Algebra II, Notas de aula de Matemática

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NOTAS DE AULA DE ALGEBRA II´

Valmecir Bayer

10 de setembro de 2007

4 SUM ARIO´

NOTAC¸ ˜OES

Anel = Anel comutativo com unidade

N = { 1 , 2 , 3 ,.. .} = Conjunto dos n´umeros naturais

Z = {... , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 ,.. .} = Anel dos n´umeros inteiros

Z+^ = { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .} = Subconjunto dos n´umeros inteiros n˜ao negativos

Q = Corpo dos n´umeros racionais

R = Corpo dos n´umeros reais

C = Corpo dos n´umeros complexos

Y X^ = Conjunto da fun¸c˜oes de X em Y

A∗^ = Conjunto dos elementos invert´ıveis do anel A

Kern ϕ = n´ucleo do homomorfismo ϕ

Cap´ıtulo 1

FATORAC¸ ˜AO EM AN´EIS DE

POLIN ˆOMIOS

Voltaremos agora a estudar com mais detalhes o anel de polinˆomios k[X] sobre um corpo k. J´a sabemos que k[X] ´e um dom´ınio euclidiano (onde a fun¸c˜ao valor ´e o grau). Como conseq¨uˆencia temos que k[X] ´e um dom´ınio principal (proposi¸c˜ao 3.16) e portanto um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica (teo- rema 3.1 e corol´ario 3.7). As quest˜oes que naturalmente se colocam ent˜ao s˜ao: Quais s˜ao os elementos invers´ıveis de k[X] e quais s˜ao os elementos irredut´ıveis (primos). A primeira quest˜ao j´a foi respondida anteriormente, a saber, os elementos invers´ıveis de k[X] s˜ao exatamente os elementos n˜ao nulos de k, vistos como polinˆomios constantes (Proposi¸c˜ao 3.15). A segunda quest˜ao, em geral, ´e mais delicada. Vamos estudar com mais detalhes os casos espec´ıficos em que k ´e C, R, Q e Zp onde p ´e um inteiro primo.

1.1 Fatora¸c˜ao em C[X] e em R[X]

No caso em que k = C a nossa tarefa fica muito facilitada devido ao Teorema Fundamental da Algebra, devido a Gauss, que afirma que´ C ´e al- gebricamente fechado, isto ´e, todo polinˆomio n˜ao constante de C[X] pos- sui uma raiz em C. Faremos uma demonstra¸c˜ao deste teorema na terceira sec¸c˜ao dos Apˆendices. Aqui o conceito de ra´ız de um polinˆomio se trata naturalmente de um elemento onde o referido polinˆomio se anula, isto ´e, dado f (X) = anXn^ + · · · a 1 X + a 0 ∈ C[X], a ∈ C ´e raiz de f (X) se f (a) = anan^ + · · · a 1 a + a 0 = 0. Esta no¸c˜ao de avalia¸c˜ao de um polinˆomio em

1.1. FATORAC¸ AO EM˜ C[X] E EM R[X] 7

Se m = 1 ent˜ao dizemos que α ´e uma raiz simples de f (X). Se m = 2 ent˜ao dizemos que α ´e uma raiz dupla de f (X). Em geral, se m ≥ 2 dizemos que α ´e uma raiz m´ultipla de f (X).

Temos imediatamente a seguinte proposi¸c˜ao.

PROPOSIC¸ ˜AO 1.1. Sejam f (X) ∈ k[X] um polinˆomio n˜ao constante e α ∈ k. Ent˜ao

f (X) ´e m´ultiplo de X − α em k[X] ⇐⇒ α ´e ra´ız de f (X).

Demonstra¸c˜ao: Suponha que f (X) seja m´ultiplo de X − α em k[X]. Ent˜ao existe g(X) ∈ k[X] tal que f (X) = (X − α) · g(X). Ent˜ao, claramente f (α) = 0, isto ´e, α ´e raiz de f (X). Reciprocamente, suponha que α ∈ k seja raiz de f (X), isto ´e, f (α) = 0. Pela divis˜ao euclidiana em k[X] aplicada a f (X) e X − α, existem polinˆomios g(X), r(X) ∈ k[X] tais que

f (X) = (X − α) · g(X) + r(X),

onde r(X) = r = constante em k j´a que gr(X − α) = 1. Assim, avaliando f (X) em α temos que

0 = f (α) = (α − α) · g(α) + r =⇒ r = 0.

