Baixe Álgebra Linear 2 - posto e nulidade e outras Notas de estudo em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
Cap´ıtulo 1
Matrizes, Determinantes
a L i¸c ˜a o (c o m p ro jeto r m u ltim ed ia )13/ 03/ 2007
1.1 T eoria G eral d e Matrizes
Defini¸c˜ao 1. Uma matriz d e ” m” lin h as e ” n ” co lu n as ´e d ad a p o r:
Am×n =
a 11 a 12 a 13 · · · a 1 n
a 21 a 22 a 23 · · · a 2 n
· · · · · · ·
am 1 am 2 am 3 · · · amn
= [aij ]m×n
T ip os E sp eciais d e m atriz es
Defini¸c˜ao 2 (M a triz Q u a d ra d a ). Q u an d o m= n.
E x em p lo 1.
A 3 × 3 =
D izemo s q u e A 3 × 3 ´e d e o rd em 3. E m g eral, se temo s u ma matriz An×n d izemo s
q u e ´e d e o rd em n , d en o tamo s p o r An.
Defini¸c˜ao 3 (M a triz Nu la o u Z ero ). S e aij = 0, ∀i = 1, 2 , ..., m, ∀j = 1, 2 , ..., n.
Defini¸c˜ao 4 (M a triz C o lu n a ). S e p o ssu i u ma ´u n ica co lu n a, o u seja n = 1.
E x em p lo 2.
= A
3 × 1
2 CAP
ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
Defini¸c˜ao 5 (M a triz L in h a ). S e m= 1.
E x em p lo 3. [ 3 0 − 1
]
= A 1 × 3
Defini¸c˜ao 6 (M a triz D ia g o n a l). E´ u ma matriz q u ad rad a, o n d e
aij = 0, p ara i 6 = j.
E x em p lo 4.
3 × 3
Defini¸c˜ao 7 (M a triz Id en tid a d e).
E d efi n id a p o r aii = 1, e aij = 0, p ara i 6 = j.
E x em p lo 5.
I 3 =
3 × 3
Defini¸c˜ao 8 (M a triz T ria n g u la r S u p erio r).
E u ma matriz q u ad rad a tal q u e
aij = 0, p ara i > j.
E x em p lo 6.
3 × 3
Defini¸c˜ao 9 (M a triz T ria n g u la r In ferio r).
E u ma matriz q u ad rad a tal q u e
aij = 0, p ara i < j.
E x em p lo 7.
3 × 3
Defini¸c˜ao 10 (M a triz S im ´etric a ). E´ aq u ela matriz q u ad rad a q u e v erifi ca
aij = aji.
E x em p lo 8.
3 × 3
4 CAP
ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
O b serv a¸c˜ao 1. P o d emo s efetu ar o p ro d u to d as matrizes A = Am×n = [aij ] e B =
Bl×p = [brs ], q u an d o n = l. A matriz A · B ter´a o rd em m × p.
E x em p lo 11.
A = A 3 × 2 =
B = B
2 × 2 =
[
]
A·B =
3 × 2
[
]
2 × 2
3 × 2
3 × 2
1.2 S istemas L ineares
a L i¸c ˜a o (c o m p ro jeto r m u ltim ed ia ) 15/ 03/ 2007
Defini¸c˜ao 15. S eja A = [aij ] u ma matriz e b 1 , b 2 , ..., bn n ´u mero s. A s
eq u a¸c ˜o es d o tip o :
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 nxn = b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 nxn = b 2
am 1 x 1 + am 2 x 2 + ... + amnxn = bm
s˜ao co n h ec id as co mo u m sistema d e eq u a¸c ˜o es lin eares d e ” m” eq u a¸c ˜o es e ” n ” in c ´o g n itas.
O b serv a¸c˜ao 2. Uma so lu ¸c ˜ao d e (* ) ´e u ma n -u p la d e n ´u mero s (x 1 , x 2 , ..., xn) q u e
satisfa¸c a simu lt´an eamen te as ” m” eq u a¸c ˜o es.
O b serv a¸c˜ao 3. S e bi = 0, ∀i = 1, 2 , .., m d izemo s q u e o sistema ´e h o mo gˆen eo.
O b serv a¸c˜ao 4. O sistema d e eq u a¸c ˜o es:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1 nxn = 0
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2 nxn = 0
am 1 x 1 + am 2 x 2 + ... + amnxn = 0
´e c h amad o sistema h o mo gˆen eo asso c iad o a (* ).
