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LISTA DE EXERCÍCIOS – ÁLGEBRA LINEAR
- Para os espaços vetoriais "clássicos", vimos como podemos obter sua base canônica, também chamada de base natural pela forma natural com que é obtida. (a) Reescreva cada espaço vetorial em forma de conjunto, apresentando o vetor genérico; (b) Escreva a base canônica e a dimensão de cada espaço; (c) Escreva o vetor genérico de cada espaço como combinação linear dos vetores da base canônica.
1.1) V 1 = R
1.2) V 2 = R^2
1.3) V 3 = R^3
1.4) V 4 = Rn
1.5) V 5 = M2X
1.6) V 6 = P 2
- Complete:
Base de um espaço vetorial V é qualquer conjunto ........ de vetores de V, que ................. todos os vetores do espaço. Portanto, qualquer espaço vetorial tem ............................. bases.
3 ) Qual dos conjuntos abaixo é uma base do R^2? Explique por quê.
a) 䙨䙦– 2, 1䙧, 䙦0, 2䙧䙩;
b) 䙨䙦– 1, 2䙧, 䙦4, – 8䙧䙩;
c) 䙨䙦1, – 1䙧, 䙦1, 0䙧, 䙦– 2, 3䙧䙩.
Escreva outros dois conjuntos que são bases do R^2.
Quais dos conjuntos de vetores a seguir são bases para o R^3? Dê uma "boa olhada" antes de escrever, veja quais conjuntos têm chance de ser base quais não têm. Justifique suas respostas.
a) 䙨䙦1, 3, 0䙧, 䙦– 2, 1, 5䙧䙩;
b) 䙨䙦– 1, 3, 2䙧, 䙦1, 0, 2䙧, 䙦– 1, 6, 6䙧䙩;
c) 䙨䙦3, 2, 2䙧, 䙦– 1, 2, 1䙧, 䙦0, 1, 0䙧䙩;
d) 䙨䙦1, 1, – 1䙧, 䙦0, 0, 0䙧, 䙦4, 1, – 1䙧䙩;
e) 䙨䙦1, 0, 0䙧, 䙦0, 2, – 1䙧, 䙦0, 1, 0䙧, 䙦3, 4, 1䙧䙩.
Verifique se o conjunto {(– 2, – 1, 0,4), (0, 1, 2, 0), (– 1, 2, 3, 2), (– 2, 4, 6, 4)} é ou não uma base para o R^4.
Mostre que as matrizes 䙴^1 0 0
䙵, 䙴^0
䙵 , 䙴^1
䙵 e 䙴^0 1 1
䙵 formam uma base para o espaço ᠹ⡰㐀⡰.
Escreva uma base para o R^3 que inclua os vetores (1, 0, 2) e (0, 1, 3).
Para o seguinte subconjunto de R^3 : ᡅ 㐄 䙨䙦1, 2, 2䙧, 䙦3, 2, 1䙧, 䙦11, 10, 7䙧, 䙦7, 6, 4䙧䙩, determine o subespaço ᡉ 㐄 䙰ᡅ䙱 (o espaço gerado pelo conjunto ᡅ), encontre uma base de ᡉ.
Considere ᡅ 㐄 䙨䙦1, 1, 0䙧, 䙦1, 0, – 1䙧, 䙦1, 3, 2䙧䙩. 䙰ᡅ䙱 㐄 ᡄ3? Justifique
Considere as seguintes bases do ᡄ⡱^ :
‐⡩ 㐄 䙨䙦 1 , 0 , 0 䙧, 䙦 0 , 1 , 0 䙧, 䙦 0 , 0 , 1 䙧䙩 ‐⡱ 㐄 䙨䙦 1 , 0 , 1 䙧, 䙦– 1 , 0 , 0 䙧, 䙦 0 , 1 , 2 䙧䙩
a) Dado o vetor ∄ 㐄 䙦1, – 2, 3䙧, dizemos simplesmente que suas coordenadas são 1, – 2 e 3. Como vimos, um mesmo espaço pode ter várias e diferentes bases. A referência simples de coordenadas, sem referir a base, indica que essas são as coordenadas de v em relação à base canônica. Porém, se quiséssemos referir à base, usaríamos o vetor ∄∶❸ ou 䙰∄䙱∶❸ das coordenadas de ∄ em relação à base
canônica. Escreva ∄, 䙰∄䙱∶❸ e escreva, também, ∄ como combinação linear dos vetores da base canônica e compare todas essas formas;
b) Escreva ∄ como combinação linear dos vetores da base ‐⡰ e o vetor 䙰∄䙱∶❹ das coordenadas
de ∄ em relação a essa base;
c) Escreva ∄ como combinação linear dos vetores da base ‐⡲ e o vetor 䙰∄䙱∶➁ das coordenadas
de ∄ em relação a essa base;
d) Que diferença existe entre as bases ‐⡰ e ‐⡲ e entre os vetores 䙰∄䙱∶❹ e 䙰∄䙱∶➁? Esse é o motivo pelo qual consideramos base um conjunto ordenado;
- Dada uma base ᠨ para espaço ᡈ, em cada caso:
(a) calcule o vetor v, para o qual é fornecido o vetor das coordenadas em relação à base B;
(b) escreva o vetor das coordenadas do vetor w, em relação à base B.
12.4) ᡈ 㐄 ᠹ⡰㐀㐀⡰, ᠨ 㐄 䙶䙴^1 ㎘
䙵 , 䙴^0
䙵 , 䙴^1
䙵 e 䙴^1 ㎘1 0
䙴^1
- Em ᡄ⡰^ suponha que 䙰∄䙱めㄗ 㐄 䙦2, ㎘1䙧, onde ‐⡩ 㐄 䙨䙦1, 1䙧, 䙦2 ,3䙧䙩. Escreva ∄ em termos da base
canônica e da base ‐⡰ 㐄 䙨䙦0, 3䙧, 䙦5, ㎘1䙧䙩.
- Determine a matriz mudança da base ‐⡩ para a base ‐⡰, conforme exercício 13 acima, e encontre novamente o vetor das coordenadas de ∄ em relação à base ‐⡰ usando, agora, essa matriz mudança de base.
