Álgebra Linear 2 - curso de algebra linear, Notas de estudo de Matemática

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CURSO DE

Álgebra Linear Aplicada

Antonio Cândido Faleiros

Centro de Matemática, Computação e Cognição

Universidade Federal do ABC

Santo André, SP

6 de abril de 2009

Sumário

• 1 Equações lineares
  • 1.1 Equação algébrica linear
  • 1.2 Produto escalar
  • 1.3 Sistemas de equações algébricas lineares
  • 1.4 Sistema escalonado
  • 1.5 Sistema inferiormente escalonado
  • 1.6 Sistemas equivalentes
  • 1.7 O método da eliminação de Gauss
  • 1.8 Matrizes inversas
  • 1.9 Matrizes elementares
  • 1.10 Cálculo da inversa
  • 1.11 Fatoração LU
  • 1.12 Decomposição PLU
  • 1.13 Decomposição de Cholesky
• 2 Espaço vetorial
  • 2.1 Conceito de espaço vetorial
  • 2.2 Dependência linear
  • 2.3 Base e dimensão
  • 2.4 Matriz de mudança de base
  • 2.5 Subespaço vetorial
  • 2.6 Subespaço gerado
• 3 Transformação linear
  • 3.1 Matriz de uma transformação linear
  • 3.2 Isomorfismo
  • 3.3 Transformações lineares em Cm×
• 4 Produto interno e norma
  • 4.1 Produto interno em espaços vetoriais reais
  • 4.2 Produto interno em espaços vetoriais complexos
  • 4.3 Funcional linear
  • 4.4 Norma
  • 4.5 Ortogonalização de Gram-Schmidt ii Notas de aula do Prof. Antonio Cândido Faleiros
  • 4.6 Decomposição QR
• 5 Soma de subespaços
  • 5.1 Soma direta
  • 5.2 Complemento ortogonal
• 6 Transformação adjunta
  • 6.1 Posto de uma transformação linear
  • 6.2 Existência de solução dos sistemas lineares
• 7 Projetores
  • 7.1 Projetores ortogonais
  • 7.2 Projetores ortogonais em Cm×
  • 7.3 Ortogonalização de Gram-Schmidt em Cm×
  • 7.4 Ortogonalização modificada de Gram-Schmidt
  • 7.5 Contagem das operações
• 8 Refletor de Householder
  • 8.1 Decomposição QR usando o refletor de Householder
  • 8.2 O algoritmo para calcular R
  • 8.3 Contagem das operações
  • 8.4 O algoritmo para calcular Q∗
  • 8.5 O algoritmo para calcular Q
• 9 Mínimos quadrados
  • 9.1 Mínimos quadrados e a decomposição QR
  • 9.2 Pseudo inversa
  • 9.3 Reta de regressão
  • 9.4 Interpolação polinomial
  • 9.5 Ajuste polinomial
  • 9.6 Aproximação polinomial de funções
  • 9.7 Aproximação trigonométrica
• 10 Autovalores e autovetores
• 11 Espaços Invariantes
  • 11.1 Polinômio mínimo
  • 11.2 Matrizes em bloco
  • 11.3 Decomposição primária
  • 11.4 Diagonalização de operadores normais
  • 11.5 Decomposição de Schur
  • 11.6 Decomposição em valores singulares
• 12 Forma canônica de Jordan Notas de aula do Prof. Antonio Cândido Faleiros iii
  • 12.1 Operadores nilpotentes
  • 12.2 Forma canônica de Jordan
  • 12.3 Subespaços cíclicos
  • 12.4 Forma canônica racional
  • 12.5 Forma triangular
  • 12.6 Espaços quocientes
• 13 Aplicações
• A Matrizes
  • A.1 Matrizes especiais
  • A.2 Multiplicação de matrizes
  • A.3 Inversa
  • A.4 Operações elementares e matrizes elementares
• B Determinante
  • B.1 Permutação
  • B.2 Determinante
  • B.3 Cofator
  • B.4 Regra de Cramer
  • B.5 Determinante de Vandermonde
  • B.6 Determinante, uma definição alternativa

iv Notas de aula do Prof. Antonio Cândido Faleiros

Exemplo 1.1 Para todo s real, a matriz coluna [7 + 3s, 2 s]T^ é solução de 2 x 1 − 3 x 2 = 8 que, portanto, possui infinitas soluções. A variável s que aparece neste exemplo é chamado de parâmetro.