O b serv a¸c˜ao 5. P o d emo s esc rev er o sistema (* ) n a fo rma matric ial:
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
am 1 am 2 · · · amn
x 1
x 2
xm
b 1
b 2
bm
O U A · X = B
1.2. SISTEMAS LINEARES 5
o n d e
A =
a 11 · · · a 1 n
am 1 · · · amn
, X =
x 1
xm
, B =
b 1
bm
A ´e c h amad a a matriz d o s co efi c ien tes d o sistema, X ´e a matriz d as in c ´o g n itas
e B ´e a matriz d o s termo s in d ep en d en tes.
Defini¸c˜ao 16. A o sistema p o d emo s asso c iar a matriz amp liad a d o sistema ,
d ad a p o r
a 11 a 12 · · a 1 n b 1
a 21 a 22 · · a 2 n b 2
am 1 am 2 · · amn bm
E x em p lo 12. O sistema:
x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1
2 x 1 + 5x 2 + 4x 3 = 4
x 1 = 3x 2 − 2 x 3 = 5
P o d e ser esc rito n a fo rma matric ial seg u in te:
x 1
x 2
x 3
P ara reso lv er o sistema, co n sid eramo s a matriz amp liad a.
Usan d o o p era¸c ˜o es elemen tares, a ser d efi n id as, c h eg amo s a
q u e ´e a matriz amp liad a d o sistema so lu ¸c ˜ao :
x 1 = 3
x 2 = − 2
x 3 = 2
1.2. SISTEMAS LINEARES 7
E x em p lo 16. D etermin ar o p o sto e a n u lid ad e d a matriz seg u in te:
A =
F azemo s as seg u in tes o p era¸c ˜o es elemen tares:
L 2 ⇒ L 2 + L 1 ⇒ (1/2)(L 2 + L 1 ),
L 3 ⇒ L 3 + (−1)L 1 , i. ´e.,
= B
Na matriz resu ltan te B , efetu amo s as o p era¸c ˜o es :
L 1 ⇒ L 1 + (−2)L 2 , L 3 ⇒ (1/8)L 3 ,
L 1 ⇒ L 1 + 3 · L 3 , L 2 ⇒ L 2 + (−2) · L 3
O p o sto d e A ´e 3 e a n u lid ad e d e A , ´e 4 -3 = 1.
E x em p lo 17 (S o lu ¸c ˜a o d e u m sistem a d e E q u a ¸c ˜o es L in ea res). C alc u le a so lu ¸c ˜ao
d o sistema (^) {
2 x 1 + x 2 = 5
x 1 − 3 x 2 = 6
A matriz amp liad a d o sistema ´e
T ran sfo rman d o a matriz `a fo rma escad a, tem-se
q u e ´e a matriz amp liad a d o sistema eq u iv alen te ao sistema in ic ial, i. ´e.,
x 1 = 3
x 2 = − 1
8 CAP
ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
E x em p lo 18. D etermin ar a so lu ¸c ˜ao d o sistema.
{ 2 x 1 + x 2 = 5
6 x 1 + 3x 2 = 15
A matriz amp liad a asso c iad a ao sistema ´e
( 2 1 5
6 3 15
O q u al eq u iv ale, { x 1 + (1/2)x 2 = 5/ 2
0 x 1 + 0x 2 = 0
T emo s q u e x 1 = 5 / 2 − (1/2)x 2 , fazen d o x 2 = λ , resu lta q u e a so lu ¸c ˜ao
p o d e ser esc rita n a fo rma (x 1 , x 2 ) = ( 5/ 2 − (1/2)λ, λ ) = ( 5/ 2 , 0 ) +
λ( − 1 / 2 , 1 ). P o rtan to este sistema ad mite in fi n itas so lu ¸c ˜o es.
O b serv ar q u e a matriz tem p o sto 1 , e a n u lid ad e d a matriz ´e 2 -1 = 1.
E x em p lo 19. A n alisar a ex istˆen c ia d e so lu ¸c ˜o es p ara o sistema
{ 2 x 1 + x 2 = 5
6 x 1 + 3x 2 = 10
A matriz amp liad a asso c iad a ao sistema ´e
( 2 1 5
O q u al eq u iv ale, { x 1 + (1/2)x 2 = 0
0 x 1 + 0x 2 = 1
C o mo N
A O ex iste n en h u m v alo r d e x 1 e x 2 satisfazen d o a seg u n d a eq u a¸c ˜ao ,
d izemo s q u e o sistema ´e in co mp at´ıv el. O b serv ar q u e a matriz d o sistema in ic ial
tem p o sto e o p o sto d e su a matriz amp liad a ´e 2.
