Álgebra Linear 2 - alglin2, Notas de estudo de Matemática

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Álgebra II

Volume 2 Luiz Manoel FigueiredoMarisa Ortegoza da Cunha Hernando Bedoya Ricardo Camelier

SUMÁRIO

• Álgebra II Volume
• Aula 18 Transformações lineares ___________________________________________
• Aula 19 Propriedades das transformações lineares _________________________
• Aula 20 Núcleo e imagem de uma transformação linear ___________________
• Aula 21 Teorema de núcleo e imagem_____________________________________
• Aula 22 Representação matricial e uma transformação linear ______________
• Aula 23 A álgebra das transformações lineares _____________________________
• Aula 24 Transformações especiais de R 2 ___________________________________
• Aula 25 Transformações especiais de R 3 ___________________________________
• Aula 26 Operações lineares invesíveis ______________________________________
• Aula 27 Mudança de base ________________________________________________
• Aula 28 Exercícios de revisão ______________________________________________
• Aula 29 Autovetores e autovalores de matrizes _____________________________
• Aula 30 Autovetores e autovalores de matrizes – Casos especiais __________
• Aula 31 Polonômios característicos ________________________________________
• Aula 32 Cálculo de Autovalores e autovetores _____________________________
• Aula 33 Diagonalização de matrizes ______________________________________
• Aula 34 Cálculo de matrizes diagonalizáveis ______________________________
• Aula 35 Matrizes ortogonais ______________________________________________
• Aula 36 Propriedades das matrizes ortogonais ______________________________

Transforma¸c˜oes lineares (^) AULA 18

Aula 18 – Transforma¸c˜oes lineares

Objetivos

Definir os conceitos de transforma¸c˜ao matricial e linear; Apresentar v´arios exemplos de transforma¸c˜oes lineares.

Introdu¸c˜ao

Um dos conceitos centrais na Matem´atica ´e o de fun¸c˜ao. De modo geral usa-se os termos fun¸c˜ao, aplica¸c˜ao e transforma¸c˜ao como sinˆonimos.

Uma fun¸c˜ao ´e uma associa¸c˜ao entre dois conjuntos A e B, envolvendo todos os elementos de A, mas n˜ao necessariamente todos os elementos de B, e que associa cada elemento de A `a somente um elemento de B. Esta maneira de ver uma fun¸c˜ao somente como uma associa¸c˜ao ´e uma vis˜ao essencialmente est´atica.

Uma outra meneira de ver o mesmo conceito, porem mais dinˆamica, ´e que uma fun¸c˜ao ´e uma transforma¸c˜ao, que ¨leva¨ elementos do conjunto A em elementos do conjunto B, ou seja, ¨transforma¨ elementos de A em elementos de B.

Na Algebra Linear, usa-se mais o termo transforma¸´ c˜ao do que fun¸c˜ao, especialmente no caso das transforma¸c˜oes lineares, que definiremos nesta aula. Em resumo, uma transforma¸c˜ao de um espa¸co vetorial V em um espa¸co vetorial W ´e simplesmente uma fun¸c˜ao de V em W.

Como observamos, s˜ao de interesse especial as transforma¸c˜oes linea- res. Comecaremos definindo transforma¸c˜oes matriciais e depois as lineares. Veremos que para transforma¸c˜oes de Rn^ em Rm, os dois conceitos s˜ao equi- valentes.

Transforma¸c˜oes lineares

Transforma¸c˜oes matriciais

Uma transforma¸c˜ao matricial ´e uma fun¸c˜ao dada por T (x) = Ax, onde A ´e uma matriz. Mais precisamente, seja A uma matriz m × n. Ent˜ao a aplica¸c˜ao T : Rn^ → Rm^ dada por x → Ax ´e uma transforma¸c˜ao matricial.

Exemplo 1 Seja

A =

[

]

ent˜ao A induz a transforma¸c˜ao matricial T : R^3 → R^2 , dada por x → Ax.

Por exemplo, se x =

, ent˜ao

Ax =

[

]

[

]

Em geral, se x =

x 1 x 2 x 3

, ent˜ao

Ax =

[

]

x 1 x 2 x 3

[

2 x 1 + x 2 + 3x 3 x 1 + 2x 2

]

Exemplo 2 Se

A =

[

]

e b =

[

]

. Encontre um x ∈ R^3 , tal que Ax = b.

Solu¸c˜ao: Seja x =

x 1 x 2 x 3

, ent˜ao Ax = b, leva a

[

]

x 1 x 2 x 3

[

]

Transforma¸c˜oes lineares

R^2

T = Ax (^) R 3

Figura 1: Aplica¸c˜ao T leva R^2 no plano 3x − 2 y + z = 0.

