Algebra I, Notas de aula de Matemática

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NOTAS DE AULA DE ALGEBRA I´

Valmecir Bayer

10 de setembro de 2007

• 1 CONJUNTOS, FUNC¸ ˜OES E LINGUAGEM L ´OGICA
  • 1.1 Conjuntos e Subconjuntos
  • 1.2 Opera¸c˜oes com conjuntos
  • 1.3 Fun¸c˜oes
  • 1.4 Imagens diretas e imagens inversas
    • fun¸c˜oes invers´ıveis 1.5 Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes e
  • 1.6 Rela¸c˜oes de Equivalˆencia
  • 1.7 Um pouco de linguagem l´ogica
  • 1.8 Apˆendice do Cap´ıtulo I
• 2 OS N ´UMEROS INTEIROS
  • 2.1 A defini¸c˜ao de anel
  • 2.2 An´eis ordenados
  • 2.3 Homomorfismos de an´eis
  • 2.4 O princ´ıpio da indu¸c˜ao matem´atica
  • 2.5 Conjuntos finitos
  • 2.6 A constru¸c˜ao dos n´umeros racionais
  • 2.7 O algoritmo da divis˜ao
  • 2.8 Representa¸c˜ao dos inteiros em bases
• 3 DOM´INIOS EUCLIDIANOS
  • 3.1 Dom´ınios euclidianos e ideais
  • 3.2 O anel de polinˆomios
  • 3.3 O teorema da fatora¸c˜ao ´unica
  • 3.4 Equa¸c˜oes diofantinas lineares
  • 3.5 Congruˆencias
  • 3.6 A aritm´etica das classes residuais
• 4 O CORPO DOS N ´UMEROS COMPLEXOS 4 SUM ARIO´
  • 4.1 O corpo C
  • 4.2 Ra´ızes de n´umeros complexos
  • 4.3 Os inteiros de Gauss
• 5 APˆENDICES
  • 5.1 A constru¸c˜ao dos n´umeros reais
  • 5.2 Os n´umeros p-´adicos

SUM ARIO´ 5

NOTAC¸ ˜OES

Anel = Anel comutativo com unidade

N = { 1 , 2 , 3 ,.. .} = Conjunto dos n´umeros naturais

Z = {... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,.. .} = Anel dos n´umeros inteiros

Z+^ = { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .} = Subconjunto dos n´umeros inteiros n˜ao negativos

Q = Corpo dos n´umeros racionais

R = Corpo dos n´umeros reais

C = Corpo dos n´umeros complexos

Y X^ = Conjunto da fun¸c˜oes de X em Y

A∗^ = Conjunto dos elementos invert´ıveis do anel A

Kern ϕ = n´ucleo do homomorfismo ϕ

Cap´ıtulo 1

CONJUNTOS, FUNC¸ ˜OES E

LINGUAGEM L ´OGICA

A no¸c˜ao de conjunto ´e fundamental na Matem´atica. Trata-se de uma linguagem b´asica que permite a comunica¸c˜ao em Matem´atica. Formalmente a teoria dos conjuntos est´a associada a uma sub-´area da Matem´atica que podemos denominar Fundamentos da Matem´atica. A formaliza¸c˜ao dessa teoria tem origem no s´eculo XIX com os que hoje denominamos ”formalistas”. Matem´aticos como Cantor e Dirichlet (veja uma breve nota bibliogr´afica sobre cada um desses Matem´aticos no final deste cap´ıtulo) s˜ao representantes desta corrente de pensamento. Atualmente a teoria dos conjuntos como linguagem est´a presente em todos os campos da Matem´atica e tamb´em nas ´areas afins. Acompanhada da no¸c˜ao de conjunto vem a no¸c˜ao de fun¸c˜ao. Numa lin- guagem informal, poder´ıamos dizer que a no¸c˜ao de conjunto trata de cole- cionar objetos e a no¸c˜ao de fun¸c˜ao trata de relacionar objetos traduzindo uma id´eia que pode sugerir movimento. O nosso objetivo neste primeiro cap´ıtulo ´e introduzir de forma elementar, sem no entanto deixar de ser formal, esses conceitos para servir como uma inicia¸c˜ao a linguagem ea comunica¸c˜ao no mundo da Matem´atica.