Logo, f (X) = (X − α) · g(X), o que mostra que f (X) ´e m´ultiplo de X − α.

COROL ´ARIO 1.1. Seja f (X) ∈ k[X] um polinˆomio de grau n ≥ 1. Ent˜ao f (X) tem no m´aximo n ra´ızes distintas em k.

Demonstra¸c˜ao: O corol´ario segue da proposi¸c˜ao e por indu¸c˜ao em n.

COROL ´ARIO 1.2. Os polinˆomios irredut´ıveis de C[X] s˜ao exatamente os polinˆomios de grau 1.

Demonstra¸c˜ao: Para qualquer corpo k, os polinˆomios de grau 1 s˜ao irredut´ıveis em k[X] (lembre-se que os invers´ıveis de k[X] s˜ao os polinˆomios n˜ao nulos de grau zero, isto ´e, os elementos n˜ao nulos de k). Reciprocamente, se f (X) ∈ C[X] ´e um polinˆomio de grau n ≥ 2, pelo Teorema Fundamental da Algebra citado acima,´ f (X) possui uma raiz em C. Pela proposi¸c˜ao (5.1) acima, f (X) ´e redut´ıvel em C[X].

8 CAP´ITULO 1. FATORAC¸ AO EM AN ˜ EIS DE POLIN ´ OMIOSˆ

O corol´ario (5.2) acima nos permite decompor qualquer polinˆomio n˜ao constante de f (X) ∈ C[X] da seguinte forma:

f (X) = a · (X − α 1 )m^1 · (X − α 2 )m^2 · · · (X − αt)mt

onde a ∈ C∗, α 1 , α 2 ,... , αt ∈ C e m 1 , m 2 ,... , mt ∈ N. Naturalmente, esta ´e a decomposi¸c˜ao (´unica) de f (X) em fatores irredut´ıveis de C[X]. Isto encerra a discuss˜ao da fatora¸c˜ao em C[X].

Vamos usufruir desta facilidade (te´orica) de fatora¸c˜ao em C[X] para en- contrar a fatora¸c˜ao de um polinˆomio em R[X]. Primeiramente fazemos os seguintes coment´arios.

A conjuga¸c˜ao complexa permite definir a seguinte aplica¸c˜ao no anel de polinˆomios C[X]: C : C[X] −→ C[X] f (X) 7 −→ f (X)

da seguinte maneira: se f (X) = anXn^ + an− 1 Xn−^1 + · · · + a 1 X + a 0 ∈ C[X] ent˜ao,

C(f (X)) = f (X) = anXn^ + an− 1 Xn−^1 + · · · + a 1 X + a 0

onde para z ∈ C, z denota o seu conjugado. E muito f´´ acil verificar que C ´e um homomorfismo de an´eis de C[X] em si mesmo. Tamb´em ´e f´acil verificar que C ´e auto-invers´ıvel, isto ´e, C ◦ C = Id. Portanto C ´e um automorfismo de C[X]. Al´em disso, podemos verificar que vale: (a) f (X) = f (X) ⇐⇒ f (X) ∈ R[X] (b) Se α ∈ C ent˜ao f (α) = f (α)

Segue imediatamente de (b) que dado f (X) ∈ C[X] ent˜ao, α ∈ C ´e raiz de f (X) se, e somente se, α ´e raiz de f (X).

PROPOSIC¸ ˜AO 1.2. Seja p(X) ∈ R[X]. Se α ∈ C ´e raiz de multiplicidade m de p(X). ent˜ao, α ´e raiz de multiplicidade m de p(X).

Demonstra¸c˜ao: Se α ∈ C ´e raiz de multiplicidade m de p(X) ent˜ao p(X) = (X − α)m^ · q(X), com q(X) ∈ C[X] e q(α) 6 = 0. Como p(X) ∈ R[X], temos que p(X) = p(X) = (X − α)m^ · q(X). Note agora que q(α) = q(α) 6 = 0 e portanto α ´e raiz de multiplicidade m de p(X).

