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Números Complexos, analise e exercicios
Tipologia: Exercícios
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Universidade Regional Integrada do Alto Uruguai e das Missões – Campus Santo Ângelo Departamento de Engenharias e Ciência da Computação Curso de Engenharia Elétrica Disciplina: Fundamentos de Matemática
Aluno: Samuel Kopp
Professora: Gilvete Lírio
Santo Ângelo, 01 de Junho de 2015.
4 – O NUMERO i E SUAS POTENCIAS. 5 – OPERAÇÕES COM NUMEROS COMPLEXOS. 6 – REPRESENTAÇÕES GRÁFICA. 7 - MODULO E ARGUMENTO. 8 - FORMA TRIGONOMÉTRICA. 9 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.
Foi criado um nome e um símbolo para o número complexo (0,1). Ele será chamado de unidade imaginária e indicado por i , ou seja, o símbolo i identifica-se com o número complexo (0,1). Sendo um complexo não real.
As potências de i apresentam um comportamento cíclico. i 0 = 1 i 1 = i i 2 = - i 3 = i2·i = -1 · i = -i i 4 = i^2 · i^2 = (-1)·(-1)= Sendo i 2 o valor imaginário i 2 = i. i = (0,1)(0,1) = (0. 0 – 1. 1, 0. 1 + 1. 0) = (0 – 1, 0 + 0) = (-1, 0) = -
Para calcular qualquer poder de i, temos que dividir o expoente 4 e calcular a potência correspondente para o resto desta divisão:
i n=i4q+r=i4q·ir=^ 1·ir^ =ir
Exemplos:
i 49 = i1=i 49\4= 09 01 Exemplo 2: Para resolver devemos deixar o expoente divisível por 4 e\ou podemos fazer com i 4 multiplicando o valor até achar i 100 i 100 = (i²)^50 = (-1) 50 = 1
Exemplo 3: 3i 15 - i^16 i 15 = i^14. i = (i^2 ) 7 i = (-1)^7 i = -1i = -i i 16 = (i^2 ) 8 = (-1) 8 = 1
Então temos 3i 15 - i^16 = 3(-i) – 1 = -3i – 1 Ficando numero real antes de imaginário Portanto, 3i 15 - i 16 = – 1 – 3i
5.1 - Adição / subtração:
Realiza-se a soma / subtração das respectivas partes reais e imaginárias:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i (a + bi) - (+ di c) = (a - c) + (b - d) i
Exemplo adição: Dado dois números complexos z1 = 6 + 5i e z2 = 2 – i, calcule a sua soma:
(6 + 5i) + (2 – i) 6 + 5i + 2 – i 6 + 2 + 5i – i 8 + (5 – 1)i 8 + 4i
Portanto, z1 + z2 = 8 + 4i.
Exemplo subtração: Dado dois números complexos z1 = 4 + 5i e z2 = -1 + 3i, calcule a sua subtração:
(4 + 5i) – (-1 + 3i) 4 + 5i + 1 – 3i 4 + 1 + 5i – 3i 5 + (5 – 3)i 5 + 2i
Portanto, z1 - z2 = 5 + 2i.
5.2 – Multiplicação: Considerando-se que i2 = -1, multiplica-se os dois pares, (a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc) i
Dado dois números complexos z1 = 5 + i e z2 = 2 - i, calcule a sua multiplicação:
(5 + i). (2 - i)
Portanto, z1. z2 = 11 – 3i.
5.3 - Divisão: Multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Exemplo: Vamos representar geometricamente os números complexos z 1 = 3 – 2i, z 2 = 5, z 3 = -2i, z 4 = 2 + i, e z 5 = -2 + i. z 1 = 3 - 2i > (3, -2) z 2 = 5 > (5, 0) z 3 = -2i > (0, -2) z 4 = 2 + i > (0, 1) z 5 = -2 + i > (-2, 1)
7. MODULO E ARGUMENTO
Geometricamente, o módulo de um número complexo é a distância da origem do sistema de coordenadas O ao afixo de Z. Aplicando o teorema de pitágoras no triangulo OAP, temos :
|Z|2=^ a^2 + b 2 => |z| = √ a^2 + b 2
Exemplo: Necessitamos determinar um valor qualquer para o número complexo w, portanto, façamos w=x+yi, onde que x e y são números reais.
Um número complexo z= a + bi é representado por um ponto P do plano, de coordenadas (a,b). Essas são as coordenadas cartesianas do ponto P. veremos agora que esse mesmo ponto pode ser representado por suas coordenas polares, que são: 1º) O módulo do vetor Oz, indicado por |z| ou p , representando a distancia do ponto P a origem do plano (supondo |z| #0); 2º) o ângulo 0, em que 0<2 TT, que o vetor Oz forma com o eixo x. Esse ângulo o é chamado argumento de z e indicado por arg(z).
Operações: 5.1 - Multiplicações :
Consideramos os números complexos, z1 e z2 , dados na form trigonométrica: Z (^) 1=|z1|(cos o 1 + i. sem 01) Z (^) 2=|z2|(cos 0 2 +i.sen o2) A fórmula final é, portanto: |z (^) 1| (^) | z2|=z (^) 1z2[cos(o (^) 1+0 (^) 2)+i. sen (01+0 (^) 2)] O produto de dois números escritos na forma trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual ao produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é igual a soma dos argumentos dos fatores, reduzida a 1º volta (0,argz (^) 1z2) <2TT).
5.2 - Divisão: Obtém-se o quociente z (^) 1\z (^) 2= |z1||z (^) 2| [cos(01-0 (^) 2) + i. sem (0 (^) 1-0 (^) 2)]
5.3 - Potenciação: A potência Z n, n E |N, é dada por z.* z.^ ....z. 9 (n fatores) Assim: Z n= |z| n^ [cos (n0) + i. sem (no)] (Fórmula de De Moivre) A potência de ordem n de um número complexo escrito na forma trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual ao módulo do número elevado a n e cujo argumento é igual ao argumento do número multiplicado por n, reduzido a primeira volta. (0<arg9z n)<2TT).
Exemplos:
Exemplo 1: Escreva cada um dos seguintes números complexos na forma trigonométrica. a) z = 1 + i
Solução: Pela forma algébrica, temos que: a = 1 e b = 1 Segue que:
Assim, obtemos:
Como o ponto (a, b) = (1, 1) está no primeiro quadrante, podemos afirmar que o ângulo θ que apresenta os valores de seno e cosseno indicados acima é θ = 45 o. Dessa maneira, a forma trigonométrica do número complexo será: z = √2 (cos45 o^ + i·sen 45o^ )
b) z = -1 + i√ 3 Solução: A partir da forma algébrica, obtemos:
a = -1 e b = √ 3 O módulo de z será dado por:
Segue que:
Como o ponto (a, b) = (-1,√3) pertence ao segundo quadrante, podemos afirmar que o ângulo θ que apresenta os valores de seno e cosseno indicados é θ = 120o. Logo, a forma trigonométrica ou polar do número complexo será:
z = 2(cos120o^ + i·sen 120o)
Exemplo 2. Obtenha a forma algébrica do número complexo z = 6(cos270o^ + i·sen 270o^ ) Solução: Da trigonometria no ciclo, temos que:
cos 270 o^ = 0 e sen 270o^ = – 1 Assim, obtemos:
z = 6(cos270o^ + i·sen 270o) = 6[0+i·(-1)] = -6i Portanto , a forma algébrica de z é z = – 6i
