão: O valor de Π pode ser obtido através da resolução da equação. Aplique o MNR com x=3 e

precisão de 0.01 em cada caso e compare os resultados.

a) senx=

b) cos(x)+1=

Solução:

a) fx() sin:=()x x 3:=

Xx( ) x (f x^ ( ))

x

df x( ) d

X()3.143x=

Erro1:=X()xx- Erro1=0.1425 (^) (Erro maior que a tolerância)

X( )3.1423.143=

Erro2:=X()3.1433.143- Erro2=0.0014 (^) (Erro menor que a tolerância!!!)

Solução: x=3.

b) fx()cos:=()1x+

Xx( ) x (f x^ ( ))

x

df x( ) d

X()3.071x=

Erro1:=X()xx- Erro1=0.0709 (^) (Erro maior que a tolerância)

X( )3.1063.071=

Erro2:=X()3.0713.071- Erro2=0.0353 (^) (Erro maior que a tolerância)

X( )3.1243.106=

Erro3:=X()3.1063.106- Erro3=0.0178 (^) (Erro maior que a tolerância)

X( )3.1333.124=

Erro4:=X()3.1063.124- Erro4=0.0268 (^) (Erro maior que a tolerância)

X( )3.1373.133=

Erro3:=X()3.1333.133- Erro3=0.0043 (^) (Erro menor que a tolerância!!!)

Solução: x= 3.

Comparando os dois resultados, verifica-se que a função seno convergiu mais rapidamente para p^ do que a

função co-seno, sendo que a primeira função aproximou-se do verdadeiro valor de Pi.

7ª Questão: Seja:. Verifique se f(x) possui um zero entre (0,1).

Solução:

Primeiramente será traçado um gráfico da função acima para verificar se há raiz no intervalo considerado.

r2 1:=-

1 0 1

1

0

1

f(x)

Como se observa no gráfico acima, existe sim uma raiz no intervalo (0,1).

Tomando inicialmente x=0.1 para as aproximações iniciais, temos pelo MNR: x 0.1:=^ (Erro menor que 0.01)

Xx( ) x (f x^ ( ))

x

df x( ) d

X()0.05x=

Erro1:=X()xx- Erro1=0.05 (^) (Erro maior que a tolerância)

X()0.0520.05=

Erro2:=X()0.050.05- Erro2=0.0025 (^) (Erro menor que a tolerância!!!)

A raiz é: x = 0.