O conjunto de todas as soluções de uma equação é chamado conjunto solução ou solução geral. Cada elemento deste conjunto é, evidentemente, uma solução e, quando for conveniente, será chamado de solução particular. Para determinar a solução geral de uma equação não degenerada a 1 x 1 + · · · + anxn = b basta explicitar a incógnita principal em função das variáveis livres.

Exemplo 1.2 Para obter a solução geral de x 1 − 7 x 2 + x 3 = 1, basta explicitar x 1 para obter x 1 = 1+ 7x 2 − x 3. A solução geral é o conjunto de matrizes coluna  

x 1 x 2 x 3

1 + 7x 2 − x 3 x 2 x 3

 (^) + x 2

 (^) + x 3

A equação a 1 x 1 + · · · + anxn = 0

é denominada de equação homogênea. Ela está associada à equação não homogênea (1.1) e, por esse motivo, é chamada de equação homogênea associada à equação não homogênea a 1 x 1 + · · · + anxn = b.

O uso de matrizes pode simplificar a notação. Sendo a = [a 1 ,... , an]T^ a matriz dos coeficientes e x = [x 1 ,... , xn]T^ a matriz das variáveis, a equação acima pode ser colocada na forma aT^ x = b.

Exemplo 1.3 Consideremos novamente a equação do exemplo anterior x 1 − 7 x 2 + x 3 = 1 , cuja solução geral é  

x 1 x 2 x 3

1 + 7x 2 − x 3 x 2 x 3

 (^) + x 2

 (^) + x 3

É interessante observar que [1, 0 , 0]T^ é solução da equação e que tanto [7, 1 , 0]T^ quanto [− 1 , 0 , 1]T^ são soluções da equação homogênea associada.

Este exemplo apresenta um fato geral. Se v 1 ,... , vp forem soluções da equação homogênea aT^ x = 0, então c 1 v 1 + · · · + cpvp

continua sendo solução, para qualquer escolha dos números reais c 1 ,... , cn. Esta soma é chamada de combinação linear das matrizes v 1 ,... , vp. Se um conjunto {v 1 ,... , vp} de soluções da equação homogênea for tal que toda solução da equação homogênea é uma combinação linear dos seus elementos, diremos que ele é um conjunto gerador das soluções da equação homogênea.

Exemplo 1.4 Explicitando x 1 na equação x 1 − 3 x 2 + x 3 = 0, obtemos x 1 = 3x 2 − x 3 para daí obter todas as soluções desta equação

 

x 1 x 2 x 3

3 x 2 − x 3 x 2 x 3

 (^) = x 2

 (^) + x 3

Portanto, [3, 1 , 0]T^ e [− 1 , 0 , 1]T^ formam um conjunto gerador de soluções para a equação dada.

Se w 0 for uma solução da equação não homogênea aT^ x = b e v for uma solução da equação homogênea Ax = 0, então w 0 + v é solução da equação não homogênea. Além disso, se w 1 for outra solução de Ax = b, então existe uma solução u de Ax = 0 tal que w 1 = w 0 + u. Esta solução u é exatamente w 1 − w 0. Do parágrafo acima tiramos uma lição muito interessante. Conhecendo todas as soluções da homogênea e uma única solução da não homogênea, conheceremos todas as soluções da não homogênea.

1.2 Produto escalar

O produto matricial aT^ x é denominado de produto escalar das matrizes coluna a e x, sendo denotado por ha, xi , isto é,

ha, xi = aT^ x.

Este conceito de produto escalar é importante e voltaremos a ele posteriormente.

Propriedades do produto escalar

Se x, y, z forem vetores coluna e k um número real,

1. hx, xi ≥ 0 e hx, xi = 0 se e só se x = 0.
2. hx, yi = hy, xi
3. hx, y + zi = hx, yi + hx, zi
4. hx, kyi = k hx, yi

Usando o produto escalar, a equação (1.1) assume a forma

ha, xi = b.

não possui solução pois não existem x 1 e x 2 que tornam verdadeira a segunda equação. A segunda equação do sistema é degenerada e seu segundo membro é diferente de zero. O sistema (^) · 1 2 0 1

x 1 x 2

possui uma única solução x 1 = 2 e x 2 = 1. Para obtê-la, basta observar que, da segunda equação x 2 = 1 e, da primeira, x 1 + 2x 2 = 4. Como x 2 = 1, devemos ter x 1 = 2. O sistema (^) · 1 2 2 4

x 1 x 2

possui infinitas soluções. De fato, explicitano x 1 na primira equação segue x 1 = 3− 2 x 2. Substituindo esta expressão na segunda vem 2(3− 2 x 2 ) + 4x 2 = 6 que se simplifica em 6 = 6 , ou seja, é sempre satisfeita. Logo, qualquer matrix coluna [x 1 , x 2 ]T^ = [3− 2 x 2 , x 2 ]T^ é uma solução do sistema. A variável x 2 pode variar livremente nos reais.

