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PORCENTAGEM
Utilizamos o calculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano .toda fração de denominador 100, representa uma porcentagem, como diz o próprio nome por cem.
Exemplo:
12/100 é igual a 0,12 que multiplicado por 100 será igual a 12%
5/100 é igual a 0,05 que multiplicado por 100 será igual a 5%
Observe que o símbolo % que aparece nos exemplos acima significa por cento. Se repararmos em nosso volta, vamos perceber que este símbolo % aparece com muita freqüência em jornais, revistas, televisão e anúncios de liquidação, etc.
Exemplos:
O crescimento no número de matricula no ensino fundamental foi de 24%. A taxa de desemprego no Brasil cresceu 12% neste ano. Desconto de 25% nas compras à vista.
Devemos lembrar que a porcentagem também pode ser representada na forma de números decimal, observe os exemplos.
Exemplos:
25%/100 será igual a 0, 7%/100 será igual a 0,
Exemplos:
1.Uma televisão custa 300 reais. Pagando à vista você ganha um desconto de 10%. Quanto pagarei se comprar esta televisão à vista? 300 .10 = 3000 este resultado divido por 100 será igual a 30 reais
sendo assim
300 – 30 = 270 Logo, pagarei 270 reais
EXERCÍCIOS
- Escreva as razões na forma de taxa porcentual
a) 1/100 = 7% b) 9/100 = 9% c) 35/100 = 35%
d) 100/100 = 100% e) 143/100 = 143 %
- escreva na forma de razões centesimais
a) 3% = 3/ b) 8% = 8/ c) 34% = 34 / d) 52% = 52 / 100 e) 89% = 89 /
- Escreva as razões forma de taxa porcentual:
a) 1/4 = 25% b) 3/5 = 60% c) 7/10 = 70% d) 1/50 = 2% e) 9/25 = 36% f) 17/10 = 170% g) 7/2 =350% h) 5/4 = 125% i) 3/8 = 37,5%
- calcule a porcentagens:
a) 8% de R$ 700,00 = R$ 56, b) 5% de R$ 4.000,00 = R$ 200, c) 12% de R$ 5.000,00 = R$ 600, d) 15% de R$ 2.600,00 = R$ 390, e) 100% de R$ 4.520,00 = R$ 4.520, f) 125% de R$ 8.000,00 = R$ 10.000, g) 3% de 400 = 12 h) 18% de 8600 = 1. i) 35% de 42.000 = 14. j) 1% de 3000 = 30 l) 120% de 6.200 = 7.
PROBLEMAS DE PORCENTAGEM
São resolvidos atraés de regra de três simples
exemplo 1
calcular 20% de R$ 700,
700-------- X-----------
100X = 700. 20
100x = 14000
x = 14000/
x= 140
resposta : R$ 140,
MÉTODO PRÁTICO
Exemplo 1
Neste caso, podemos resolver mais rapidamente, lembrando o conceito de fração:
Calcular 20% de R$ 700,
solução:
20 / 100. 700 =
- 700 / 100 = 14000/ 100 = 140
Resposta : R$ 140,
Exemplo 2
Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual a taxa de porcentagem dos aprovados?
solução:
40-------
100------x
40/100 = 36/x
40x = 3600
x = 3600/
x = 90
Resposta: A aprovação foi de 90%
Exemplo 3
Comprei uma camisa e obtive um desconto de R$ 12,00 que corresponde à taxa de 5%. Qual é o preço da camisa?