Transforma¸c˜oes lineares

Dada uma matrix m × n A, vetores n × 1 u e v, e um escalar c, segue-se das propriedades da multiplica¸c˜ao de matrizes que

A(u + v) = Au + Av e A(cu) = cAu.

De maneira geral, quando uma fun¸c˜ao possui as duas propriedades acima, dizemos que ela ´e linear. Definiremos agora as transforma¸c˜oes lineares.

Defini¸c˜ao 1 Uma transforma¸c˜ao T ´e linear se:

1. T (u + v) = T u + tv, para todos u e v no dom´ınio de T.
2. T (cv) = cT (v), para todo v e para todo escalar c.

Em outras palavras, podemos dizer que uma transforma¸c˜ao ´e linear quando preserva a soma de vetores e o produto de vetores por escalares.

Preservar a soma de vetores quer dizer que se somarmos os vetores primeiro (u + v) e, em seguida, aplicarmos T , obtendo T (u + v), o resultado ´e o mesmo que aplicarmos T aos vetores e depois somarmos os resultados (T u + T v), isto ´e T (u + v) = T u + T v.

Se A ´e uma matriz, u e v s˜ao vetores no dom´ınio de T = Ax e c ´e um escalar, ent˜ao, a propriedade A(u + v) = Au + Av mostra que T preserva a soma de matrizes e a propriedade A(cu) = cA(u) mostra que T preserva o produto por escalar. Portanto, toda transforma¸c˜ao matricial ´e linear.

Por outro lado, nem toda transforma¸c˜ao linear de espa¸cos vetoriais ´e matricial. Veremos um exemplo deste tipo abaixo. Porem, transforma¸c˜oes

Transforma¸c˜oes lineares (^) AULA 18

lineares de Rn^ em Rm^ s˜ao sempre matriciais. Provaremos este fato na aula 23 onde tambem estudaremos em detalhes como obter a representa¸c˜ao matricial de uma transforma¸c˜ao linear.

Seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear, onde V e W s˜ao espa¸cos vetoriais, e seja v ∈ V. Ent˜ao

T (0V ) = T (0.v) = 0.T (v) = 0W ,

onde 0V indica o vetor nulo do espa¸co vetorial v e 0W indica o vetor nulo do espa¸co vetoria W. Mostramos ent˜ao que uma transforma¸c˜ao linear T : V → W , leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W.

Outra propriedade muito utilizada ´e a seguinte:

T (cv + du) = T (cv) + T (du) = cT (v) + dT (u).

A dedu¸c˜ao acima utiliza as duas propriedades que definem linearidade. Ob- serve que esta propriedade, sozinha, implica em linearidade.

Isto ´e, se uma transforma¸c˜ao T satisfaz

T (cv + du) = cT (u) + dT (v) ,

ent˜ao ela ´e linear. Para ver isto, basta notar que fazendo c = d = 1 obtemos T (u+v) = T u+T v (preserva¸c˜ao da soma de vetores) e fazendo c = 1 e d = 0, obtemos T (cu) = cT (u) (preserva¸c˜ao do produto de vetores por escalares).

Aplicando sucessivamente o mesmo racioc´ınio acima, podemos mostrar que

T (c 1 v 1 + · · · + ckvk) = c 1 T (v 1 ) + · · · + ckT (vk) ,

onde c 1 , · · · , ck s˜ao escalares e v 1 , · · · , vk s˜ao vetores no dom´ınio de T.

Exemplo 4 A transforma¸c˜ao T : V → W dada por T (x) = 0W ´e linear. Esta trans- forma¸c˜ao, chamada transforma¸c˜ao nula, leva todo vetor de V no vetor nulo de W.

Exemplo 5 Seja V um espa¸co vetorial qualquer, a transforma¸c˜ao T : V → V dada por T (u) = u ´e linear. Esta transforma¸c˜ao ´e chamada indentidade. Se V = Rn, ent˜ao a transforma¸c˜ao linear dada pela matriz In, identidade de ordem n, ´e a transforma¸c˜ao identidade de Rn.

Transforma¸c˜oes lineares (^) AULA 18

u

v

T(u)

T(v)

Figura 3: Rota¸c˜ao de um ˆangulo de 90^0.

Exemplo 9 Seja Pn o espa¸co dos polinˆomios de grau menor ou igual a n. Definimos o operador deriva¸c˜ao D : Pn^ → Pn−^1 por

D(a 0 + a 1 t + · · · + antn) = a 1 + 2a 2 t + · · · + nantn−^1.

Isto ´e, D leva cada termo aktk^ em kaktk−^1.