O conjunto de todas as soluções do sistema é chamado de conjunto solução ou solução geral do sistema. Este conjunto pode ser vazio, ter um único elemento ou possuir infinitos elementos. O sistema de equações que não possui solução é chamado incompatível. Quando possui uma única solução é compatível determinado e, quando possui infinitas soluções, é chamado de compatível indeterminado. O sistema de equações Ax = 0 é chamado de homogêneo. Quando b 6 = 0, o sistema de equações Ax = b é chamado de não homogêneo. Um sistema está intimamente ligado ao outro e, por esta razão, Ax = 0 é chamado de sistema homogêneo de equações associado ao sistema Ax = b. A equação homogênea Ax = 0 possui sempre a solução trivial x = 0. Entretanto, quando o sistema homogêneo Ax = 0 possui uma solução v não trivial, ela possuirá infinitas soluções pois cv será solução para qualquer número real c. Podemos ir um pouco além. Se v 1 ,... , vp forem soluções do sistema homogêneo Ax = 0 , então c 1 v 1 + · · · + cpvp

ainda será uma solução do sistema homogêneo para qualquer escolha dos números reais c 1 ,... , cn. A soma acima é chamada de combinação linear dos vetores {v 1 ,... , vp}. Se toda solução de Ax = 0 for uma combinação linear dos elementos deste conjunto, ele será chamado de conjunto gerador das soluções do sistema homogêneo Ax = 0. Se v for uma solução de Ax = 0 e w 0 for uma solução de Ax = b, então w 0 + v é solução de Ax = b. Se w 1 for outra solução de Ax = b, diferente de w 0 , então u = w 1 − w 0 é solução de Ax = 0. Logo, qualquer solução w 1 do sistema Ax = b é da forma w 1 = w 0 + u onde u é solução da equação homogênea Ax = 0. Em outras palavras, conhecida uma solução w 0 de Ax = b, outra solução w 1 deste sistema é da forma w 1 = w 0 + u, onde u é solução do sistema homogêneo Ax = 0. Ao conhecer uma única solução do sistema não homogêneo Ax = b e a solução geral do sistema homogêneo Ax = 0, se conhece a solução geral do sistema não homogêneo.

O sistema não homogêneo Ax = b pode ter uma solução ou não. Se a única solução do sistema homogêneo Ax = 0 for a trivial e Ax = b tiver uma solução, ela será única. Quando Ax = 0 possuir solução não trivial e Ax = b possuir uma solução, então possuirá infinitas outras.

Exemplo 1.6 Considere o sistema

· 1 − 2 5 0 1 − 6

x 1 x 2 x 3

Explicitando x 2 na segunda equação, x 2 = 3+ 6x 3. Usando esta expressão de x 2 na primeira equação e explicitando x 1 , segue x 1 = 13+ 7x 3. Logo, toda solução deste sis- tema é da forma (^) 



x 1 x 2 x 3

 (^) + x 3

Observe que [13, 3 , 0]T^ é uma solução particular do sistema e [7, 6 , 1]T^ é solução do sistema homogêneo associado. O valor de x 3 poder variar livremente no conjunto dos números reais.

No exemplo anterior, as variáveis x 1 e x 2 foram expressas em termos de x 3. neste caso, chamamos x 1 e x 2 de variáveis principais e x 3 é a variável livre.

1.4 Sistema escalonado

Uma matriz escalonada é aquela em que

1. Todas as linhas nulas estão abaixo das linhas não nulas.
2. Numa linha não nula, o primeiro elemento não nulo é igual a 1. Este elemento é chamado de pivô ou líder da linha.
3. O pivô de uma linha está à direita do pivô da linha de cima.

Exemplo 1.7 A matriz (^) 



é escalonada.