1.1 Conjuntos e Subconjuntos

A no¸c˜ao de conjunto ´e uma id´eia primitiva na Matem´atica. Queremos dizer com id´eia primitiva que n˜ao fazemos nenhuma defini¸c˜ao formal. Uti-

8 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸ OES E LINGUAGEM L ˜ OGICA´

lizamos o conceito de conjunto para significar a id´eia usual de cole¸c˜ao de ob- jetos ou elementos. Poder´ıamos utilizar tamb´em o termo cole¸c˜ao ou fam´ılia, para expressar a mesma id´eia. Um conjunto ´e constitu´ıdo de elementos ou pontos. Quando um elemento x est´a num conjunto X dizemos que x pertence a X ou que X cont´em x e utilizamos a nota¸c˜ao

x ∈ X.

Desta forma fica estabelecida uma rela¸c˜ao entre elementos e conjuntos que denominamos rela¸c˜ao de pertinˆencia. Se x n˜ao pertence ao conjunto X utilizamos a nota¸c˜ao x /∈ X. Para ilustrar esta linguagem pense no conjunto X cujos elementos s˜ao os s´ımbolos 1, 2, 3. Assim, por exemplo, 2 ∈ X enquanto o s´ımbolo 4 n˜ao est´a em X, e portanto 4 ∈/ X. A teoria dos conjuntos procura n˜ao enfatizar a natureza dos elementos que constituem um determinado conjunto, mas sim as rela¸c˜oes entre elementos e conjuntos. Em nosso contexto, a teoria dos conjuntos n˜ao apenas ´e ´util para tratar conjuntos num´ericos, mas tamb´em ´e fundamental para tratar conjun- tos de natureza geom´etrica e abstrata como conjuntos de retas, conjuntos de figuras geom´etricas, conjuntos de fun¸c˜oes, conjuntos de conjuntos etc... Dois conjunto A e B s˜ao iguais, e escrevemos A = B, se eles cont´em os mesmos elementos.

EXEMPLO 1.1.

O plano euclidiano pode ser visto como um conjunto de pontos. As retas do plano euclidiano tamb´em podem ser vistas como conjuntos de pontos. Por outro lado, as retas do plano euclidiano tamb´em formam um conjunto. Assim podemos perceber que um determinado elemento, no nosso exem- plo, uma reta, em outro contexto, pode ser considerado como um conjunto. O exemplo acima d´a uma id´eia de quanto esta no¸c˜ao de conjunto pode ser relativa.

E preciso estar atento ao contexto!^ ´

Com o objetivo de facilitar a abstra¸c˜ao de pensamentos e defini¸c˜oes ´e muito ´util, e tamb´em recomend´avel, representar conjuntos por meio de figuras retil´ıneas ou figuras do plano. E importante, no entanto, ficar atento que es-´ tas representa¸c˜oes n˜ao devem ser utilizadas como argumentos para se demon- strar afirma¸c˜oes. O seu uso deve ser apenas ilustrativo.

10 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸ OES E LINGUAGEM L ˜ OGICA´

estivesse em Y. Mas isto ´e imposs´ıvel, uma vez que o conjunto φ n˜ao possui elementos. Dado um conjunto X, podemos definir um novo conjunto associado a ele, a saber, o conjunto de suas partes que chamaremos de conjunto das partes de X e o denotaremos por ℘(X). Assim,

℘(X) = {A | A ⊂ X}

Observe que φ ∈ ℘(X) e X ∈ ℘(X). Por exemplo, se X = {a, b, c} ent˜ao teremos

℘(X) = { φ, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c} }

1.2 Opera¸c˜oes com conjuntos

Dados dois conjuntos A e B podemos construir ou definir novos conjuntos a partir deles. Estes processos se chamam opera¸c˜oes com os conjuntos A e B. A seguir vamos definir quatro opera¸c˜oes com os conjuntos A e B.