10 CAP´ITULO 1. FATORAC¸ AO EM AN ˜ EIS DE POLIN ´ OMIOSˆ

1. Uma raiz de X^4 + 3X^3 − 30 X^2 + 366X − 340 ´e 3 + 5i, ache as demais ra´ızes.
2. 1 + i ´e raiz m´ultipla de X^6 − 3 X^5 + 5X^4 − 4 X^3 + 4X^2 − 4 X + 4 = 0. Ache a multiplicidade desta raiz e as demais ra´ızes.
3. Fatore em R[X] os seguintes polinˆomios

a) X^4 + 4X^2 + 3 b) X^4 + 4X^2 + 4 c) X^4 − X^2 + 1 d) X^4 + pX^2 + q com p, q ∈ R

1. Mostre que se n ∈ N, ent˜ao

(a) X^2 n^ − 1 = (X − 1)(X + 1) ·

∏n− 1 k=

X^2 − 2 X cos kπn + 1

(b) X^2 n+1^ − 1 = (X − 1) ·

∏n− 1 k=

X^2 − 2 X cos (^22) nkπ+1 + 1

1. Fatore em R[X] os seguintes polinˆomios a) X^24 − 1 b) X^12 − 1 c) X^13 − 1.
2. Seja k um corpo e f = f (X) ∈ k[X] um polinˆomio de grau 2. Mostre que f ´e irredut´ıvel em k[X], ou f admite uma fatora¸c˜ao em fatores lineares em k[X].
3. Seja k um corpo e f = f (X) ∈ k[X] um polinˆomio de grau 3.

(a) Mostre que f ´e redut´ıvel em k[X] se, e somente se, f possue um raiz em k. (b) Dˆe exemplo de um polinˆomio de grau 4 em k[X] para algum corpo k, redut´ıvel, que n˜ao possue raiz em k.

1. Seja f = f (X) ∈ R[X] um polinˆomio de grau 2. Mostre que f (X) ´e irredut´ıvel em R[X] se. e somente se, f (X) possue uma escrita sob a forma

f (X) = (X − a)^2 + b^2 com a, b ∈ R e b 6 = 0.

1. Sejam k ⊂ C um subcorpo dos complexos e α ∈ k. Seja

J = {f (X) ∈ k[X] | f (α) = 0}.

1.2. ALGUMAS APLICAC¸ OES˜ 11

(a) Mostre que J ´e um ideal de k[X]. (b) Mostre que se J 6 = { 0 } ent˜ao qualquer gerador de J ´e irredut´ıvel.

(c) Seja A = k[ JX ]o anel quociente definido por J em k[X], isto ´e, A ´e o conjunto das classes residuais definidas por J onde dois polinˆomios g, h ∈ k[X] s˜ao equivalentes se, e somentes se g − f ∈ J e a classe residual de g ´e g = {h ∈ k[X] | g − h ∈ J}. Mostre que se J 6 = 0 ent˜ao A ´e um corpo.

1. Sejam k[X] o anel dos polinˆomios sobre um corpo k e J 6 = 0 um ideal primo n˜ao nulo de k[X]. Mostre que M = k[X] − J ´e um conjunto multiplicativo, isto ´e, 1 ∈ M e se g, h ∈ M ent˜ao f · g ∈ M. Seja k[X]J o conjunto das fra¸c˜oes racionais onde os denominadores s˜ao tomados em M. Mostre que k[X]J ´e um subanel do corpo das fra¸c˜oes de k[X]. Seja

Jk[X]J =

α β

∈ k[X]J | α ∈ J e β ∈ M

Mostre que Jk[X]J ´e um ideal de k[X]J. Mostre tamb´em que todo elemento r ∈ k[X]J tal que r /∈ Jk[X]J ´e invers´ıvel em k[X]J. Conclua que se I ´e um ideal de k[X]J que contem propriamente Jk[X]J ent˜ao, I = k[X]J.

1.2 Algumas Aplica¸c˜oes

Nesta sec¸c˜ao vamos fazer algumas aplica¸c˜oes do anel de polinˆomios sobre subcorpos de C. Estaremos supondo, na sec¸c˜ao toda, que k ´e um subcorpo dos complexos.

4.5.1 - Derivadas

A principal raz˜ao de considerarmos derivadas formais em an´eis de polinˆomios sobre corpos quaisquer ´e que podemos utiliz´a-las para estabelecer crit´erios para multiplicidades de ra´ızes. Neste contexto, a defini¸c˜ao ´e completamente alg´ebrica, n˜ao levando em conta no¸c˜oes de limite.

1.2. ALGUMAS APLICAC¸ OES˜ 13

PROPOSIC¸ ˜AO 1.4. Sejam f (X), g(X) ∈ k[X], m ∈ N e λ ∈ k. Ent˜ao,

(a) D(f (x) + g(X)) = D(f (X)) + D(g(X)) e D(λf (X)) = λD(f (X));

(b) D(f (X) · g(X)) = f (X)D(g(X)) + g(X)D(f (X));

(c) D(f (X))m^ = m · f (X)^ · D(f (X)).