Exemplo 1.9 O sistema

 

x 1 x 2 x 3 x 4

é escalonado reduzido. As variáveis x 1 e x 3 são principais e x 2 e x 4 são livres. A última equação é degenerada mas compatível. O método da substituição reversa nos fornece x 3 = −x 4 e x 1 = − 3 − 2 x 2 − 3 x 4 , onde as variáveis principais estão em função das variáveis livres.

Algoritmo da substituição reversa

Este algoritmo resolve o sistema Rx = b pelo método da substituição reversa, onde R é quadrada, inversível e triangular superior. Isto significa que

R =

r 11 r 12 · · · r 1 m r 22 · · · r 2 m ... ... rmm

com rii 6 = 0, para i = 1,... , m. Para resolver o sistema Rx = b, iniciamos explicitando xm na última equação e, retornando até a primeira, explicitando as variáveis principais de cada equação em função das variáveis determinadas nas etapas anteriores. Assim,

xm = bm/rmm xm− 1 = (bm− 1 − rm− 1 ,mxm) /rm− 1 ,m− 1 xm− 2 = (bm− 2 − rm− 2 ,m− 1 xm− 1 − rm− 2 ,mxm) /rm− 2 ,m− 2

e assim por diante. O caso geral, em que j = m − 1 , m − 2 ,... , 1 , assume a forma

xj =

Ã

bj −

X^ m

k=j+

rjkxk

rm−j,m−j

Entrada: Matriz R de tamanho m × m e matriz b de tamanho m × 1. Saída: Matriz x de tamanho m × 1.

================================== x = b ; x(m) = b(m) / R(m,m); for j = m-1:-1: x(j) = ( b(j) - R(j, j+1:m) * x(j+1:m) ) / R(j,j); end ==================================

1.5 Sistema inferiormente escalonado

Um procedimento semelhante pode ser adotado para matrizes m × n inferiormente escalonadas, que são aquelas com as seguintes características:

1. Se existirem linhas nulas, elas se localizam na parte inferior da matriz.
2. O último elemento não nulo de uma linha é igual a 1 , sendo denominado de pivô ou lider da linha.
3. O pivô de uma linha se encontra à direita do pivô da linha anterior.

Quando A for escalonada inferiormente, o sistema Ax = b é chamado de sistema inferiormente escalonado. As variáveis que multiplicam os pivôs são denominadas de principais e as demais são denominadas livres. Se as equações degeneradas deste sistema forem compatíveis, o sistema possui solução que pode ser obtida pelo processo de substituição direta. Primeiro, descartam-se as equações degeneradas. Em seguida, a partir da primeira equação, explicita-se a variável principal em função das variáveis livres. A partir da segunda, prossiga até a última, explicitando a variável principal daquela equação em função das demais, usando as expressões das variáveis principais obtidas anteriormente para explicitar a variável principal em função das variáveis livres apenas. Uma matriz A de tamanho m × n é inferiormente escalonada reduzida quando for inferiormente escalonada e cada pivô for o único elemento não nulo em sua coluna. Neste caso, o sistema Ax = b é denominado de sistema inferiormente escalonado reduzido. Tais sistemas, quando compatíveis, são facilmente resolvidos pelo processo de substituição direta.

Algoritmo da substituição direta

Este algoritmo resolve o sistema Rx = b pelo método da substituição reversa, onde R é quadrada, inversível e triangular inferior. Isto significa que

R =

r 11 r 21 r 22 ..

. ... rm 1 rm 2 · · · rmm

com rii 6 = 0, para i = 1,... , m. Para resolver o sistema Rx = b, iniciamos explicitando x 1 na primeira equação e, prosseguindo até a última, vamos explicitando as variáveis principais de cada equação em função das variáveis determinadas nas etapas anteriores. Assim,

x 1 = b 1 /r 11 x 2 = (b 2 − r 21 x 1 ) /r 22 x 3 = (b 3 − r 31 x 1 − r 32 x 2 ) /r 3 , 3