1. Uni˜ao dos conjuntos A e B:

A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

Assim, x ∈ A ∪ B se, e somente se, pelo menos uma das duas afirma¸c˜oes seguintes ´e correta x ∈ A ou x ∈ B. Note que ”x ∈ A ou x ∈ B”n˜ao exclui a possibilidade de x pertencer simultaneamente a A e a B. O significado matem´atico do conectivo ”ou”n˜ao ´e exclusivo como na linguagem usual.

1. Intersec¸c˜ao dos conjuntos A e B:

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

Assim, x ∈ A ∩ B se, e somente se, x pertence simultaneamente a ambos os conjuntos A e B. Por exemplo, se

A = {x | x ´e um triˆangulo retˆangulo}

e B = {x | x ´e um triˆangulo is´osceles}

ent˜ao, A ∩ B ´e o conjunto de todos os triˆangulos simultaneamente retˆangulos e is´osceles.

1.2. OPERAC¸ OES COM CONJUNTOS˜ 11

1. Diferen¸ca dos conjuntos A e B:

A − B = {x | x ∈ A e x /∈ B}.

Quando A ∩ B = φ diremos que A e B s˜ao disjuntos. Por exemplo, se

A = {x | x ´e um triˆangulo equil´atero}

B = {x | x ´e um triˆangulo retˆangulo} ent˜ao A ∩ B = φ. Observe que a uni˜ao e a intersec¸c˜ao de conjuntos s˜ao opera¸c˜oes bin´arias e comutativas. Sendo assim elas podem ser iteradas e portanto definidas para uma quantidade qualquer de conjuntos. Em geral n˜ao exigimos que A seja um subconjunto de B para definirmos a diferen¸ca B−A. No entanto, quando isto ocorre, isto ´e, se A ⊂ B chamammos a diferen¸ca B − A de complementar do conjunto A no conjunto B. Caso o contexto permita fixar o conjunto B, denotaremos ent˜ao a diferen¸ca B − A por CB (A), isto ´e,

CB (A) = B − A = {x | x ∈ B e x /∈ A} A opera¸c˜ao diferen¸ca goza de algumas propriedades que listamos na proposi¸c˜ao seguinte:

PROPOSIC¸ ˜AO 1.2. Sejam A, B e B′^ conjuntos quaisquer. Ent˜ao

1. A − (B ∪ B′) = (A − B) ∩ (A − B′).
2. A − (B ∩ B′) = (A − B) ∪ (A − B′).
3. Se B ⊂ B′^ ent˜ao A − B′^ ⊂ A − B.

DEMONSTRAC¸ AO:˜ Para demonstrar uma igualdade entre dois conjun- tos podemos utilizar o crit´erio da igualdade estabelecido na proposi¸c˜ao 1.1. Assim, para provar a primeira propriedade acima basta mostrar que

A − (B ∪ B′) ⊂ (A − B) ∩ (A − B′)

e que (A − B) ∩ (A − B′) ⊂ A − (B ∪ B′).

1.2. OPERAC¸ OES COM CONJUNTOS˜ 13

Um par ordenado ´e caraterizado pela condi¸c˜ao:

(a, b) = (a′, b′) se, e somente se a = a′^ e b = b′.

Dados os conjuntos A e B podemos definir um novo conjunto que chamaremos de produto cartesiano de A por B, e o denotaremos por A × B, da seguinte maneira: A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}.