E f´´ acil ver que este operador ´e uma transforma¸c˜ao linear. Note que ele ´e a deriva¸c˜ao de fun¸c˜oes no sentido usual, restrito ao espe¸co dos polinˆomios. Sabemos que para a deriva¸c˜ao vale

D(cf 1 + df 2 ) = cD(f 1 ) + dD(f 2 ) ,

confirmando que D ´e uma transforma¸c˜ao linear.

Note que esta transforma¸c˜ao ´e linear mas n˜ao ´e matricial. N˜ao h´a uma matrix A tal que D = Ax. No entanto, veremos na aula 23 que toda transforma¸c˜ao linear entre espa¸cos de dimens˜ao finita tˆem uma representa¸c˜ao matricial. H´a uma matriz A tal que se p ´e um polinˆomio e se [p]B ´e a representa¸c˜ao deste polinˆomio em uma base B escolhida de Pn, ent˜ao A[p]B ´e a representa¸c˜ao de Dp nesta base.

Exemplo 10 Um banco de investimentos possui 4 tipos de investimentos, que chamaremos de investimentos A, B, C e D. Um cliente faz sua carteira distribuindo cada seu dinheiro entre as 4 op¸c˜oes do banco. Representamos a carteira de um

cliente por um vetor 4 × 1. Assim uma carteira x =

xA xB xC xD

 indica^ xA reais

investidos na op¸c˜ao A, xB reais investidos na op¸c˜ao B etc.

Transforma¸c˜oes lineares

Se o investimento A resultou em yA reais por real aplicado, B resultou em yB reais por real aplicado etc, ent˜ao o resultado total de cada cliente ser´a calculado pela transforma¸c˜ao linear T : R^4 → R, dada por

T (x) =

xA xB xC xD

[

yA yB yC yD

]

= xAya + xB yB + xC yC + xDyD.

Resumo

Nesta aula estudamos um dos conceitos fundamentais em Algebra Li-´ near, que ´e o de Transforma¸c˜ao Linear.

Vimos, inicialmente, as transforma¸c˜oes matriciais. Em seguida, defini- mos transforma¸c˜oes lineares.

Vimos diversos exemplos de transforma¸c˜oes lineares, inclusive uma aplica¸c˜ao `a economia.

Transforma¸c˜oes lineares

6. Seja T : R^2 → R^2 uma transforma¸c˜ao linear. Se

T (

[

]

[

]

e T (

[

]

[

]

determine T (

[

]

) e T (

[

x 1 x 2

]

Respostas dos exerc´ıcios

[

]

e

[

]

2. A deve ser uma matriz 6 × 4.
3. (a) x =

2 − c c + 1 c

, para todo c ∈ R.

(b) N˜ao h´a valor de x tal que T x = b.

4. O espa¸co gerado por {(− 32 , − 1 , 32 , 1)} ´e levado no vetor nulo.
5. (a) Dilata¸c˜ao por um fator de 3. (b) Contra¸c˜ao por uma fator de 0, 5. (c) Rota¸c˜ao de 180^0. (d) Proje¸c˜ao sobre o eixo-y.

Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares (^) AULA 19

Aula 19 – Propriedades das Transforma¸c˜oes

Lineares

Objetivos

Reconhecer e aplicar as propriedades das transforma¸c˜oes lineares.

Na aula 18 conhecemos um tipo muito especial de fun¸c˜ao - as trans- forma¸c˜oes lineares, que s˜ao fun¸c˜oes definidas entre espa¸cos vetoriais e com caracter´ısticas que as tornam muito ´uteis, em uma gama imensa de problemas e situa¸c˜oes da Matem´atica, F´ısica, Engenharia e Computa¸c˜ao, entre outras ´areas de estudo e trabalho.

Nesta aula veremos v´arias propriedades das transforma¸c˜oes lineares. Em especial, veremos um fato muito importante, que ´e o seguinte: para de- terminar uma transforma¸c˜ao linear T : V → W , basta conhecer seus valores em uma base qualquer de V.

Propriedades das transforma¸c˜oes lineares

Sejam V e W espa¸cos vetoriais e T : V → W uma transforma¸c˜ao linear. Valem as seguintes propriedades:

(i) T (0V ) = 0W Em palavras: uma transforma¸c˜ao linear leva o vetor nulo do dom´ınio ao vetor nulo do contra-dom´ınio. Esta propriedade j´a foi demonstrada na aula 18.

(ii) T (−v) = −T (v), ∀v ∈ V Em palavras: A imagem do vetor oposto ´e o oposto da imagem do vetor. Como T [(−1)v] = (−1)T (v), decorre que T (−v) = −T (v).

(iii) Se U ´e um subespa¸co de V ent˜ao T (U ) ´e um subespa¸co de W. Devemos mostrar que 0W ∈ T (U ) e que T (U ) ´e fechado para soma de vetores e multiplica¸c˜ao por escalar.

Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares (^) AULA 19

(v) Se {v 1 , v 2 , ..., vn} ´e um conjunto gerador de V ent˜ao {T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn)} ´e um conjunto gerador da imagem de T. Demonstra¸c˜ao. Seja {v 1 , v 2 , ..., vn} um conjunto gerador de V. Seja w um vetor na imagem de T , isto ´e, existe v em V tal que w = T (v). Ent˜ao existem escalares α 1 , α 2 , ..., αn tais que v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αnvn. Podemos escrever: w = T (v) = = T (α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αnvn) ( =iv) = α 1 T (v 1 ) + α 2 T (v 2 ) + ... + αnT (vn). Logo, os vetores T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn) geram a imagem de T.

(vi) Se T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn) ∈ W s˜ao LI ent˜ao os vetores v 1 , v 2 , ..., vn ∈ V s˜ao LI. Demonstra¸c˜ao. Seja a combina¸c˜ao linear

α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αnvn = oV. (1)

Vamos aplicar a transforma¸c˜ao T a ambos os lados dessa igualdade:

T (α 1 v 1 + α 2 v 2 + ... + αnvn) = T (0V ) ⇒

α 1 T (v 1 ) + α 2 T (v 2 ) + ... + αnT (vn) = 0W. Como os vetores T (v 1 ), T (v 2 ), ..., T (vn) s˜ao LI, conclu´ımos que α 1 = α 2 = ... = αn = 0. Ou seja, todos os coeficientes da combina¸c˜ao linear (1) s˜ao iguais a zero, o que implica que os vetores v 1 , v 2 , ..., vn s˜ao LI.

Exemplo 11 Sejam V um espa¸co vetorial e u ∈ V. A aplica¸c˜ao

Tu : V → V v 7 → v + u

´e chamada transla¸c˜ao definida por u. E f´´ acil verificar que, quando u 6 = 0V , essa aplica¸c˜ao n˜ao ´e linear, pois Tu(0V ) = 0V + u = u 6 = 0V , violando a propriedade (i), acima. Por outro lado, quando u = 0V , essa aplica¸c˜ao ´e o operador identidade de V , que ´e linear.

Exemplo 12 A rec´ıproca da propriedade (vi) n˜ao ´e verdadeira, isto ´e, ´e poss´ıvel termos um conjunto de vetores de V que sejam LI, mas com suas imagens formando um

Propriedades das Transforma¸c˜oes Lineares

conjunto LD em W. Considere, por exemplo, o operador proje¸c˜ao ortogonal sobre o eixo x, definido em R^2 , isto ´e, a transforma¸c˜ao linear tal que T (x, y) = (x, 0), para todo vetor (x, y) do plano. Os vetores v 1 = (3, 1) e v 2 = (3, 4) s˜ao LI, mas suas imagens coincidem: T (v 1 ) = T (v 2 ) = (3, 0). Logo, o conjunto {T (v 1 ), T (v 2 )} ⊂ R^2 ´e LD. Essa situa¸c˜ao ´e ilustrada na figura 1.

T(x,y)=(x,0)

(3,1)

(3,1)

(3,4)

(3,0)

Figura 1: v 1 e v 2 s˜ao LI; T (v 1 ) e T (v 2 ) s˜ao LD.

Uma caracter´ıstica importante das transforma¸c˜os lineares ´e que elas ficam completamente determinadas se as conhecemos nos vetores de uma base do dom´ınio. Isto ´e, dada uma transforma¸c˜ao linear T : V → W , se conhecemos as imagens por T dos vetores de uma base de V , podemos obter a express˜ao de T (v), para um vetor v gen´erico de V. O exemplo a seguir mostra esse procedimento:

Exemplo 13 Seja T : R^3 → R^3 , linear, tal que

T (1, 0 , 0) = (1, 1 , 1); T (0, 1 , 0) = (2, − 1 , 1); T (0, 0 , 1) = (1, 0 , 2). Vamos determinar T (x, y, z), onde (x, y, z) ´e um vetor gen´erico de R^3.

Os vetores v 1 = (1, 0 , 0), v 2 = (0, 1 , 0) e v 3 = (0, 0 , 1) formam a base canˆonica de R^3. Assim, um vetor v = (x, y, z), gen´erico, de R^3 , se escreve (x, y, z) = xv 1 + yv 2 + zv 3. Aplicando a propriedade (iv), temos: T (v) = T (x, y, z) = = T (xv 1 + yv 2 + zv 3 ) = = xT (v 1 ) + yT (v 2 ) + zT (v 3 ) = = x(1, 1 , 1) + y(2, − 1 , 1) + z(1, 0 , 2) = = (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z). Logo, T ´e dada por T (x, y, z) = (x + 2y + z, x − y, x + y + 2z).