Num sistema de equações, podemos enumerá-las: equação 1 , 2 ,... , m. Sejam i e j números inteiros entre 1 e n. O operação que permuta as equações i e j será denotada por O(li ↔ lj ), a operação que multiplica a equação i por um número r não nulo será denotada por O(rli) e a operação que consiste em adicionar à equação i um múltiplo r de outra equação j será denotada por O(li + rlj ). As operações elementares são reversíveis. A operação O(li ↔ lj ) pode ser revertida aplicando novamente esta mesma operação. A operação O(rli) pode ser revertida apli- cando a operação O(r−^1 li) e a operação O(li +rlj ) pode ser revertida aplicando a operação O(li − rlj ). Vamos mostrar que essas transformações levam o sistema original em outro equivalente. Façamos a prova para um caso particular que representa o caso geral. Se [x 1 , x 2 , x 3 ]T^ for uma solução do sistema

a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (1.2) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

e r for um número real, então vale ainda a igualdade

(a 11 + ra 21 )x 1 + (a 12 + ra 22 )x 2 + (a 13 + ra 23 )x 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + r(a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 ) = b 1 + rb 2

mostrando que [x 1 , x 2 , x 3 ]T^ é solução do sistema

(a 11 + ra 21 )x 1 + (a 12 + ra 22 )x 2 + (a 13 + ra 23 )x 1 = b 1 + rb 2 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2 (1.3) a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3

Isto significa que as soluções do sistema (1.2) são soluções do sistema (1.3) que foi obtido do original a partir da transformação elementar O(l 1 + rl 2 ). Logo, as soluções de (1.3) são soluções de (1.2) pois esta pode ser obtida daquela pela operação O(l 1 − rl 2 ). Concluímos que os sistemas original e o transformado são equivalentes. De modo semelhante se pode provar que as outras operações elementares transformam um sistema em outro equivalente.

1.7 O método da eliminação de Gauss

O método de Gauss consiste em realisar operações elementares sobre linhas no sistema Ax = b, transformando-o num sistema escalonado equivalente e resolvendo-o por substi- tuição reversa. Como a matriz A dos coeficientes e a matriz b das constantes contêm todas as in- formações necessárias para montar o sistema, vamos considerar a matriz completa do

sistema, obtida ao acrescentar a coluna b à direita de A. Esta matriz será denotada por [A b]. A realização de operações elementares sobre as equações é equivalente à realização de operações elementares sobre as linhas da matriz completa. Vamos escreve A → R quando for possível levar A em R efetuando operações ele- mentares sobre as linhas de A. Se R for escalonada, diremos que ela é a forma escalonada de A. Se R for escalonada reduzida, diremos que ela é a forma escalonada reduzida de A. Pode-se provar que a forma escalonada reduzida de uma matriz é única. O processo de Gauss para resolver um sistema Ax = b é descrito pelo algoritmo abaixo, realizado sobre a matriz completa [A b]. Passo 1. Se A = 0, encerre o algoritmo. O sistema já é escalonado. Passo 2. Percorra as colunas da matriz completa [A b] da esquerda para a direita, localizando a primeira não nula. Passo 3. Percorra esta coluna de cima para baixo, localizando seu primeiro elemento não nulo. Seja p o valor deste elemento. Passo 4. Permute esta linha com a primeira. Passo 5. Multiplique a atual primeira linha por p−^1 , fazendo com que o primeiro elemento não nulo da primeira linha fique igual a 1. Este será o pivô da primeira linha. A partir deste ponto, a primeira linha não sofrerá outras modificações. Passo 6. Passe à segunda linha, tranformando-a na primeira da próxima etapa. Passo 7. Repita os passos de 1 a 6 com todas as linhas restantes. Com este algoritmo, partimos da matriz [A b] e chegamos à matriz [R c], onde R é a forma escalonada de A. O sistema Rx = c é equivalente ao original. Se existirem equações degeneradas incompatíveis no sistema Rx = c, então o sistema Ax = b não tem solução. Se todas as equações degeneradas de Rx = c forem compatíveis, o sistema Ax = b tem solução. Exclua as equações degeneradas e use a substituição reversa para obter as soluções do sistema euqivalente Rx = c. Estas soluções possuirão a forma

x = w 0 + c 1 v 1 + · · · + crvr

onde w 0 é uma solução de Rx = c e v 1 ,... , vr são soluções do sistema homogêneo associado Rx = 0. Os números reais ci são arbitrários e relacionados com as variáveis livres. Os números reais c 1 ,... , cr são denominados de parâmetros. O número de pivôs de R é igual ao número de linhas não nulas de R. Se existirem k pivôs, este será o número de variáveis principais do sistema. Se o número de incógnitas do sistema for n, o número de variáveis livres será n − k. Se R for escalonada e A pode ser levada em R por transformações elementares, o número de pivôs de R é chamado de posto da matriz A.