100/x = 5/
5x = 1200
x = 1200 / 5
x = 240
Resposta: A camisa custava R$ 240,
Numa escola de 900 alunos, 42% são rapazes. Calcule o número de rapazes. (R:378)
Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8%
para o INSS. De quanto é o total de descontos? (R: 30,40)
Comprei uma bicicleta por R$ 500,00, Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei? (R: 75,00)
Uma caneta que custava R$60,00 sofreu um desconto de 5%. Quanto você pagará por essa caneta? (R: R$ 57,00)
Por quanto deverei vender um objeto que me custou R$ 720,00 para lucrar 30% ( R: 936,00)
Seu pai comprou um rádio por R$ 85,00 e obteve um desconto de 12%. Quanto pagou pelo rádio? (R: 74,80)
Um cormeciante comprou uma mercadoria por R$ 9.500,00. Querendo obter um lucro de 12% por que preço deverá vender a mesma? ( 10.540,00)
Ao ser pago com atraso, uma prestação de R$ 1.300, sofreu um acréscimo de 4%. Qual o valor dessa prestação? (R: 1.352,00)
Numa classe de 40 alunos, 6 foram reprovados. Qual a taxa de porcentagem dos alunos reprovados? ( R: 15%)
Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas. Qual a taxa de porcentagem das frutas estragadas? (R: 8%)
Comprei um objeto por R$ 23.000,00 e revendi com um lucro de R$ 1.610,00. Qual foi a taxa de lucro? (R: 7%)
Um comerciante recebeu um desconto de R$ 1.312, numa compra cujo valor era de R$ 82.000,00. Calcule a taxa dedesconto? (R: 1,6%)
Um produto custa R$ 400,00 e é vendido por R$ 520,00. Qual é a taxa de lucro? ( R: 30%)
Numa turma de 30 operários faltaram 12. Qual a taxa de operários presentes? (R:60%)
Numa classe foram reprovados 15% dos alunos, isto é , 9 alunso. Quantos alunos havia na classe? (R: 60)
Meu irmão ganhava R$ 320,00. Seu patrão lhe deu um aumento de 42%. Quanto ganha atualmente? (R: 454,40)
Num exame supletivo compareceram 12.600 candidatos e apenas 5% foram aprovados. Quantos candidatos foram aprovados? ( R: 630)
De 400 operários, 120 faltaram ao serviço. Qual a taxa de porcentagem dos operários, quantos são casados? (R: 30%)
Um produto custa R$ 600,00 e é vendido por R$ 750,00. Qual é a taxa de lucro nesse produto? (R: 25%)
Comprei uma vitrola por R$ 150,00 e vendi por R$ 129,00. De quanto porcento foi o prejuizo (R: 14%)
b) 18cm³ e 27cm³ (B) c) 19cm³ e 28cm³ d) 20cm³ e 27cm³ e) n.d.a
- Uma pessoa emprega uma quantia a juros simples de 6% durante 5 anos e o montante a juros simples de 12% ao ano durante 2 anos e recebeu R$ 80.600,00 de montante. Qual o capital inicial?
a) R$ 50.000 (A) b) R$ 60. c) R$ 70. d) R$ 80. e) R$ 90.
- (PUC) Em uma corrida de cavalos , o cavalo vencedor pagou aos seus apostadores R$ 9 por cada R$ 1 apostado. O rendimento de alguém que apostou no cavalo vencedor foi de:
a) 800% (A) b) 90% c) 80% d) 900% e) 9%
- (FEI) O custo de produção de uma peça é composta por : 30% para mão de obra , 50% para matéria prima e 20% para energia elétrica. Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de mão de obra , 35% no preço de matéria prima e 5% no preço da energia elétrica, o custo de produção sofrerá um reajuste de:
a) 60% b) 160% c) 24,5% (C) d) 35% e) 4,5%
- (UNESP) Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro de 1990 o preço do quilograma de mercadorias num determinado "sacolão" sofreu um aumento de 275%. Se o preço do quilograma em 10de novembro era de Cr$ 67,50 , qual era o preço em 10 de fevereiro?
a) Cr$ 19, b) Cr$ 18, c) Cr$ 18, d) Cr$ 19,50 (X) e) Cr$ 17,
- (FUVEST) Suponha que a taxa de inflação seja 30% ao mês durante 12 meses ; daqui a um ano seja instituído o "cruzado novo ", valendo Cz$ 1000 ; e que sejam colocadas
em circulação moedas de 10 centavos , 50 centavos e 1 cruzado novo. Qual será então o preço , em cruzados novos , de um cafezinho que custa hoje Cz$ 20,00?
a) NCZ$ 0, b) NCZ$ 0, c) NCZ$ 0, d) NCZ$ 0,50 (X) e) NCZ$ 0,
- (FUVEST) O salário de Antônio é 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. O salário de Antônio é:
a) R$ 5500, b) R$ 4500,00 (X) c) R$ 4000, d) R$ 5000, e) R$ 3500,
- (FUVEST) Numa certa população 18% das pessoas são gordas , 30% dos homens são gordos e 10% das mulheres são gordas. Qual a porcentagem de homens na população?
a) 30% b) 35% c) 40% (X) d) 45% e) 50%
- (FAAP) Numa cidade , 12% da população são estrangeiros. Sabendo-se que 11.968.000 são brasileiros , qual é a população total?
a) 1.360. b) 13.600.000 (X) c) 136.000. d) 10.531. e) 105.318.
