Funda¸c˜ao Centro de Ciˆencias e Educa¸c˜ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educa¸c˜ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro
AD1 – ´
Algebra Linear II – 2025/1
Enunciado
AVISO: ´
E obrigat´orio, nas resolu¸c˜oes de sistemas lineares, reduzir por linhas `a forma em escada a matriz
associada ao sistema.
Quest˜ao 1 (1,6 pontos): Seja A∈M3(R) com autoespa¸cos
E(λ1= 31) = {(x, y, z)∈R3;−8x+ 14y+ 2z= 0}
E(λ2= 45) = {(x, y, z)∈R3;x−13y+ 20z= 0 e 7x−90y+ 138z= 0}.
a) (1,2 pts) Determine bases dos autoespa¸cos e as multiplicidades geom´etricas dos autovalores de A.
b) (0,4 pt) A´e diagonaliz´avel? Justifique a sua resposta.
Quest˜ao 2 (1,4 pontos):
Seja A∈M2(R) tal que A7
12 =56
96 eA3
5=30
50 .
a) (0,4 pt) Dˆe exemplo de uma base do R2formada por autovetores de A, indicando os autovalores.
b) (0,4 pt) Dˆe exemplos de uma matriz invers´ıvel Pque diagonaliza Ae sua correspondente matriz
diagonal Dsemelhante a A.
c) (0,6 pt) Determine A, usando o item anterior.
Quest˜ao 3 (2,6 pontos): Seja A=
6−14 0
−3 5 0
−3−7 12
.
a) (1,7 pts) Calcule os autovalores e determine bases para seus autoespa¸cos.
b) (0,3 pt) Dˆe uma base do R3formada por autovetores de A, indicando seus autovalores.
c) (0,6 pt) Determine uma matriz invers´ıvel Pe uma matriz diagonal Dtais que A=P DP −1.
Quest˜ao 4 (2,0 pontos) Em cada item fa¸ca o que se pede:
a) (1,0 pt) Seja Auma matriz quadrada de ordem n,A∈Mn(R), tal que A2= 2A. Mostre que se λ
´e um autovalor de A, ent˜ao λ= 0 ou λ= 2.
b) (1,0 pt) Seja A∈M7(R) com trˆes autovalores distintos λ1,λ2eλ3, onde as multiplicidades
geom´etricas de λ1eλ2s˜ao iguais a 3. A ´e diagonaliz´avel ? Justifique sua resposta.
Quest˜ao 5 (2,4 pontos): Seja A=40 171
2 11 .
a) (1,2 pts) Determine os autovalores e bases de seus autoespa¸cos.
b) (0,4 pt) Determine uma matriz invers´ıvel Pe uma matriz diagonal Dtais que A=P DP −1.
c) (0,8 pt) Determine uma matriz Btal que A=B2. Uma matriz Bcom esta propriedade ´e chamada
raiz quadrada de A. Dica: Tome B=P√DP −1
1