Em outras palabras, o produto cartesiano de A por B ´e o conjunto dos pares ordenados (a, b) onde a ∈ A e b ∈ b. Dado o par ordenado (a, b), o objeto ”a”ser´a denominado a sua primeira coordenada e ”b”a sua segunda coordenada. O subconjunto do produto cartesiano A×A formado pelos elementos (a, a) de coordenadas iguais ´e chamado de diagonal de A × A e o representamos por ∆, isto ´e, ∆ = {(a, b) ∈ A × A | a = b}

PROPOSIC¸ ˜AO 1.3. Sejam A, B, C, A′^ e B′^ conjuntos quaisquer. Ent˜ao

1. (A ∪ B) × C = (A × C) ∪ (B × C).
2. (A ∩ B) × C = (A × C) ∩ (B × C).
3. (A − B) × C = (A × C) − (B × C).
4. Se A ⊂ A′^ e B ⊂ B′^ ent˜ao A × B ⊂ A′^ × B′.

DEMONSTRAC¸ AO:˜ 1. Seja (x, y) ∈ (A ∪ B) × C. Ent˜ao x ∈ A ∪ B e y ∈ C, isto ´e, x ∈ A ou x ∈ B e y ∈ C. Logo, (x, y) ∈ A×C ou (x, y) ∈ B×C. Isto mostra que (A ∪ B) × C ⊂ (A × C) ∪ (B × C). Reciprocamente, suponha que (x, y) ∈ (A×C)∪(B ∪C), ent˜ao (x, y) ∈ A×C ou (x, y) ∈ B ×C. Ent˜ao x ∈ A ou x ∈ B e y ∈ C, isto ´e, x ∈ A∪B e y ∈ C, isto ´e, (x, y) ∈ (A∪B)×C. Isto mostra que (A × C) ∪ (B × C) ⊂ (A ∪ B) × C. Isto mostra a primeira igualdade. Os ´ıtens 2, 3 e 4 s˜ao deixadas como exerc´ıcio para o leitor. 

14 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸ OES E LINGUAGEM L ˜ OGICA´

EXERC´ICIOS 1.1.

1. Seja A um conjunto qualquer. Mostre que:

(a) A∪φ = A. (b) A∩φ = φ. (c) A∪A = A. (d) A∩A = A.

2. Sejam A e B conjuntos quaisquer. Mostre que:

(a) A ∪ B = B ∪ A. (b) A ∩ B = B ∩ A. (c) A ∪ B = A se, e somente se, B ⊂ A. (d) A ∩ B = A se, e somente se, A ⊂ B.

3. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Mostre que:

(a) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). (b) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). (c) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). (d) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

No exer´ıcio 3, as propriedades a) e b) significam que a uni˜ao e a inter- sec¸c˜ao de conjuntos s˜ao opera¸c˜oes associativas enquanto os ´ıtens c) e d) significam que a uni˜ao distribui a intersec¸c˜ao e vice-versa.

4. Sejam A e B subconjuntos de um mesmo conjunto I fixo. Denotando por C (X) o complementar de um subconjunto X de I em I, mostre que:

(a) A ∩ B = φ se, e somente se, A ⊂ C (B) (b) A ∪ B = I se, e somente se, C (B) ⊂ A

5. Sejam A, B, A′^ e B′^ conjuntos quaisquer. Mostre que:

(a) Se A ⊂ B e A′^ ⊂ B′^ ent˜ao A ∪ A′^ ⊂ B ∪ B′. (b) Se A ⊂ B e A′^ ⊂ B′^ ent˜ao A ∩ A′^ ⊂ B ∩ B′.

6. Sejam A, B e C conjuntos quaisquer. Mostre que vale a seguinte ”lei do cancelamento”:

Se A ∪ C = B ∪ C e A ∩ C = B ∩ C ent˜ao A = B.