- (FUVEST) O preço de uma certa mercadoria sofre anualmente um acréscimo de 100%. Supondo que o preço atual seja R$ 100,00 , daqui a 3 anos o preço será.
a) R$ 300, b) R$ 400, c) R$ 600, d) R$ 800,00 (X) e) R$ 1000,
- (FGV) Se uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 8% , seu preço final , em relação ao preço inicial:
a) aumentou de 22% b) decresceu de 21,97% (X) c) aumentou de 21,97% d) decresceu de 23% e) decresceu de 24%
- (FGV) Uma fábrica de sapatos produz certo tipo de sapatos por R$ 18,00 o par , vendendo por R$ 25,00 o par. Com este preço , tem havido uma demanda de 2000 pares mensais. O fabricante pensa em elevar o preço em R$ 2,10. Com isto as vendas sofrerão uma queda de 200 pares. Com esse aumento no preço de venda seu lucro mensal:
a) cairá em 10% b) aumentará em 20% c) aumentará em 17% (X) d) cairá em 20% e) cairá em 17%
- (FGV) Se João emagrecesse 10 kg , ele passaria a ter 75% do seu peso atual. Então , seu peso atual é:
a) inferior a 30 kg b) 75 kg c) 50 kg d) superior a 75 kg e) 40 kg (X)
- (FGV) Um indivíduo ao engordar passou a ter 38% a mais em seu peso. Se tivesse engordado de tal maneira a aumentar seu peso em apenas 15%, estaria pesando 18, kg a menos. Qual era seu peso original?
a) 50 kg b) 60 kg c) 70 kg d) 80 kg (X) e) 40 kg
- (FGV) Num colégio com 1000 alunos , 65% dos quais são do sexo masculino , todos os estudantes foram convidados a opinar sobre o novo plano econômico do governo. Apurados os resultados , verificou-se que 40% dos homens e 50% das mulheres manifestaram-se favoravelmente ao plano. A porcentagem de estudantes favoráveis ao plano vale:
a) 43,5% (X) b) 45% c) 90% d) 17,5% e) 26%
- (PUC) Em uma certa comunidade existem 200. professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede oficial
do Estado, 25.000 professores de 1º e 2º graus que trabalham na rede particular de ensino e 12.000 professores de 3º grau. Se 2,5% dos professores da rede oficial trabalham na rede particular , se 0,25% dos professores da rede oficial trabalham no 3º grau , e se 2% dos professores da rede particular trabalham no 3º grau , quantos professores possui essa comunidade , se apenas 200 professores trabalham , simultaneamente , na rede pública , particular , e no 3º grau?
a) 213200 b) 231200 (X) c) 212300 d) 223100 e) 231000
- (ESPM) O salário médio de uma indústria de 354 funcionários é de R$ 3.300,00. Se a indústria der um aumento de 20% para cada funcionário que possui , qual será o novo salário médio?
a) R$ 3.690, b) R$ 369, c) R$ 396, d) R$ 3.960,00 (X) e) n.d.a
- (OSEC) Em apenas 6 meses o preço de um litro de gasolina teve 320% de aumento. Como esse preço era inicialmente de R$ 0,25 , ele passou a ser:
a) R$ 0, b) R$ 1,05 (X) c) R$ 1, d) R$ 2, e) R$ 2,
- (FUVEST) Um recipiente contém uma mistura de leite natural e de leite de soja num total de 200 litros , dos quais 25% são de leite natural. Qual é a quantidade de leite de soja que deve ser acrescentada à essa mistura para que ela venha a conter 20% de leite natural?
a) 40 b) 43 c) 48 d) 50 (X) e) 60
- (FGV) Duas irmãs , Ana e Lúcia , têm uma conta de poupança conjunta. Do total do saldo , Ana tem 70% e Lúcia 30%. Tendo recebido um dinheiro extra , o pai das meninas resolveu fazer um depósito exatamente igual ao saldo na caderneta. Por uma questão de justiça , no entanto , ele
- Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montando a tabela:
Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400----------------- 480---------------- x
Identificação do tipo de relação:
velocidade----------tempo 400 ↓-----------------3↑ 480 ↓---------------- x↑
Obs: como as setas estão invertidas temos que inverter os numeros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que esta em cima vai para baixo e o que esta em baixo na segunda coluna vai para cima
velocidade----------tempo 400 ↓-----------------X↓ 480 ↓---------------- 3↓
480X = 400. 3
x = 400. 3 / 480
X = 2,
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui.
Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.
- Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?
Solução: montando a tabela:
Camisetas----preço (R$) 3------------- 120 5---------------x
3x=5.
o três vai para o outro lado do igual dividindo
x = 5.120/
x= 200
Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.
- Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Solução: montando a tabela:
Horas por dia-----Prazo para término (dias)
8 ↑------------------------20↓ 5 ↑------------------------x ↓
invertemos os termos
Horas por dia-----Prazo para término (dias)
8 ↑-------------------------x↑ 5 ↑------------------------20↑
5x = 8. 20
passando-e o 5 para o outro lado do igual dividindo temos:
5x = 8. 2 / 5
x = 32
Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
EXERCICIOS
Uma roda dá 80 voltas em 20 minutos. Quantas voltas dará em 28 minutos? (R:112)
Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho? (R: 4)
Com 6 pedreiros podemos construir um a parede em 8 dias. Quantos dias gastarão 3 pedreiros para fazer a mesma parede? (R:16)
Uma fabrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes? (R: 8)
Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias 9 marceneiros fariam o mesmo armário? (R:8)
Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa? (R: 90)
Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros? (R: 4)
Na construção de uma escola foram gastos 15 caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6 m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho? (R: 10)
Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²? (R: 6)
Um ônibus, a uma velocidade média de 60 km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 km/h? (R:3)
Para se obterem 28 kg de farinha, são necessários 40 kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 kg de farinha? (R:10)
Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa? (R:10)
Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantoas peças produzirá em 1 hora? (R:240)
Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km /h quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso? (R:4)
15)Uma maquina fabrica 5000 alfinetes em 2 horas. Qauntos alfinetes ela fabricará em 7 horas? (R:17.500)
Quatro quilogramas de um produto químico custam R$ 24.000,00 quanto custarão 7,2 Kg desse mesmo produto? (R:43.200,00)
Oito operarios fazem um casa em 30 dias. quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa? (R:20)
Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos? (R: 420)
Quinze homens fazem um trabalho em 10 dias, desejando-se fazer o mesmo trabalho em 6 dias, quantos homens serão necessários? (R:25)
Um ônibus, à velocidade de 90 Km/h, fez um percurso em 4 horas. Quanto tempo levaria se aumentasse a velocidade para 120 Km/h? (R: 3)
Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro? (R:360)
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.
Exemplos:
- Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem: Horas --------caminhões-----------volume 8 ↑----------------20↓----------------------160↑ 5 ↑------------------x↓----------------------125↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna). Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
Horas --------caminhões-----------volume 8 ↑----------------20↓----------------------160↑
largura, seriam produzidos em 25 minutos? (R: 2025 metros.)
Lucro Em uma transação comercial há a possibilidade de se obter lucro. Isso ocorre quando o valor de venda é maior do que o valor de custo (ou de compra). A taxa percentual desse lucro pode ser calculada considerando-se o valor de compra ou de venda do produto.
Para facilitar o estudo vamos adotar:
O lucro é determinado por: F 0 3 DF 0 2 D
A taxa percentual de lucro em relação ao valor de custo é dada pela razão entre o lucro e o valor de custo.
F 0 3 DF 0 D 7
A taxa percentual de lucro em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o lucro e o valor de venda.
F 0 3 DF 0 D 7
Desconto Já vimos que uma transação comercial pode dar lucro. De forma análoga, pode ocorrer prejuízo. Isso acontece quando o valor de venda é menor que o valor de custo (ou de compra). Por razões comerciais, pode ainda ocorrer um des 0 0 1 F conto. Um desconto não implica necessariamente em um prejuízo, mas para o cálculo da taxa porcentual, seja de um des 0 0 1 F con 0 0 1 F to, seja de um prejuízo, procedemos da mesma maneira: comparamos o módulo da diferença entre os preços de custo e de venda com o preço de custo ou com o preço de venda conforme a conveniência do contexto.
Para facilitar nosso estudo, vamos adotar:
F 0 3 DF 0 3 D
O desconto é determinado por:
F 0 3 DF 0 2 D
A taxa percentual de desconto em relação ao valor de custo é dada pela razão entre o desconto e o valor de custo.
F 0 3 DF 0 D 7
A taxa percentual de desconto em relação ao valor de venda é dada pela razão entre o desconto e o valor de venda.
