Álgebra Linear ..........................................., Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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Álgebra Linear

Professora: Roselice Parmegiani

MATRIZES

Uma matriz nada mais é do que uma tabela onde os elementos estão dispostos em linhas e em colunas. Se quisermos nos referir a matrizes sem escrever especificamente todos os seus elementos, usaremos letras maiúsculas A, B, C e assim por diante. Em geral, aij denota o elemento da matriz A que fica na i - ésima linha e j - ésima coluna. Então, se A é uma matriz m x n , temos:

A (^) m x n=[

𝑎 11 𝑎 12 ⋯ 𝑎1n 𝑎 21 𝑎 22 ⋯ 𝑎2n ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛

]

IGUALDADE

Duas matrizes m x n A e B são ditas iguais se aij=bij para todos os i e j.

MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

Se A é uma matriz e  é um escalar, então A é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por . Por exemplo, se

A= 0

então

3A= 06 9 3 0 −3 6

SOMA DE MATRIZES

Se A=( aij ) e B=( bij) são ambas matrizes m x n , então a soma A+B é a matriz m x n cujo elemento ( i,j ) é aij + bij para cada par ordenado ( i,j ). Por exemplo,

Se definirmos AB por A + (-1)B, então A  B é obtida subtraindo-se de cada elemento de A o elemento correspondente de B. Então:

MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES

Se A=( aij ) é uma matriz m x p e B=( bij) é uma matriz p x n , então o produto de A e B é a matriz C=(c ij ) m x n , definida por

cij=ai1b1j + ai2b2j + .... + aipbpj (1  i  m, 1  j  n)

Para que exista o produto de duas matrizes A e B é necessário que o número de colunas de A seja igual ao número de linhas de B.

PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES

Cada uma das afirmações a seguir é válida quaisquer que sejam os escalares e e quaisquer que sejam as matrizes A, B e C para as quais as operações indicadas estão definidas. (1) A+B = B+A (2) (A+B)+C = A+(B+C) (3) (AB)C = A(BC) (4) A(B+C) = AB + AC (5) (A+B)C = AC + BC (6) ()A = A) (7) (AB) = (A)B = A(B) (8) (+)A = A+A (9) (A+B) = A+B

Cuidado: Em geral, AB  BA, ou seja, a multiplicação de matrizes não é comutativa.

MATRIZ TRANSPOSTA

A transposta de uma matriz A m x n é a matriz B n x m definida por

bij=aji

para j =1, 2, ..., n e i = 1, 2, ..., m. A transposta é denotada por AT.

EXEMPLO 3: Se A = 01 2 3 4 5 6

1 então AT=

PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA

Se  é um escalar e A e B são matrizes, então: (1) (AT)T=A (2) (A+B)T=AT+BT (3) (AB)T=BTAT (4) (A)T=AT

TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES

a) Matriz Quadrada : Quando o número de linhas é igual ao número de colunas, tem-se uma matriz quadrada. Numa matriz quadrada A=( aij ) de ordem n (ou n x n ), os elementos aij em que i = j constituem a diagonal principal.

EXEMPLO 4: A=[

]

b) Matriz Diagonal: A matriz quadrada A=( aij ) que tem os elementos aij =0 quando i  j é uma

matriz diagonal.

EXEMPLO 5: A=[

]

c) Matriz Identidade : A matriz diagonal de qualquer ordem que tem os elementos aij =1 quando

i  j é uma matriz identidade. É indicada por I e age como a identidade multiplicativa, ou seja:

I A=AI=A

𝐼 2 = 0^1

1 , 𝐼 3 = [

] , 𝐼 4 = [

] ,. ..

EXEMPLO 6: Seja A= 03 − 4 6

1 , calcule I A e AI.

d) Matrizes triangulares : Uma matriz quadrada A=( aij ) é dita triangular superior se aij =0 quando i

 j; ela é triangular inferior se aij =0 para i  j. A é simplesmente triangular se for triangular superior

ou inferior.

EXEMPLO 7: A=[

] e B=[

]

e) Matriz Simétrica : Uma matriz quadrada A=( aij ) é simétrica se AT=A.

EXEMPLO 8: F=[

]

5. Uma empresa fabrica três produtos. Suas despesas de produção estão divididas em três categorias. Em cada uma dessas categorias, faz-se uma estimativa do custo de produção de um único exemplar de cada produto. Faz-se, também, uma estimativa da quantidade de cada produto a ser fabricado por trimestre. Essas estimativas são dadas nas tabelas 3 e 4. A empresa gostaria de apresentar a seus acionistas uma única tabela mostrando o custo de produção por trimestre de cada uma das três categorias: matéria-prima, pessoal e despesas gerais e em cada estação.

Tabela 3: Custo de produção por item Tabela 4: Quantidade produzida por trimestre (dólares)

Gastos

Produto A B C

Produto

Estação Verão Outono Inverno Primavera

M. Prima 0,10 0,30 0,15 A 4000 4500 4500 4000 Pessoal 0,30 0,40 0,25 B 2000 2600 2400 2200 D. Gerais 0,10^ 0,20^ 0,15^ C^5800 6200 6000

6. Um projeto de pesquisa sobre dietas consiste em adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz A. O número de gramas diários de proteínas, gorduras e carboidratos consumidos por cada criança e adulto é dado pela matriz B. Pede-se: a) Quantos gramas de proteínas são consumidos diariamente pelos homens no projeto? b) Quantos gramas de gorduras são consumidos diariamente pelas mulheres no projeto?