Demonstra¸c˜ao: Deixamos como exerc´ıcio a verifica¸c˜ao dos ´ıtens (a) e (b). Vamos verificar (c) por indu¸c˜ao em m. Se m = 1, nada se tem para verificar. Suponha ent˜ao m ≥ 2 e que a regra seja verdadeira para m − 1. Ent˜ao por (b) temos que

D([f (X)]m) = D(f (X)^ · f (X)) =

= f (X)^ · D(f (X)) + D(f (X)) · f (X).

Pela h´ıp´otese de indu¸c˜ao, D(f (X)) = (m − 1) · [f (X)]m−^2 · D(f (X)), logo temos:

D([f (X)]m) = f (X)^ · D(f (X)) +

• [(m − 1) · [f (X)]m−^2 · D(f (X))] · f (X) =

= f (X)[D(f (X)) + (m − 1)D(f (X))] =

= m · f (X)^ · D(f (X)).

Observa¸c˜oes: 1) O operador D pode naturalmente ser iterado:

Dn^ = Dn−^1 ◦ D para todo inteiro n ≥ 2.

1. Utlizaremos tamb´em as nota¸c˜oes tradicionais (mais curtas) para Dn, a saber, f (n)(X) = Dn(f (X)). Seja f (X) ∈ k[X] de grau ≥ 1 e α ∈ k uma raiz de f (X). Seja m ≥ 1 a multiplicidade de α como raiz de f (X). Se m = 1 ent˜ao, pela defini¸c˜ao (5.1), existe g(X) ∈ k[X] tal que f (X) = (X − α)g(X) com g(α) 6 = 0. Ent˜ao

14 CAP´ITULO 1. FATORAC¸ AO EM AN ˜ EIS DE POLIN ´ OMIOSˆ

derivando f (X) obtemos, f ′(X) = (X − α) · g′(X) + 1 · g(X). Avaliando em α obtemos

f ′(α) = g(α) 6 = 0 e, portanto, f ′(α) 6 = 0.

Por outro lado, se f ′(α) = 0, ent˜ao pela defini¸c˜ao (5.1) podemos escrever

f (X) = (X − α) · g(X) para algumg(X) ∈ k[X], (1)

portanto, f ′(X) = (X − α) · g′(X) + 1 · g(X). Como f ′(α) = 0, teremos, 0 = f ′(α) = 0 · g′(α) + g(α) = g(α), isto ´e, g(α) = 0. Logo, novamente pela defini¸c˜ao (5.1), temos g(X) = (X − α) · h(X) para algum h(X) ∈ k[X]. Voltando este valor de g(X) na igualdade (1) acima obtemos,

f (X) = (X − α)^2 · g(X).

Logo, α ´e raiz m´ultipla de f (X).

Assim, acabamos de demonstrar o seguinte fato:

PROPOSIC¸ ˜AO 1.5. (Crit´erio da derivada para raizes m´ultiplas): Seja f (X) ∈ k[X] e α ∈ k uma raiz de f (X). Ent˜ao

α ´e uma raiz simples de f (X) se, e somente se, f (α) = 0 e f ′(α) 6 = 0.

Equivalentemente,

α ´e uma raiz m´ultipla de f (X) se, e somente se, f (α) = f ′(α) = 0.

COROL ´ARIO 1.5. Seja p(X) ∈ C[X]. Ent˜ao p(X) n˜ao tem raizes m´ultiplas se, e somente se, M DC(p(X), p′(X)) = 1.

Demonstra¸c˜ao: p(X) e p′(X) tˆem uma raiz comum em α ∈ C se, e somente se, p(X) e p′(X) s˜ao ambos m´ultiplos de X − α em C[X].

COROL ´ARIO 1.6. Seja p(X) ∈ k[X], onde k ⊂ C. Se p(X) ´e irredut´ıvel em k[X] ent˜ao, p(X) n˜ao tem raiz m´ultipla em C.

16 CAP´ITULO 1. FATORAC¸ AO EM AN ˜ EIS DE POLIN ´ OMIOSˆ

PROPOSIC¸ ˜AO 1.7. Sejam f (X) ∈ k[X], α ∈ C e m ∈ N, m ≥ 2. Ent˜ao s˜ao equivalentes

(a) α ´e uma raiz de multiplicidade m de f (X).

(b) f (i)(α) = 0 para todo i = 1, 2 ,... m − 1 e f (m)(α) 6 = 0.

