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BINÔMIO DE NEWTON
1. Fatorial
Chama-se fatorial de um número natural n o produto dos números naturais de a
Exemplos
OBSERVAÇÃO
Por convenção:
Exercícios de Aula
1) Simplifique as frações:
a)
b) =
c)
2) Simplifique as expressões abaixo:
a)
b)
3) Resolver a equação:
4) (UFRS) A expressão , com inteiro estritamente positivo,
equivale a:
a) b) c) d) e)
5) (PUC/SP) Se , qual o valor de?
6) (FUVEST) Determine os valores de , tais que.
2. Números Binomiais
Exemplos
Conseqüências imediatas:
3. Números Binomiais Complementares
Dois números binomiais e são complementares se.
Dois números binomiais complementares são iguais.
Conclusão:
Se , então ou.
Exercício de Aula
7) Resolva as equações binomiais:
a)
b)
4. Noções de Somatório
Considere uma série de somas sucessivas de números naturais como, por exemplo,. Tais somas podem ser escritas de maneira mais resumida usando um símbolo matemático chamado “somatório”.
Exemplos
O número abaixo do símbolo é chamado limite inferior e, o número abaixo, limite superior. Também podemos fazer a soma de outras expressões substituindo, sucessivamente, na expressão os valores naturais entre os limites inferior e superior, somando em seguida os resultados obtidos.
Exemplos
5. Triângulo de Pascal
Faça a correspondência entre os dois triângulos
Verifique no triângulo as seguintes propriedades:
• Um “cateto” e a “hipotenusa” do triângulo de Pascal
são formados por 1.
• A soma de dois elementos consecutivos de uma linha é
igual ao elemento da linha seguinte, imediatamente abaixo da segunda parcela da soma.
• Em cada linha os termos eqüidistantes dos extremos
são iguais.
• A soma dos elementos de cada linha do triângulo é uma
potência de 2, cujo expoente é o número da linha.
6. Binômio de Newton
Vamos iniciar o nosso estudo com o desenvolvimento de para.
Generalizando:
7. Termo geral do Binômio de Newton
Todo termo do desenvolvimento do binômio de Newton pode ser representado pela expressão:
por potências decrescentes de
por potências crescentes de
Exercícios de Aula
8) A expressão equivale a:
a)
b)
c)
d)
e)
9) Qual o valor assumido pela expressão?
10) A expressão equivale a:
a)
b)
c)
d)
e)
11) Qual é o terceiro termo do desenvolvimento de?
12) Qual o quarto termo do desenvolvimento?
13) Qual o termo médio, se existir, do desenvolvimento?
14) (UEL-PR) Qual o coeficiente do termo , no desenvolvimento do
binômio?
15) (FM Santos – SP) Qual a ordem do termo independente de no
desenvolvimento de?
16) Qual a soma de todos os coeficientes do desenvolvimento?
EXERCÍCIOS MÚLTIPLA ESCOLHA
1) (UECE) A soma das soluções da equação é:
a) 8 b) 5 c) 6 d) 7 e) n.d.a.
2) (PUC/SP) Se , então é igual a:
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5
3) Os valores de que verificam a identidade são:
a) ou b) ou c) ou d) e) ou
4) (U.M. SP) Considere a seqüência de afirmações:
I)
II)
19) (UFV-MG) O coeficiente do termo independente de , no
desenvolvimento de , para é:
a) 28 b) 56 c) 3 d) 0 e) 36
20) (FAFI-PA) O número de termos do desenvolvimento de um
binômio é. O expoente do binômio é:
a) b) c) d) e)
21) Determine o valor de tal que o 2º, 3º e 5º termos do
desenvolvimento de estejam em progressão geométrica, nesta ordem.
a) b) c) d) e)
22) (MACK/SP) No desenvolvimento ordenando-se segundo as
potências decrescentes de , o termo cujo módulo do coeficiente numérico é máximo é:
a) o segundo b) o terceiro c) o quarto d) o quinto e) o sexto
23) (UFCE) A soma dos coeficientes do desenvolvimento do
binômio , onde , é 64. Qual o valor de.
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
24) (UFBA) Se o 6º termo do desenvolvimento do binômio é , o
valor de é:
a) – 2 b) – 1 c) 1 d) 2 e) 4
25) (IME-SP) Determine o termo independente de de
a) – 100
b) – 152
c) – 143
d) 252
e) – 252
26) (UFMA) O quarto termo no desenvolvimento de é:
a)
b)
c)
d)
e) n.r.a.
27) (Mack-SP) No desenvolvimento de , a diferença entre os
coeficientes binomiais do terceiro e do segundo termos é 44. Então:
a)
b)
c)
d)
e)
28) (Mack-SP) A condição que o número natural deve satisfazer
para que o desenvolvimento de tenha termo independente de é ser:
a) par
b) múltiplo de 5
c) múltiplo de 4 e maior que 8
d) múltiplo de 3
e) ímpar
29) (FGV-SP) vale:
a)
b)
c)
d)
e)
01 B 26 A
02 E 27 E
03 D 28 D
04 C 29 B
05 C
06 C
07 C
08 C
09 D
10 D
11 E
12 B
13 B
14 A
15 D
16 C
17 C
18 D
19 A
20 C
21 D
22 C
23 C
24 A
25 E