7. Apresente três matrizes simétricas sendo a primeira de ordem 2, a segunda de ordem 3 e a terceira de ordem 4.

8. Encontre todos os valores de a, b e c para os quais A é simétrica, sendo:

A=[

2 𝑎 − 2b + 2c 2a + 𝑏 + 𝑐 3 5 𝑎 + 𝑐 0 −2 7

]

Adultos Crianças Masc. Fem.

Prot. Gord. Carb. Adultos Crianças

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

Exercício 1

a) [

] b) [

] c) [

] d) [

]

e) [

] f) [

] g) [

] h) [

]

Exercício 2

a) 0

1 b) não é possível c) [

] d) 0

1 e) não é possível

Exercício 4: A^2 =A^3 =...=An=[

1 2

− 2 − 2

1 2

]

Exercício 5: A=[

]

Exercício 6: a) 2.800 g b) 6.000 g

Exercício 8: a=11, b=-9, c=- 13

EXEMPLO 3: Calcular a matriz inversa de B= 0 2 3 −1 1

EXEMPLO 4: Utilizando a matriz inversa de A, ache uma matriz X tal que AX=B.

A= 02 5

1 B= 0 1 3 −

PROPRIEDADES:

a) Se A for uma matriz inversível, então (A-^1 )-^1 =A b) Se A e B forem matrizes inversíveis nxn , então: (AB)-^1 =B-^1 A-^1 b) Se A é uma matriz inversível, então AT^ também é e: (AT)-^1 =(A-^1 )T

EXERCÍCIOS

1. Dada a matriz A= 0

1 , calcule A-^1 e A-^2.

2. Calcule a inversa de A= 0 2 1 −4 3

3. Sendo A, B, C e X matrizes, encontre uma expressão para a matriz X tal que:

a) ABX=C

b) AXB=C

c) XC=AB

d) BCX=A

RESPOSTAS

2) [

2/5 1/5 ]

3. Conferir em aula

EXERCÍCIOS

1. Calcule os determinantes das seguintes matrizes:

a) A=[

] b) B= 0

2. Se A = [

]verifique que |A|=|AT|.

3) Calcule o valor de  se ∣∣∣^ ^ − 1^2

4. Resolver a equação:

∣𝑥^3

5. Use determinantes para verificar, para cada uma das matrizes a seguir, se a matriz é ou não inversível.

a) A= 03 5 2 4

1 b) B= 03 6 2 4

1 c) C= 03 − 2 4

6. Calcule o determinante a seguir, escrevendo sua resposta como um polinômio em x.

∣𝑎 − 𝑥^ 𝑏^ 𝑐

7. Encontre todos os valores de a e b para os quais A e B são ambas não invertíveis:

A= 0

1 B= 0

0 2a − 3b − 7

8. Use determinantes para determinar quais das seguintes matrizes são inversíveis:

a) 03 − 2 6

1 b)[

]

RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS

1. det(A)= - 128 det(B)=

2. = 4 ou = - 1

3. x=3 ou x=

4. São inversíveis as matrizes A e C.

5. • x^3 +ax^2 +bx+c

6. a=2, b=- 1

7. (a) A matriz é inversível (b) A matriz é inversível

SISTEMAS EQUIVALENTES

Dois sistemas são equivalentes quando admitem a mesma solução. Por exemplo os sistemas abaixo têm, ambos, a solução S={(10,2)}

3𝑥 + 6𝑦 = 42 2𝑥 − 4𝑦 = 12 e

SISTEMA 2 X 2

Através da resolução de três sistemas lineares vamos examinar, do ponto de vista geométrico, um sistema da forma

𝑎 11 𝑥 + 𝑎 12 𝑦 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 + 𝑎 22 𝑦 = 𝑏 2

Ex.1:

Ex.2:

Ex.3:

AS MATRIZES E A FORMA ESCALONADA

Na resolução de um sistema linear é necessário transformar a matriz completa do sistema em formato de escada, ou seja, colocá-la na forma escalonada. Uma matriz está na forma escalonada por linhas quando satisfaz as seguintes propriedades:

1. Todas as linhas não nulas estão acima de qualquer linha só de zeros.
2. O pivô (primeiro coeficiente não-nulo) de cada linha está numa coluna à direita do pivô da linha acima.
3. Todos os elementos de uma coluna abaixo de um pivô são zeros.

Essas propriedades garantem que os pivôs posicionem-se formando uma escada.

EXEMPLOS:

[

], [

], [

], [

]

Exercício : Determine se a matriz dada está na forma escalonada por linhas.

a) [

] b) [

] c) 00 1 3 0 0 0 0 1

1 d) [

]

e) [

] f) [

] g) [

]

b)

 - 𝑥 + 𝑧 − 𝑡 = - 2𝑥 + 𝑧 + 𝑡 = 

• 𝑥 − 𝑦 + 𝑡 = −
• 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑡 =

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS PELO MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS

A estratégia básica é reduzir a matriz aumentada do sistema à forma escalonada por linhas de forma que os pivôs sejam todos unitários (1).

EXEMPLO 1:

Interpretação geométrica:

-6 (^) -4 (^) -2 (^0) 2 4 6 -

0 -10^5

0

5

10

15

20

y

x/2 - y/2 + 5/

x