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Durée : 4 heures
[ Baccalauréat C Sportifs de haut-niveau \
septembre 1991
EXERCICE 1 4 points
Le but de cet exercice est de montrer l’alignement de certains points d’une figure géo- métrique.
Soit A et B deux points du plan, O le milieu du segment [AB], et ( C 1 ) l’un des deux demi-cercles de diamètre [AB]. La médiatrice de [AB] coupe ( C 1 ) en I. Soit ( C 2 ) le cercle de centre 1 et de rayon IA. La demi-droite issue de O et passant par I coupe ( C 2 ) en D. La droite (DB) recoupe ( C 1 ) en K.
1. a. Faire une figure sur la copie et comparer les angles AIB et̂ ADB. b. Montrer que le triangle DKA est isocèle, en précisant la mesure de ses angles. 2. Soit J le milieu du segment [AD]. Montrer que les points K, I et J sont alignés. 3. Soit s la similitude de centre A qui transforme O en I. On appelle L le point dont l’image par s est J. Déterminer L. 4. Montrer que les points O, I et J sont alignés.
EXERCICE 2 4 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal
O,
u ,
v
Soit f l’application du plan privé du point O dans le plan, qui, au point M d’affixe z = r ei θ^ ( r > 0) associe le point M ′^ d’affixe z ′^ définie par :
z ′^ = z −
z
1. Calculer les coordonnées x ′^ et y ′^ de M ′^ en fonction de r et θ. 2. a. Montrer que lorsque M décrit le cercle ( C ) de centre O et de rayon 2, M ′ décrit une ellipse ( E ). b. Déterminer les sommets et les foyers de ( E ). c. Représenter ( E ) avec ses foyers sur la copie.
PROBLÈME 12 points
Soit f la fonction définie pour tout x réel par :
f ( x ) = 2 x^2 e
x (^2).
On note ( C ) sa représentation graphique dans un repère orthonormal
O,
ı ,
L’unité graphique est le centimètre.
Partie A Tracé de ( C ) et calcul d’aire
1. a. Déterminer les limites de f en +∞ et en −∞.
Baccalauréat C A. P. M. E. P.
b. Construire le tableau de variations de f. c. Sur la feuille de papier millimétré, tracer avec soin la courbe ( C ) pour
− 10 6 x 6 2.
2. Déterminer l’aire, en cm^2 , du domaine plan, ensemble des points M ( x ; y ) tels que : {
− 10 6 x 6 0
0 6 y 6 f ( x ).
(On pourra faire deux intégrations par parties successives.) On donnera le ré- sultat à 10−^2 près.
Partie B Recherche de la solution positive de l’équation f ( x ) = 2
1. Montrer que l’équation (E) :
f ( x ) = 2
admet trois solutions, dont une seule, notée α , est positive. Justifier que
2. On pose g ( x ) = e−^
x (^4). a. Montrer que pour x positif l’équation (E) est équivalente à l’équation :
x = g ( x ).
b. Montrer que pour tout x appartenant à l’intervalle I = [0 ; 1], g ( x ) appar- tient aussi à I. c. Démontrer que pour tout x de I, ( g ( x )− α ) et ( x − α ) sont de signes contraires. d. On désigne par g ′^ la dérivée de g. Montrer que pour tout x appartenant à I :
∣∣ g ′( x )
3. Soit ( un ) la suite définie par u 0 = 1 et un + 1 = g ( un ) pour n > 0.
a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier n , un appartient à I. b. En appliquant l’inégalité des accroissements finis à g , prouver que pour tout n on a :
| un + 1 − α | 6
| un − α | 6
) n + 1 .
c. Conclure, quant à la convergence de ( un ).
4. On se propose de calculer une valeur approchée de α. a. Déterminer un entier p pour lequel up est une approximation de α à 10 −^3 près. Calculer la valeur correspondante up. b. Le nombre up est-il inférieur ou supérieur à α? On pourra utiliser la question 2. c. pour justifier la réponse.
Sportifs de haut-niveau 2 septembre 1991