16 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸ OES E LINGUAGEM L ˜ OGICA´

Uma observa¸c˜ao importante ´e que a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao envolve dois conjuntos e uma associa¸c˜ao de elementos. Assim ´e fundamental ter em mente que para que duas fun¸c˜oes sejam iguais ´e necess´ario que os seus dom´ınios sejam iguais, seus contradom´ınios sejam iguais e que a associa¸c˜ao a cada elemento do dom´ınio seja a mesma por estas fun¸c˜oes. Em s´ımbolos, temos: dadas as fun¸c˜oes f e g, digamos,

f : X −→ Y e g : Z −→ W x 7 −→ f (x) x 7 −→ g(x)

ent˜ao,

f = g se, e somente se, X = Z, Y = W e f (x) = g(x) para todo x ∈ X.

Dois exemplos fundamentais de fun¸c˜oes s˜ao os seguintes:

1. Fun¸c˜oes identidades - Seja X um conjunto n˜ao vazio. Considere a fun¸c˜ao Id com dom´ınio e contradom´ınio iguais a X que a cada elemento x ∈ X associa o pr´oprio x, isto ´e Id(x) = x. Claramente isto define uma fun¸c˜ao de X em X. Esta fun¸c˜ao ´e chamada fun¸c˜ao Identidade de X.
2. Fun¸c˜oes constantes - Sejam X e Y conjuntos n˜ao vazios. Fixe um elemento b ∈ Y. Considere a fun¸c˜ao f : X −→ Y que a cada x ∈ X associa o elemento b. Novamente ´e claro que isto define uma fun¸c˜ao de X em Y que denominamos fun¸c˜ao constante (com valor b).

1.4 Imagens diretas e imagens inversas

Dada uma fun¸c˜ao f : X −→ Y , classicamente o dom´ınio X ´e tamb´em chamado conjunto de defini¸c˜ao de f. J´a o subconjunto de Y formado pelos elementos y para os quais existe x ∈ X tal que y = f (x) ´e chamado con- junto de valores de f. Assim o conjunto de valores de f ´e uma parte de Y , podendo coincidir ou n˜ao com o contradom´ınio Y. O fato do conjunto dos valores ser um subconjunto pr´oprio de Y quer dizer que o contradom´ınio ´e desnecessariamente grande para a fun¸c˜ao f. Quando o conjunto de valores coincide com o contradom´ınio diremos que a fun¸c˜ao f ´e sobrejetiva. Assim a fun¸c˜ao f ´e sobrejetiva quando Y = {f (x) | x ∈ X}.

1.4. IMAGENS DIRETAS E IMAGENS INVERSAS 17

Considere um subconjunto A ⊂ X. O subconjunto de Y

f (A) = {y ∈ Y | y = f (x) para algum x ∈ A} = {f (x) | x ∈ A}

´e denominado imagem direta de A pela fun¸c˜ao f. Trata-se do conjunto de valores que a fun¸c˜ao f assume em B. Observe que se A = X ent˜ao o conjunto de valores de f ´e exatamente f (X) como acabamos de definir. Observe tamb´em que f (A) ⊂ f (X) ⊂ Y. Por outro lado, considere agora um subconjunto B ⊂ Y. O subconjunto de X f −^1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}

