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2.3.2. Eliminação de Gauss
No exemplo 4 aplicamos o método da eliminação para resolver o sistema linear
1 x + 2 y + 1 Z = 4 3 x + 8 y + 7 Z = 20 2 x + 7 y + 9 Z = 23
Lá empregamos operações elementares para transformar este sistema no sistema equivalente
1 x + 2 y + 1 Z = 4 0 x + 1 y + 2 Z = 4 0 x + 0 y + 1 Z = 3
que é fácil resolver por substituição.
Se tomarmos os coeficientes e constantes (incluindo os 0s e os 1s, que normalmente seriam omitidos) e eliminarmos as notações supérfluas (os símbolos das variáveis ᡶ, ᡷ, ᡸ e os sinais de ㎗ ᡗ ㎘), já que podemos conceber estes símbolos mentalmente, Transformamos a tabela de
coeficientes e constantes 㐩
㐳 na tabela de coeficientes e constantes 㐩
Exemplo: Para resolver o sistema
㐡
cuja matriz completa é
㐩
efetuamos a seguinte seqüência de operações elementares de linha:
〙ㄘ⢀〙ㄘ⡸〙ㄗ䙦⡹⡱䙧
〙ㄙ⢀〙ㄙ⡸〙ㄗ䙦⡹⡰䙧
〙ㄘ⢀㐶
⡩ ⡰
㑀〙ㄘ
Aqui, a matriz final é a matriz completa do sistema
Cuja solução única (facilmente encontrada por substituição) é ∆ 㐄 ➂, ∇ 㐄 ㎘❹, ∈ 㐄 ➀
Operações Elementares de Linha:
Tipo Operação de Linha Notação (^1) Multiplicar a linha ↘ por ↅ ↅⅴ↘ 2 Permutar a linha ↘ e alinha ↙ ⅵⅹ⅗ⅲ䙦ⅴ↘, ⅴ↙䙧 3 Somar ↅ vezes linha ↘ à linha ↙ 䙦ↅ䙧ⅴⅲ ㎗ ⅴ↙
Definição: Matrizes Linha-Equivalentes Duas matrizes são denominadas linha-equivalentes se uma delas puder ser obtida através de uma seqüência (finita) de operações elementares de linha.
Teorema: Sistemas Equivalentes e Matrizes Equivalentes Se as matrizes completas de dois sistemas lineares são linha-equivalentes, então os dois sistemas têm o mesmo conjunto-solução. Assim,
Os Sistemas lineares 㐡
x ㎗ 2 y ㎗ z 㐄 4 3 x ㎗ 8 y ㎗ 7 z 㐄 20 2 x ㎗ 7 y ㎗ 9 z 㐄 23
e 㐡
x ㎗ 2 y ㎗ z 㐄 4 y ㎗ 2 z 㐄 4 z 㐄 3
têm o mesmo conjunto-solução
porque suas matrizes completas 㐩
㐳 (^) e 㐩
são Matrizes linha-equivalentes.
Definição: Matrizes Escalonada A matriz E é denominada uma matriz escalonada se ela tiver as duas propriedades a seguir:
1. Toda Linha de E que for formada de zeros (se houver) situa-se a abaixo de toda linha que contém um elemento não-nulo. 2. Em cada linha de E que contenha um elemento não-nulo, o primeiro elemento não-nulo situa-se exatamente à direita do primeiro elemento não-nulo da linha precedente (se houver uma linha precedente) Exemplo:
Observação: o primeiro elemento não-nulo (a partir da esquerda) em cada uma das linhas chama- se elemento líder.
Eliminação de Gauss: Algoritmo:
- Localize a primeira coluna de A que contém um elemento não-nulo.
- Se o primeiro elemento (de cima) nesta coluna não for zero, permute a primeira linha de A com uma linha na qual o elemento correspondente seja diferente de zero.
- Agora o primeiro elemento em nossa coluna é não-nulo. Substitua por zero os elementos abaixo dele, na mesma coluna, através da adição de múltiplos apropriados da primeira linha às linhas subjacentes.
- Repita este ciclo até obter uma matriz escalonada.
2.3.3. Eliminação de Gauss-Jordan
Definição: Matrizes Escalonada Reduzida Uma matriz escalonada reduzida E é uma matriz escalonada reduzida – além das Propriedades 1 e 2 – satisfaz as seguintes propriedades:
3. Todo elemento líder de E é 1. 4. Cada elemento líder de E é o único elemento não-nulo na sua coluna. Exemplo:
㐩
O processo de transformar uma matrtiz A na forma escalonada reduzida é denominada eliminação de Gauss-Jordan , cujo Algoritmo é:
- Primeiro, transforme A na forma escalonada através da eliminação de Gauss.
- A seguir,divida cada elemento década linha não-nula por seu elemento líder (para satisfazer a propriedade 3).
- Por fim, use cada elemento líder 1 para “dar uma varrida” em qualquer elemento não nulo remanescente em sua coluna (para satisfazer a propriedade 4).
Exercício Resolvidos
1. Resolver o sistema linear abaixo através do Método de Eliminação de Gauss-Jordan
㐡
cuja matriz completa é 㐩
Reduzimos a sua matriz completa à forma escalonada reduzida, como segue:
㐩
〙ㄘ⢀〙ㄘ⡸〙ㄗ䙦⡹⡩䙧
〙ㄙ⢀〙ㄙ⡸〙ㄗ䙦⡹⡱䙧
〙ㄙ⢀〙ㄙ⡸〙ㄘ䙦⡩䙧
〙ㄗ⢀〙ㄗ⡸〙ㄘ䙦⡹⡩䙧
Assim, a forma escalonada reduzida do sistema é: 㐡
O infinito conjunto-solução do sistema descrito acima em termos de parâmetros arbitrários s e t:
Desse modo, a substituição de quaisquer dois valores específicos para s e t fornece uma solução particular ( ᡶ⡩, ᡶ⡰, ᡶ⡱, ᡶ⡲,䙧 do sistema.
2. Resolver o sistema linear abaixo através do Método de Eliminação de Gauss-Jordan
cuja matriz completa é
㐩
Reduzimos a sua matriz completa à forma escalonada reduzida, como segue:
䙗^ ⡰㑀〙䙔ㄗ
1 ⡩ ⡰^ ⡱ ⡰ 4
⡩ ⡰
⡱ ⡰ 4 0 0 ㎘ 4 ㎘ 12 2 5 3 ㎘ 12
1 ⡩ ⡰^ ⡱ ⡰ 4
1 ⡩ ⡰^ ⡱ ⡰ 4
1 ⡩ ⡰^ ⡱ ⡰ 4
〙ㄙ⢀㐶⡹
⡩ 䙗^ ⡲㑀〙䙔ㄙ
1 ⡩ ⡰^ ⡱ ⡰ 4
ㄗ 䙗䙔^ ㄘ䙳
1 0 ⡱ ⡰^ ⡩⡱ ⡰
ㄙ 䙗䙔^ ㄘ䙳
Assim, a forma escalonada reduzida do sistema é:
㐡
O conjunto-solução do sistema descrito é: ᡶ⡩ 㐄 2 ᡶ⡰ 㐄 ㎘ 5 ᡶ⡱ 㐄 3 Esses valores das variáveis são as raízes do sistema linear e,portanto, sua solução