C aso G eral. D a d o o sistem a d e m eq u a ¸c ˜o es lin ea res c o m n in c ´o g n ita s
a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1
am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bn
A p resen ta -se trˆes c a so s:
(i) E x iste u m a ´u n ic a so lu ¸c ˜a o , d iz em o s q u e o sistem a ´e c o m p a t´ıv el.
(ii) E x istem in fi n ita s so lu ¸c ˜o es, i,´e., o sistem a ´e in d eterm in a d o.
(iii) N
A O ex iste so lu ¸c ˜a o , d iz em o s q u e o sistem a ´e in c o m p a t´ıv el.
D en o ta n d o p o r A = [aij ]m×n a m a triz a sso c ia d a a o sistem a e p o r Aa , a
m a triz a m p lia d a a sso c ia d a a o sistem a , tem o s o seg u in te resu lta d o.
10 CAP
ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
E x em p lo 2 3. D ad a A =
, tem-se q u e
|A| =
S e c o n sid era m o s u m a m a triz d e o rd em 3 d a fo rm a
A =
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
D efi n im o s o d eterm in a n te (u sa n d o a p rim eira lin h a ) c o m o o n ´u m ero
|A| = a 11 ·
a 22 a 23
a 32 a 33
− a 12 ·
a 21 a 23
a 31 a 33
a 21 a 22
a 31 a 32
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
= D e t(A)
T a m b ´em p o d e ser esc rito n a fo rm a
D e t(A) = a 11 · D e t(A 11 ) = a 12 · D e t(A 12 ) + a 13 · D e t(A 13 )
S e u sa m o s a seg u n d a lin h a , tem o s :
|A| = −a 21 ·
a 12 a 13
a 32 a 33
a 11 a 13
a 31 a 33
− a 23 ·
a 11 a 12
a 31 a 32
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23
a 31 a 32 a 33
= D e t(A)
o u
D e t(A) = −a 21 · D e t(A 21 ) + a 22 · D e t(A 22 ) − a 23 · D e t(A 23 )
O b serv a¸c˜ao 7. P ara calc u lar o d etermin an te d e u ma matriz p o d emo s u sar
q u alq u er lin h a o u co lu n a.
C aso G eral : C o n sid era m o s A m a triz q u a d ra d a d e o rd em n , e seja
A = [aij ]n×n, e Aij a su b m a triz q u a d ra d a d e o rd em (n -1), o b tid a d e A retira n d o -
se a i-´esim a lin h a e a j-´esim a c o lu n a , ch a m a d a c o m p lem en to a lg ´eb ric o d o ele-
m en to aij.
D efi n im o s o d eterm in a n te d a m a triz A , seg u n d o a lin h a i, p o r :
D e t(A) = |A| = (−1)
i+ · ai 1 D e t(Ai 1 ) + · · · + (−1)
i+n · ainD e t(Ain)
1.4. INV ERS
AO DE MATRIZES 11
P rop ried ad es
(a) S e o s elem en to s d e u m a lin h a (o u c o lu n a )d e u m a m a triz s˜a o to d o s z ero s,
en t˜a o D e t(A) = 0.
(b ) S e tro c a m o s d e p o si¸c ˜a o d u a s lin h a s, o d eterm in a n te tro c a d e sin a l.
(c) S e m u ltip lic a m o s u m a lin h a d a m a triz p o r u m a c o n sta n te, o d eterm in a n te
´e m u ltip lic a d o p o r esta c o n sta n te.
(d ) O d eterm in a n te d e u m a m a triz q u e tem d u a s lin h a s (c o lu n a s) ig u a is ´e z ero.
(e) O d eterm in a N
A O m u d a se so m a m o s a u m a lin h a o u tra lin h a m u ltip lic a d a
p o r u m a c o n sta n te.
(f) D e t(A · B) = D e t(A) · D e t(B).
(g ) D e t(A) = D e t(A
t ).
1.4 Inv ers˜ao d e Matrizes
a L i¸c ˜a o (22/ 03/ 2007)
D a d a u m a m a triz d o tip o
A =
a b
c d
S e D e t(A) = ad − bc 6 = 0, d eseja m o s a ch a r u m a m a triz in v ersa d e A , isto ´e,
q u erem o s d eterm in a r u m a m a triz X d e o rd em 2, ta l q u e
A · X = X · A = I 2
C a lc u la n d o o p ro d u to , tem o s q u e:
( a b
c d
x y
z w
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
R eso lv en d o a p rim eira c o lu n a , c a lc u la m o s x e z , e e reso lv en d o a seg u n d a c o lu n a
a ch a m o s y e w.