Demonstra¸c˜ao: (a) =⇒ (b): Se α ´e raiz de multiplicidade m de f (X) ent˜ao, pela proposi¸c˜ao (5.6) α ´e raiz de multiplicidade m − 1 de f ′(X). Repetindo o argumento, obtemos que α ´e raiz de multiplicidade m − i de f (i)(X). Em particular, α ´e raiz de multiplicidade 1 de f (m−1)(X), portanto f (m)(α) 6 = 0 e segue o que queremos.

(b) =⇒ (a) Segue de (b) que α ´e raiz de multiplicidade 1 de p(m−1)^ e portanto ´e raiz de multiplicidade 2 de f (m−2)(X) e assim sucessivamente at´e chegarmos que α ´e raiz de multiplicidade m de p(X).

4.5.2 - A S´erie de Taylor

Considere k ⊂ C um subcorpo do corpo dos n´umeros complexos.

PROPOSIC¸ ˜AO 1.8. Sejam f (X) ∈ k[X] e α ∈ k. Ent˜ao existem elemen- tos b 0 , b 1 , b 2 ,... , bn ∈ k, unicamente determinados, tais que

f (X) = b 0 + b 1 (X − α) + b 2 (X − α)^2 + · · · + an(X − α)n

Demonstra¸c˜ao: Defina b 0 = f (α) ∈ k. Derivando f (X) obtemos,

f ′(X) = b 1 + 2b 2 (X − α) + 3b 3 (X − α)^2 + · · · + nan(X − α)n−^1

Defina b 1 = f ′(α). Derivando f ′(X) obtemos,

f ′′(X) = 2b 2 + 3 · 2 b 3 (X − α) + 4 · 3 b 4 (X − α)^2 + · · · + n · (n − 1)an(X − α)n−^2

Defina b 2 = 12 f ′′(α). Derivando f ′′(X) obtemos

f ′′′(X) = 3 · 2 b 3 + 4 · 3 · 2(X − α) + 5 · 4 · 3 b 4 (X − α)^2 + · · ·

Defina b 3 = (^31) · 2 f ′′′(α). Assim, sucessivamente, definimos

br =

r!

f (r)(α), para r = 4, 5 ,... , n.

1.2. ALGUMAS APLICAC¸ OES˜ 17

A unicidade dos bj segue da maneira como eles forma determinados.

A express˜ao

f (X) =

∑^ n

r=

r!

f (r)(α) · (X − α)r

´e chamada expans˜ao de Taylor de f (X) em torno de α.

COROL ´ARIO 1.7. Seja f (X) ∈ k[X] um polinˆomio de grau n, α ∈ k e m ≥ 1. Ent˜ao α ´e raiz de multiplicidade m de f (X) se, e somente se,

f (X) =

∑^ n

r=m

r!

f (r)(α) · (X − α)r

Demonstra¸c˜ao: Segue imediatamente das proposi¸c˜oes (5.7) e (5.8).

4.5.3 - Fra¸c˜oes Parciais

Um m´etodo de integra¸c˜ao muito utilizado no c´alculo integral ´e o chamado m´etodo das fra¸c˜oes parciais. A justificativa te´orica do m´etodo e a garantia de seu funcionamento podem ser dadas utilizando o corpo de fra¸c˜oes do anel de polinˆomios que denominamos corpo das fra¸c˜oes racionais. Assim se k[X] ´e o anel de polinˆomios sobre o corpo k ent˜ao, o corpo das fra¸c˜oes racionais de k[X], que denotaremos por k(X), (perceba a diferen¸ca de nota¸c˜ao!) ´e definido por

k(X) =

f (X) g(X)

| f (X), g(X) ∈ k[X], g(X) 6 = 0

(Veja exerc´ıcio 15 da sec¸c˜ao 2.6 na p´agina 85 destas notas) E f´´ acil verificar, j´a que k[X] ´e um dom´ınio fatorial, que podemos sempre supor que o numerador f (X) e o denominador g(X) n˜ao tˆem fatores irredut´ıveis comuns e assim podemos escrever

k(X) =

f (X) g(X)

| f (X), g(X) ∈ k[X], g(X) 6 = 0 e M DC(f (X), g(X)) = 1

Decompor uma fun¸c˜ao racional em fra¸c˜oes parciais consiste em encontrar outras fun¸c˜oes racionais, que de um certo modo sejam mais simples, cuja

1.2. ALGUMAS APLICAC¸ OES˜ 19

existem A 1 , A 2 ∈ k[X] tais que 1 = A 1 f 1 + A 2 f 2. Dividindo (em k(X)) esta ´ultima igualdade por f 1 f 2 obtemos:

1 f 1 f 2

A 1

f 2

A 2

f 1

Assim, basta tomar h 1 = A 2 e h 2 = A 1.

