Baixe Determinantes e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
DETERMINANTES
Definição
É um número real associado a qualquer matriz quadrada. Usaremos a notação para representar o determinante da matriz. Quando queremos simbolizar o determinante da matriz usamos a matriz entre duas barras.
Exemplos
: matriz quadrada de ordem 2. : determinante da matriz.
: matriz quadrada de ordem 3. : determinante da matriz.
Matriz de ordem 1
O determinante de uma matriz de ordem 1 (apenas um elemento) é o próprio elemento.
Exemplos
Matriz de ordem 2
O determinante de uma matriz de ordem 2 é dado por:
Exemplos
Exercícios de Aula
1) Resolva a equação.
2) Considere como sendo o polinômio representado pelo
determinante da matriz. Calcule.
3) Considerando e. Determine o valor de tal que
Matriz de ordem 3 (Regra de Sarrus)
A regra de Sarrus consiste no seguinte:
• Repetimos as duas primeiras colunas à direita da terceira;
• Calculamos os produtos dos elementos da diagonal principal e de
suas paralelas com 3 elementos mantendo os sinais dos produtos obtidos ;
• Calculamos os produtos dos elementos da diagonal secundária e de
suas paralelas com 3 elementos troca ndo os sinais dos produtos obtidos;
• O determinante é a soma dos produtos obtidos nos passos
anteriores.
Exemplos Calcule o determinante da matriz.
Exercícios de Aula
4) Determine o valor de em cada um dos casos abaixo:
a)
b)
5) Considerando as matrizes e , calcule.
Teorema de Laplace (ordem n ≥ 4)
Precisaremos de algumas definições preliminares.
5.1. Menor complementar
O menor complementar do elemento de uma matriz , indicado por , é o determinante obtido a partir da matriz , eliminando a linha e a coluna onde está o elemento.
Exemplos
Calcule os menores complementares e , da matriz.
Calcule o menor complementar , da matriz.
5.2. Co-fator ou complemento algébrico
O co-fator do elemento de uma matriz é definido por:
Exemplos
Calcule os co-fatores e , da matriz.
Calcule o co-fator , da matriz.
OBSERVAÇÕES
• Se for par, então.
• Se for ímpar, então.
Assim enunciamos o teorema de Laplace:
• Escolhemos uma fila (linha ou coluna) qualquer (de preferência
aquela com a maior quantidade de elementos nulos);
• Dos elementos que não são nulos da fila escolhida, calculamos seus
respectivos co-fatores;
• O determinante será o somatório dos produtos de cada elemento
não-nulo pelo seu respectivo co-fator.
Exemplo
Calcule o determinante da matriz.
Exercícios de Aula
6) Resolva a equação.
7) Resolva a equação.
15) Seja uma matriz quadrada de ordem 3 tal que. Determine o valor
de que satisfaz à equação.
16) Considere uma matriz quadrada , inversível, de ordem 4, que
satisfaz à equação matricial , onde simboliza a matriz nula quadrada de ordem 4. Qual o determinante da matriz?
i).
OBSERVAÇÃO
• Uma matriz é dita anti-simétrica quando. Assim:
. E teremos:
• Se é par: nada podemos concluir.
• Se é ímpar:
“Toda matriz anti-simétrica de ordem ímpar possui determinante igual a zero.”
Exercício de Aula
17) (Mackenzie) Seja , em que. Calcule.
j) , para.
Exercício de Aula
18) Sendo , calcule.
Regra de Chió
A regra de Chió permite o cálculo de determinantes através do “abaixamento de ordem“, ou seja, podemos encontrar o determinante de uma matriz de ordem através do determinante de uma matriz de ordem. A regra de Chió só pode ser usada quando a matriz cujo determinante
queremos calcular tem um elemento igual a. A regra de Chió consiste no seguinte:
• Eliminamos a linha e a coluna que se cruzam no elemento.
• Subtraímos, de cada elemento da matriz obtida, o produto dos
elementos que estão nas filas eliminadas e que pertencem à linha e à coluna do elemento considerado.
• Calculamos o determinante da matriz obtida nos dois primeiros
passos e multiplicamos o resultado por.
Exercícios de Aula
19) Usando a regra de Chió, calcule:
a)
b)
Matriz de Vandermonde
A matriz de Vandermonde ou matriz de potências é toda matriz do tipo:
Os elementos da segunda linha são denominados elementos característicos da matriz.
O determinante da matriz de Vandermonde é igual ao produto:
OBSERVAÇÃO
• Note que uma das linhas (ou uma das colunas) devem ser
totalmente formada por elementos iguais a 1 e que as colunas (ou as linhas) devem formar progressões geométricas.
Exercícios de Aula
20) Calcule os determinantes de Vandermonde:
a)
b)
