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UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE MATEMATICAS ALGEBRA DE MATRICES Ing. MARIO RAUL AZOCAR (Master of Science - New York University - New York City) 1973 UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE INSTITUTO DE MATEMATICAS ALGEBRA DE MATRICES Fana ul ur. ajrtca do Enigo Esaf LUA 18 - New York University - New York City) Conteaty AAA Ac de VE» er 1973 ALGEBRA DE MATRICES 1,- MATRICES La matriz es una noción que corrientemente se define sobre un cuerpo conmutativo cualquiera, o sea sobre un campo. Considerando que en las aplicaciones se trabaja más frecuentemente con el campo de los reales R y con el cam po de los complejos C, nuestro estudio se realizará fundamen talmente sobre estos campos, sin que esto signifique la im- posibilidad de externder nuestros resultados sobre otros cuer pos conmutativos. DEF 1.2. Llamaremos matriz de orden mxn sobre el cuerpo de los complejos C, al conjunto de mxn números: ais e € dispues tos en m renglones y n columas. Designando con a,. el número ubicado en el renglón 15 de orden i y en la columa de orden j de una matriz A, ten- dremos: a aj E) as cecorca dy am ass as3 ceresae Zon expresi6n que para simplícidad en la escritura, denotare- mos brevemente por A = (a;y)» Los números Es que forman la matriz A, se llaman elementos de A. Cuando m = n, la matriz A se dice matriz cua- drada de orden n. En el caso particular en que m=n =1, la matriz está formada por un sólo elemento, el ar yen tal caso anticipamos que (a;5) t aj DEF 1.2. Dos matrices A = tass) y B= bis) del mismo or- den se dirán íquales si y sólo si: a. =D... ij ij De esta definición resulta inmediato que la igual dad matricial, es refleja, simétrica y transitiva. DEF 1,3, Dada una matriz A = (ass) de orden mxn, se llama: a) Matriz opuesta de elia, a la matriz de orden mxn: b) Matriz transpuesta de ella, a la matriz at - (ais) de to orden nxm, donde a15 = aj c) Matriz conjugada de ella, a la matriz de orden mxn: A = (a;5) = ta; 4) dq) Matriz transconjugada de ella, a la matriz A* = (af...) 15 Bm Se deja como ejercicio, por ser análoga a la dada en el teorema precedente. DEF 1,5. Matriz unidad es toda matriz-cuadrada 1 = Esg) donde 815 es el é ge Kronecker DEF. 1,6. Matriz nula, es toda matriz O cuyos elementos son todos ceros. 2.- SUMA DE MATRICES En este párrafo definíremos dos opera ciones matrices: la suma de matrices y el producto de una matriz por un escalar. DEF 2.1. Dadas dos matrices A = (ass) yBs= Dis) del mis- mo orden mxn, llamaremos suma de ellas a una matriz À + B que por defínición valdrá: A+ B = (a;5 + did. TEOREMA 2.1. Sean A, B, Cy O matríces del mismo orden mxn, entonces: a) Ar+B=B+A cJA+O=A Db) (A+B) +C=A+TB+OC a Aa+rt-A) =0 em Trivial, se deja como ejercicio. TEOREMA 2.2. Sean A y B matrices del mísmo orden, entonces: a) -(a+B)=(-A)+(-B) c) ta+B)t=al+ pt b) (A TB) =H+B a, (A +B)t=at+ Bt Dm Trivial. Solo daremos el caso (c) a + Bt t ( as; + bj;) = (as; + bs;) = (254) + sp) t Ly ht t (ajj) + bij)=a +B DEF 2.2. El producto de una matriz A = (ass) por un esca- lar p, es una matriz del mismo ocrden de A, que designare mos con la notaciôón: pA 6 Ap y que por definíción valdrá: pA = Ap = (pa) Observación De acuerdo a las definiciones 1.3 y 2.2 convie ne notar que: -A= (-1)A. Asi tenemos: <1 t 1 at A=G(A+rA) + (A-A) Finalmente esta descomposición es única, pues el sistema que determina S y T es de primer grado, con determinante no nulo, Corolario Para toda matriz cuadrada A se tiene que: S=A+ at es simétrica y T= A - at es antisimétrica., EJERCICIOS 1. Con E (x) designamos el mayor entero que no es mayor que x. Construya las matrices siguientes: a) A= (215) con 2 = E(j/i) y de orden 4x5 b) B= bi) con dy3 = E(ti+1)/(j+2)) de orden 3x4 c)€= (cs) con e; = E(j) y de orden 3x3 d) D= td,,) con 2,5 = E(J6,,) y de orden 4x4 2. Resolver las ecuaciones: 31 a) 5X + IT = ) b) 2K- 31 = -71 6 ec) 3(X + 51,) = 2(X - 1,) 2 2 12 = qd) 2X + Y= (5 4 ) ” Xx-3Y =(5 E) 3. Demuestre que las matrices A, B y C que se indican son linealmente dependientes el 2 -8 =[1-1 o 2 a-(i 8) B=(5 3) e =(2 2) 4. Descomponga la matriz A en suma de una simétrica S y otra antísimétrica T. Tome A arbitraria, cuadrada y de orden 3x3. S. Determine si las matrices A = (215) yB= bs) de or- den 4x4 con ass =E(ij) y bis = e-niia + j) son o no simétricas. 