´e denominado imagem inversa de B pela fun¸c˜ao f. Trata-se do subconjunto de X cujos elementos s˜ao associados a elementos de B pela fun¸c˜ao f. Observe que f −^1 (X) = Y uma vez que todo elemento de X precisa estar associado a algum elemento de Y pela defini¸c˜ao de fun¸c˜ao. Naturalmente f −^1 (B) ⊂ X. E curioso notar que sempre que´ A ⊂ X ´e um conjunto n˜ao vazio ent˜ao f (A) tamb´em ´e n˜ao vazio, ao passo que pode ocorrer que B ⊂ Y seja n˜ao vazio mas f −^1 (B) seja vazio. Para isto basta que B ∩ f (X) seja vazio. Quando o conjunto B ⊂ Y se reduz a um ´unico ponto, digamos, B = {b}, utilizaremos a nota¸c˜ao (mais simples) f −^1 (b) em vez de f −^1 ({b}) para denotar a imagem inversa do conjunto B. Assim como a no¸c˜ao de imagem direta deu origem ao conceito de fun¸c˜ao sobrejetiva, a no¸c˜ao de imagem inversa d´a origem a um outro conceito que ´e o de fun¸c˜ao injetiva. Diremos que uma fun¸c˜ao f : X −→ Y ´e injetiva quando quaisquer dois elementos distintos de X est˜ao associados a elementos distintos de Y pela fun¸c˜ao f. Resumidamente podemos dizer que f ´e injetiva quando pontos distintos de X tˆem imagens distintas. Podemos formular o conceito de fun¸c˜ao injetiva em termos de imagem inversa da seguinte forma: f ´e injetiva quando f −^1 (y) cont´em no m´aximo um ponto qualquer que seja y ∈ Y. Deixamos a verifica¸c˜ao da eq¨uivalˆencia destas formula¸c˜oes a cargo do leitor.

1.5. COMPOSIC¸ AO DE FUNC˜ ¸ OES E˜ FUNC¸ OES INVERS˜ ´IVEIS 19

1.5 Composi¸c˜ao de fun¸c˜oes e

fun¸c˜oes invers´ıveis

Como j´a salientamos anteriormente a no¸c˜ao de fun¸c˜ao est´a associada `a id´eia de movimento. Esta id´eia fica mais evidente na hip´otese de poder- mos iterar fun¸c˜oes, isto ´e, aplicar seguidamente a mesma fun¸c˜ao ou fun¸c˜oes diferentes. H´a casos em que podemos fazer isto e h´a casos em que n˜ao podemos. Vejamos: Suponha que nos sejam dadas duas fun¸c˜oes f : X −→ Y e g : W −→ Z. Por exemplo, suponha que quiz´essemos aplicar a fun¸c˜ao g aos elementos da forma f (x). Para que esta id´eia tenha sucesso ´e evidente que precisamos ter f (x) no dom´ınio da fun¸c˜ao g. Ora, ent˜ao a condi¸c˜ao que precisamos ´e que f (X) ⊂ W. Esta ´e, digamos, examente a condi¸c˜ao necess´aria. No entanto, uma condi¸c˜ao suficiente para que possamos aplicar a fun¸c˜ao g aos elementos f (x) para todo x ∈ X ´e que Y = W , isto ´e, o dom´ınio da fun¸c˜ao g seja igual ao contradom´ınio da fun¸c˜ao f. Em geral esta ´ultima condi¸c˜ao ´e mais f´acil de ser verificada. E com ela que vamos trabalhar.´

DEFINIC¸ ˜AO 1.1. Sejam f : X −→ Y e g : Y −→ Z duas fun¸c˜oes. A fun¸c˜ao com dom´ıno X, contradom´ınio Z que a cada x ∈ X associa o elemento g(f (x)) ∈ Z ´e denominada fun¸c˜ao composta de f com g e a denotaremos por g ◦ f

Podemos ent˜ao pensar na composi¸c˜ao de fun¸c˜oes como um tipo de opera¸c˜ao no conjunto das fun¸c˜oes. H´a por´em uma restri¸c˜ao, pois como observado acima, dadas duas fun¸c˜oes arbitr´arias, nem sempre ´e possivel compˆo-las, isto ´e, nem sempre ´e possivel realizar a ”opera¸c˜ao”. Apesar disso, quando a composi¸c˜ao for poss´ıvel, ela goza de algumas propriedades importantes que destacamos nas proposi¸c˜oes seguintes.

PROPOSIC¸ ˜AO 1.4. Sejam f : X −→ Y , g : Y −→ Z e h : Z −→ W fun¸c˜oes. Ent˜ao h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f. Em outras palavras, no caso em que a composi¸c˜ao de fun¸c˜oes for poss´ıvel ela ´e associativa.