TEOREMA 1.1. Seja R = fg ∈ k(X) uma fra¸c˜ao racional, com g 6 = 0 e

M DC(f, g) = 1. Ent˜ao R pode ser escrita, de maneira ´unica, sob a forma

R =

f g

h 1 pr 11

h 2 pr 22

ht pr tt

• h

onde hi, pi, h ∈ k[X], gr(hi) < gr(pr i i), pi ´e mˆonico, irredut´ıvel em k[X], n˜ao divide hi para cada i = 1, 2 ,... , t e pi 6 = pj para i 6 = j.

Demonstra¸c˜ao: (1) Existˆencia da Decomposi¸c˜ao: Vamos usar indu¸c˜ao em t. Escreva a decomposi¸c˜ao de g em fatores irredu´tiveis distintos de k[X]:

g = pr 11 · pr 22 · · · pr t t.

Ent˜ao 1 g

g 1 · pr 1 t

onde g 1 = pr 11 · · · pr t−t− 11.

Observe que M DC(g 1 , pr t t) = 1, assim, pelo Lema (5.1), existem polinˆomios A 1 , Bt ∈ k[X] tais que

1 g

g 1 · pr tt

A 1

g 1

Bt pr tt

Se t = 2 ent˜ao temos a express˜ao desejada. Suponhamos ent˜ao que t ≥ 3. Pela hip´otese de indu¸c˜ao, existem polinˆomios B 1 ,... , Bt− 1 em k[X] tais que

A 1 g 1

B 1

pr 11

B 2

pr 22

Bt− 1 pr t−t− 11

Assim, 1 g

B 1

pr tt

B 2

pr 22

Bt− 1 pr t−t− 11

Bt pr tt

20 CAP´ITULO 1. FATORAC¸ AO EM AN ˜ EIS DE POLIN ´ OMIOSˆ

Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por f , obtemos

f g

f B 1 pr tt

f B 2 pr 22

f Bt− 1 pr t−t− 11

f Bt pr tt

Agora, dividindo cada f Bi por pr i iem k[X], encontramos qi, hi ∈ k[X], com hi = 0 ou gr(hi) < gr(pr i I) tais que f Bi = qipr i i+ hi. Substituindo cada uma dessas express˜oes de f Bi na ´ultima igualdade acima obtemos a decomposi¸c˜ao,

f g

h 1 pr tt

h 2 pr 22

ht− 1 pr tt−− 11

ht pr tt

• h,

onde h = q 1 + q 2 + · · · qt, e esta ´e express˜ao desejada.

(2): Unicidade da decomposi¸c˜ao: Suponha que tenhamos

R =

f g

h 1 pr tt

h 2 pr 22

ht pr tt

• h =

v 1 ps tt

v 2 ps 22

vt ps tt

• v,

onde hi, vi, h, v ∈ k[X], 0 ≤ gr(hi), gr(vi) < gr(pr i i), M DC(hi, pi) = 1, M DC(vi, pi) = 1 para todo i = 1, 2 ,... , t. (Observe que podemos assumir que os primos pi que comparecem no denominador de cada uma das fra¸c˜oes parciais s˜ao os mesmos, admitindo que possamos ter expoente ri = 0 ou si = 0). Esta igualdade ´e equivalente `a seguinte igualdade:

h 1 pr 11

v 1 ps 11

α β

onde α, β ∈ k[X], M DC(α, β) = 1 e p 1 n˜ao divide β, pois,

h 1 pr 11

v 1 ps 11

h 2 pr 22

ht pr tt

• h

v 2 ps 22

vt ps tt

• v

w 2 + · · · + wt + w pm 2 2 · · · pm tt

onde mj = max{rj , sj } para cada j = 2,... , t, os wj e w s˜ao os numeradores obtidos ap´os reduzir a soma de fra¸c˜oes anteriores ao mesmo denominador. Assim, basta tomar α = w 2 +· · ·+wt +w e β = pm 2 2 · · · pm t te, caso necess´ario, cancelamos os fatores comuns de α e β e da´ı claramente temos as condi¸c˜oes impostas. Podemos supor r 1 ≥ s 1 (Caso contr´ario invertemos os pap´eis