E x em p lo 2 4. A c h ar a matriz A d e o rd em 2 tal q u e A · X = I 2 , o n d e
A =
D ev emo s reso lv er o s sistemas seg u in tes:
{ 2 x + z = 1
4 x + 3z = 0
2 y + w = 0
4 y + 3w = 1
Usan d o a teo ria d as eq u a¸c ˜o es lin eares, ac h amo s : x = 1 , z= -1 , y = -1 / 2 , w = 1.
Defini¸c˜ao 2 1. D ad a u ma matriz q u ad rad a d e o rd em n , c h amamo s d e in v ersa
d e A a u ma matriz B tal q u e A · B = B · A = In. Nesta caso , d en o tamo s
B = A
− 1 e d izemo s q u e A ´e u ma matriz in v ers´ıv el.
1.4. INV ERS
AO DE MATRIZES 13
P o d em o s esc rev er n a fo rm a m a tric ia l
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
· · · · · ·
an 1 an 2 · · · ann
x 1
x 2
xn
b 1
b 2
bn
O U A · X = B
S e D e t(A) 6 = 0 , en t˜a o A
− 1 ex iste e A
− 1 · (A · X) = A
− 1 · B
⇔ (A − 1 · A) · X = In · X = A − 1 · B ⇔ X = A − 1 · B.
Na fo rm a m a tric ia l
x 1
x 2
xn
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
an 1 an 2 · · · ann
− 1
b 1
b 2
bn
U sa n d o a f´o rm u la d a m a triz in v ersa , tem -se q u e:
x 1
x 2
xn
D e t(A)
∆ 11 ∆ 12 · · · ∆ 1 n
∆ 21 ∆ 22 · · · ∆ 2 n
∆n 1 ∆n 2 · · · ∆nn
b 1
b 2
bn
o n d e ∆ij ´e o d eterm in a n te d a su b -m a triz d e o rd em (n -1), c o rresp o n d en te a
aij .E n t˜a o
x 1 =
b 1 · ∆ 11 + ·... · +bn · ∆n 1
D e t(A)
O U
x 1 =
b 1 a 12 · · · a 1 n
b 2 a 22 · · · a 2 n
bn an 2 · · · ann
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
an 1 an 2 · · · ann
E m fo rm a g era l xi =
a 11 a 12 · b 1 · a 1 n
a 21 a 22 · b 2 · a 2 n
an 1 an 2 · bn · ann
a 11 a 12 · · · a 1 n
a 21 a 22 · · · a 2 n
an 1 an 2 · · · ann
i=1,2, ..., n.
E x em p lo 2 6. D ad o o sistema d e 3 eq u a¸c ˜o es e 3 in c ´o g n itas:
2 x − 3 y + 7z − 1
x + 3z = 5
2 y − z = 0
14 CAP
ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
resu lta q u e
D e t
L o g o , p o d emo s u sar a reg ra d e C ramer, i. ´e.,
x =
= − 49 , y =
= 9, z =
M AT R IZ E S E L E M E N T AR E S.
P a ra c a lc u la r a in v ersa d e u m a m a triz , p rec isa m o s d e u m n ´u m ero g ra n d e d e
o p era ¸c ˜o es. O p ro c esso en v o lv e a in tro d u ¸c ˜a o d e m a triz es elem en ta res.
E x em p lo 2 7. D ad a a matriz
A =
M u ltip licamo s a p rimeira lin h a (L 1 ) , p o r 2 e o b temo s
q u e ´e ig u al ao p ro d u to
E x em p lo 2 8. D ad a a matriz
A =
S e p ermu tamo s a p rimeira e su n d a lin h a d a matriz A , tem-se
16 CAP
ITULO 1. MATRIZES, DETERMINANTES
J u n to `a matriz A co lo camo s a matriz id en tid ad e, a id ´eia ´e tran sfo rmar a matriz
A n a id en tid ad e.
T ro camo s a p rimeira e seg u n d a lin h a,
S o mamo s `a q u arta a p rimeira
S o mamo s `a seg u n d a, a p rimeira mu ltip licad a p o r -
S u b tra´ımo s a seg u n d a lin h a d a terceira,
M u d amo s o sin al d a terceira lin h a
D ep o is trabalh amo s co n v en ien temen te co m a q u arta lin h a
1.4. INV ERS
AO DE MATRIZES 17
D ed u zimo s q u e
A
− 1