DEMONSTRAC¸ AO:˜ Observe que h ◦ (g ◦ f ) e (h ◦ g) ◦ f tˆem X como dom´ınio e W como contradom´ınio. Al´em disso, se x ∈ X, pela defini¸c˜ao 1. acima temos

(h ◦ (g ◦ f ))(x) = h((g ◦ f )(x)) = h(g(f (x))) = = (h ◦ g)(f (x)) = ((h ◦ g) ◦ f )(x)

Portanto, h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f. 

20 CAP´ITULO 1. CONJUNTOS, FUNC¸ OES E LINGUAGEM L ˜ OGICA´

PROPOSIC¸ ˜AO 1.5. Seja f : X −→ Y uma fun¸c˜ao qualquer e considere a fun¸c˜ao identidade de X, IX : X −→ X e a fun¸c˜ao identidade de Y , IY : Y −→ Y. Ent˜ao f ◦ IX = f e IY ◦ f = f.

DEMONSTRAC¸ AO:˜ Claramente f e f ◦ IX tˆem o mesmo dom´ınio X e o mesmo contradom´ınio Y. Al´em disso, para cada x ∈ X temos

(f ◦ IX )(x) = f (IX (x)) = f (x).

Portanto, f ◦ IX = f. De maneira an´aloga, obtemos IY ◦ f = f.  A proposi¸c˜ao 1.5 nos afirma que IX desempenha o papel de ”elemento neutro a direita”para o conjunto das fun¸c˜oes de X em Y e IY desempenha o papel de ”elemento neutroa esquerda”. Assim se X = Y ent˜ao o conjunto das fun¸c˜oes de X em X possui um elemento neutro que ´e a fun¸c˜ao identidade de X. A seguir vamos estudar a quest˜ao da existˆencia de fun¸c˜oes inversas. Dada uma fun¸c˜ao f : X −→ Y , dizemos que g : Y −→ X ´e uma inversa a direita de f se f ◦ g = IY , isto ´e, f (g(y)) = y para todo y ∈ Y. E f´´ acil construir um exemplo de fun¸c˜ao que n˜ao possui inversaa direita, veja: Sejam X = { 1 } e Y = { 1 , 2 } e considere a fun¸c˜ao f : X −→ Y definida por f (1) = 1. A ´unica fun¸c˜ao que podemos definir de Y em X ´e a fun¸c˜ao (constante) g = 1, isto ´e, g(1) = g(2) = 1. Logo f (g(1)) = f (1) = 1 = f (g(2)) e, portanto, claramente f ◦ g 6 = IY. Fa¸ca um diagrama que ilustre este exemplo. N˜ao ´e muito dif´ıcil perceber que o que est´a impedindo a n˜ao existˆencia da inversa `a direita neste caso ´e o fato de f n˜ao ser sobrejetiva. Na verdade esta ´e a ´unica restri¸c˜ao em qualquer caso, como mostra a proposi¸c˜ao seguinte:

PROPOSIC¸ ˜AO 1.6. Seja f : X −→ Y uma fun¸c˜ao. Uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que f possua uma inversa `a direita ´e que f seja sobrejetiva.

DEMONSTRAC¸ AO:˜ Suponha que f : X −→ Y possua uma inversa `a direita g : Y −→ X. Assim, f ◦ g = IY , isto ´e, f (g(y)) = y para todo y ∈ Y. Queremos verificar que f ´e sobrejetiva, isto ´e, que a imagem direta de X, f (X) coincide com o contradom´ınio Y de f. Ora, como f (X), por defini¸c˜ao, ´e um subconjunto de Y , basta verificar que Y ⊂ f (X). Assim, sempre que quizermos verificar que uma fun¸c˜ao f : X −→ Y ´e sobrejetiva basta verificar que para cada y ∈ Y tem-se que y ∈ f (X), isto ´e, existe x ∈ X tal que