Exemplo 1.11 Considere o sistema

x + y − 2 z = 0 2 x + 2y − 3 z = 2 3 x − y + 2z = 12

Teorema 1.12 Seja A uma matriz quadrada. São equivalentes as afirmações:

1. A é inversível.
2. O sistema homogêneo Ax = 0 possui apenas a solução trivial x = 0.
3. A forma escalonada reduzida de A é a matriz identidade.
4. O sistema Ax = b possui uma única solução para cada matriz coluna b.
5. Existe uma matriz quadrada B tal que AB = I.

Prova. (1) =⇒ (2) pois, se A é inversível e Ax = 0, então A−^1 Ax = 0 o que implica em x = 0. (2) =⇒ (3) pois, se a forma escalonada reduzida R de A não for a matriz identidade, uma de suas linhas é nula pois R é quadrada. Portanto, Rx = 0 tem soluções não nulas. Se este fosse o caso, o sistema Ax = 0 teria soluções não nulas, contrariando (2). (3) =⇒ (4) pois, se A → I então o sistema Ax = b é equivalente ao sistema Ix = c, para alguma matriz coluna c, cuja solução é x = c, mostrando que o sistema Ax = b tem sempre uma única solução para cada b. (4) =⇒ (5) pois, sendo ej a coluna j da matriz identidade I, o sistema Ax = ej tem uma única solução x = bj para j = 1, 2 ,... , n. Sendo B = [b 1 ,... , bn], obtemos AB = I. (5) =⇒ (1) pois, se AB = I e Bx = 0, então ABx = 0 ou Ix = 0 o que implica em x = 0. Logo, a condição (2) vale para B no lugar de A e, consequentemente, valem (3) e (4) com B no lugar de A. Logo, pela parte (5), existe uma matriz C tal que BC = I. Como C = IC = (AB)C = A(BC) = A, obtemos BA = I. Como AB = I por hipótese, provamos que A é inversível. ¤

Corolário 1.13 Sejam A e B matrizes quadradas m × m. Se AB = I, então A e B são inversíveis e uma é a inversa da outra.

Prova. Se AB = I, provamos que A é inversível e que B é a inversa de A. Logo, B é inversível e sua inversa é A. ¤

Este corolário garante que AB = I é o bastante para garantir que A e B são inversíveis, sendo uma a inversa da outra.

Corolário 1.14 Se A = BC for inversível, então B e C são inversíveis.

Prova. Sendo A = BC inversível, (A−^1 B) C = A−^1 (BC) = A−^1 A = I e assim C é inversível. Por outro lado, B(CA−^1 ) = (BC)A−^1 = AA−^1 = I e B é inversível. ¤

1.9 Matrizes elementares

As matrizes elementares são aquelas obtidas a partir da identidade mediante uma única operação elementar. Vamos denotar por E(li ←→ lj ) a matriz elementar obtida a partir da identidade pela permuta das linhas i e j. A matriz E(li + rlj ) denotará a matriz elementar obtida da identidade adicionando à linha i um múltiplo r da linha j. Se r é um número não nulo, E(rli) denotará a matriz elementar obtida da identidade multiplicando sua linha i por r.

Exemplo 1.15 As matrizes abaixo são elementares  

sendo, respectivamente, as matrizes E(l 1 ↔ l 3 ), E(7l 1 ) e E(l 3 + 3l 1 ).

Os produtos E(li ←→ lj )A , E(rli)A , E(li + rlj )A

realizam sobre A as operações elementares O(li ←→ lj ), O(rli), e O(li + rlj ), respectiva- mente.

Exemplo 1.16 Os produtos abaixo ilustram as afirmações acima. Seja

A =

a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

O produto

E(l 1 ↔ l 3 )A =

a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

c 1 c 2 c 3 b 1 b 2 b 3 a 1 a 2 a 3

permuta a primeira com a terceira linha de A. O produto

E(7l 1 )A =

a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

7 a 1 7 a 2 7 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

multiplica a primeira linha de A por 7. O produto

E(l 3 + 5l 1 )A =

a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3

a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 5 a 1 + c 1 5 a 2 + c 2 5 a 3 + c 3

adiciona à terceira linha de A o quíntuplo de sua primeira linha.