6. Sea V el espacio de las matrices de orden 2x2 sobre el cuerpo C. Se toma HC. V, siendo:H = tala EV AA = At) Determine si H es o no subespacio de V. 3.- PRODUCTO DE MATRICES El producto de matrices difiere fundamentalmente del producto de números reales o comple“ jos, por dos razones principales: primero, las matrices factores deben cumplir ciertas condíciones para que pueda existir su producto y segundo, el próducto que definire- mos no es conmutativo en general. DEF 3,1. Una matriz A será multiplicable por una matriz B 10. es una matriz C = AB de orden (mxp). Como consecuencia in medianta de esta observación se concluye que si A de orden (men) es multiplicable con BE de orden (nxp), el producto de B por A no está definido, a menos que: p = m. Además de esta característica, hay otras diferen cias notables entre el producto de matrices y ei producto en álgebra clásica. Veamos dos que son de fundamental im- portancia. 1º Aún cuando existan los productos AB y BA, no siempre ocurre que: AB = BA, El ejemplo siguiente, ilustra es ta aseveración. (2 N(4 Sa(3 2) «(4 92 De(8 4 as =[4 ali ad=(s é BA=t4 alli 3)-lo 2 Este ejemplo es suficiente para afirmar que el produc- to de matrices no es conmutativo. Debido a esta circuns- tancia, corrientemente se llama al producto AB, posmulti- plicaciôn de A por B o bien premultiplíicaciôón de B por A. 2º El producto de dos matríces puede ser la matriz nula, aún cuando ninguno de los factores sea nulo. El ejem plo siguiente corrobora esta afirmación. 11. TEOREMA 3.1. Sea A una matriz de orden mxn, entonces: ” [1 | n né ea aj tu) = tas 85; 415 H Ed A m mA = La Sax Meg) = Cry gg) = (aj) = A TEOREMA 3.2. a. (EB) = EB b). (a)f = Bt af Cc), (AB)* = B* A* Dm a) Esta igualdad por demostrar,. sólo exige que A sea multíplicable por B, en tal hipótesis tenemos: n aB=( 7 a, bi) ney Cik "3 b À Ex AB = ( a, bi) = ( ds, Drs) k=1 ik kj kEi 1k “k3 — n AB ) AE t +. 1 =&2a =(T ado) = E ES 13. n n (pa) (gB) A (P aj) (a dyj))= (À temas bes) n pq a,y bypsl= (pa) (AB) A 1k 3) q Finalmente: (pA) (gB) pq (AB) = qp (AB) = (gA) (pB) Corolario (-A)B = A(-B) = -(AB) y (-A)(-B) = AB TEOREMA 3.4, (aB)C Ú A(BC) Pm Naturalmente que en la proposición por demostrar, supone mos que los productos indicados existen. Sea entonces A de orden mxp, B de orden pxq y C de orden qgxn. El elemento del renglón de orden h y de la columna de orden i del producto AB es: x = ; a, b hi ay Phj Cgi luego el elemento del rengión de orden h y de la columna de orden k del producto (AB)C es: *hk É ; x Ci E $ ( ; as b.)c 4s1 hi cik ls 351 hj di” Cik 14, Ca ds da ênj Djs Sax 7 A A an Djs Ci Yhk í ans ( j Djs Sgp) j i esta Gltima ígualdad muestra que Thk es el elemento del renglón de orden h y de la columna de orden k del produce to A(BC), de aquí entonces que: (AB)C = A(BC). TEOREMA 3,5. A(B + C) = AB + AC BA + CA bi) (B + CJA Dm Obviamente, nuestro enuncíado: supone que las operacio- nes contenidas en él, son posibles, Sea entonces A de orden mxn, B y € de orden nxp, El elemento del renglón de orden 1 y de la columa de orden k de la matriz B + C es: Six E dx + Cp Por lo tanto el elemento del renglón de orden'h y de la columa de orden k de la matriz: A(B + C) será: [sete] api Pix * Cry) x =) x ] Us Bj Syjo i=1 i=i 16. Corolario Si n es entero positivo, se tiene: (at = (a*)R En efecto: t titat t;n At = (amac.cce AE = AE Lo. AtAtAE = (AE) DEF 3.5. Una matriz cuadrada A É O se dice nulpotente si existe un entero positivo p, tal que: AP =0 Una matriz cuadrada A É O se dice periódica, si existe un entero positivo p tal que: apt = A. El menor entero p que verifique la igualdad prece dente se dirá período de la matriz. Particularmente si a? = A, la matriz se dice idempotente. EJERCICIOS 1. Efectfe los productos que se indican y saque en cada caso una conclusión: "CCD CIC Demuestre que: (A + By? = a? + B2, siendo 1 -1 11 A = y B 2 -1 4-1 Determine todas las matrices X de orden 2x2 tales que 12 2 «( ) 0 4 y 23 Resuelva la ecuaci6n x ( )- 1, - 45 12 Resuelva la ecuación x = 1, y aproveche 2 5 la solucíón encontrada para resolver la ecuaciôn: 1 2 3 4 v= 2 5 2 7 Si X es matriz no nula de orden 2 x 2, resuelva la 37 2 5 ecuación x =X -2 5 -4 12 Exprese matricialmente los sitemas: a) 2%, + 3x, = 5 b) x+2y= 4 x, + 4x, + 7x = 2 2y + z= 5 2x, + 3x, + 6X = 3 22 + 3x = 12 17, 