F 0 3 DF 0 D 7
Acréscimos sucessivos Vários são os fatores que determinam o preço de um produto. A lei da oferta e da procura é um desses fatores que obriga, às vezes, mais de um reajuste de preços, para
valores maiores (acréscimos sucessivos) ou para valores menores (descontos sucessivos).
Se um produto com preço inicial P (^) 0 sofre acréscimos sucessivos, cujas taxas percentuais são i (^) 1 , i 2 , …, in , então o preço desse produto após n reajustes é P (^) n dado por: F 0 3 DF 0 D 7F 0 D 7F 0 D 7F 0 D 7 Particularmente, esses acréscimos podem apresentar taxas percentuais iguais, i (^) 1 F 0 3 D i 2 F 0 3 D…F 0 3 D i F 0 3 D n i. Neste caso, temos:
F 0 3 DF 0 D 7
Descontos sucessivos Já vimos que numa transação comercial o preço de um produto pode sofrer acréscimos sucessivos. Da mesma forma, os preços de um produto podem ter descontos sucessivos.
Vejamos:
Se um produto com preço inicial P (^) 0 sofre descontos sucessivos, cujas taxas percentuais são i (^) 1 , i 2 , …, in , então o preço desse produto após n descontos será P (^) n dado por: F 0 3 DF 0 D 7F 0 2 DF 0 D 7F 0 2 DF 0 D 7F 0 D 7F 0 2 D Particularmente, esses descontos podem apresentar taxas percentuais iguais, i (^) 1 F 0 3 D i 2 F 0 3 D…F 0 3 D i F 0 3 D n i. Neste caso, temos:
F 0 3 DF 0 D 7F 0 2 D
JUROS SIMPLES
Quando se deposita ou empresta uma certa quantia, denominada capital por um certo tempo, recebe-se como compensação outra quantia , chamada juros.
Capital c_ (quantia emprestada) Taxa____ i___ (porcentagem envolvida) Tempo___t___ (período do empréstimo) Juros____j____(a renda obtida)
Os problemas sobre juros simples podem ser resolvidos por meio de uma regra de três composta. Na pratica são resolvidos através de formula.
Exemplo: O capital 100 em 1 ano produz i O capital c em t anos produzira j
Capital______tempo______juros
100_________1____________i c___________ t____________J
I/j=100/c.1/t
i/j= 100/c.t
100j= c.i.t
j=c.i.t/
OBESERVAÇÃO
A formula somente é válida quando a taxa e o tempo estiverem numa mesma unidade
Exemplos “1”
Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 5.000, empregado à taxa de 90% ao ano, durante 2 anos
Solução J = ?, c = 5000, i = 90% ao ano, t = 2 anos
Temos: j = c.i.t / 100 Substituindo temos:
J = 5000.90.2 / 100 J = 900000/ 100 J = 9000
Exemplo “2”
Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 10.000, empregado à taxa de 3% ao mês, durante um ano.
Temos: j = c. i. t / 100
J= 10000.3.12 / 100 J = 360000 / 100 J = 3600
Exemplo “3”
Qual o capital que, em quatro meses, rendeu R$ 11.520, de juros à taxa de 96% ao ano?
Temos : j = c.i.t / 100
11520 = c.8.4 / 100 32c = 1152000 c = 1152000 / 32 c = 36000
Exemplo “4”
Durante quanto tempo ficou empregado um capital de R$ 45.000,00 que rendeu R$ 8.100,00 de juros, à taxa de 2% ao mês?
Temos : j = c.i.t / 100
8100 = 45000. 2. t / 100 90000t = 810000 t = 810000 / 90000 t = 9
EXERCICIOS
- Calcule o juro produzido por R$ 50.000,00 durante 2 anos , a taxa de 30% ao ano. (R=30.000)
- Calcule o juro produzido por R$ 18.000,00, durante 3 meses, a taxa de 7% ao mês. (R=3780)
- Calcule o juro produzido por R$ 72.000,00, durante 2 meses , a taxa de 60% ao ano (R=7200)
- Calcule o juro produzido por R$ 12.000,00, durante 5 meses, a taxa de 6,5% ao mês (R= 3900)
- Por quanto tempo devo aplicar R$ 10.000,00 para que a renda R$ 4.000,00 a uma taxa de 5% ao mês? (R=8)
- Por quanto tempo devo aplicar R$ 3.000,00 para que renda R$ 1.440,00 a taxa de 12% ao mês? (R = 4)
- A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 10.000,00 para que, no fim de 2 meses renda R$ 2.000, de juros? (R=10%)
- A que taxa mensal devo empregar um capital de R$ 20.000,00 para que, no fim de 10 meses renda R$ 18.000, de juros? (R= 9%)
- Qual será o capital que em 9 meses, a 6% ao mês, renderá R$ 32.400,00 de juros? (R= 60.000)
- Qual será o capital que,em 3 meses, a 72% ao ano renderá R$ 720,00 de juros? (R=4.000)
JUROS COMPOSTOS
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chamamos de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal.
Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P. (1 + i)n
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n , ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período:
EXERCÍCIOS DUPLA COLUNA
- (UFS – 2002) Analise as proposições seguintes.
0 0 Sabe-se que de cada 100 candidatos de um Concurso Vestibular, 30 concorrem a vagas para o curso de medicina e, dentre eles, de cada 10 candidatos, quatro são do sexo feminino. Se há um total de 1 500 candidatos nesse concurso, o número dos candidatos do sexo feminino que concorrem ao curso de medicina é 180. 1 1 Se um livro teve seu preço reajustado de R$ 12, para R$ 14,00, a taxa percentual de aumento foi de 12%. 2 2 Se um capital de R$ 2 500,00 for aplicado em regime de juros simples, à taxa mensal de 1,8%, ao final de 1 ano e dois meses produzirá o montante de R$ 3 100,00. 3 3 Se um capital C é aplicado a juros simples e à taxa mensal de 2%, então ao final de 8 anos o montante será igual ao dobro de C. 4 4 Se uma dívida foi contraída a juros compostos, à taxa anual de 44%, então ao final de 2 anos, se não forem feitos pagamentos, ela terá o seu valor aumentado em 105%.
- (UFS – 2003) Analise as afirmativas abaixo.
0 0 Um capital de R$ 960,00, aplicado a juro simples por 6 meses, à taxa mensal de 5%, rende um juro total de R$ 240,00. 1 1 Se um capital de R$ 900,00, aplicado a juro simples por 4 meses, rendeu R$ 45,00 de juros, então a taxa mensal dessa aplicação foi de 1,25%. 2 2 O juro produzido por um capital de R$ 4 000,00, aplicado a juros compostos por 2 meses e à taxa de 3% ao mês, é R$ 240,00. 3 3 Um comerciante comprou um lote de 200 camisetas iguais por R$ 1 600,00. Metade desse total foi vendido com lucro de 5% e a outra metade, com prejuízo de 3%, porcentagens essas calculadas sobre o preço de compra. Seu lucro final foi de R$ 160,00. 4 4 Em uma loja, o preço normal de um objeto era R$ 85,00. Se, em uma promoção, foi oferecido um desconto de 10% no preço normal e, na hora da venda, foi dado um desconto de 10% no preço promocional, o valor final de venda desse objeto foi de R$ 68,85.
- (UFS – 2004/2005) Verifique a veracidade de cada uma das afirmações seguintes.
0 0 Se um produto é vendido por reais, com um lucro de sobre o preço de custo , então é igual a reais. 1 1 Os juros simples produzidos por um capital , ao fim de meses, serão iguais a , se ele for empregado à taxa de ao mês.
2 2 Um concurso foi realizado em duas fases: na primeira, participaram candidatos, dos quais não foram aprovados; na segunda, em que participaram todos os aprovados na primeira, não conseguiram aprovação. Nessas condições, nesse concurso foram aprovados candidatos. 3 3 Se R$ foram aplicados em um fundo de investimento regido a juro simples e, ao final de meses, resgatou- se o montante de R$ , a taxa mensal de juros era de. 4 4 Um capital, aplicado a juros compostos e à taxa de a.m., produziu ao final de meses o montante de R$. O valor desse capital era R$.
- (UFS – 2006) Um comerciante comprou 180 cadernos de um certo tipo ao preço de R$ 5,00 cada.
0 0 Se ele vender todos os cadernos ao preço de R$ 21,00, o pacote com 3 unidades, sua taxa de lucro, em relação ao preço de compra, é de 40%. 1 1 Ele vendeu metade do total de cadernos a R$ 6, cada. Para que a taxa de lucro em relação ao preço de compra seja de 30%, a outra metade ser vendida a R$ 6,50 cada. 2 2 Ele vendeu do total de cadernos a R$ 6,50 cada. Passado um tempo, resolveu fazer uma oferta dos cadernos restantes, em pacotes com 4 unidades. Para não ter prejuízo na venda dos 180 cadernos, deve vender cada pacote por, no mínimo, R$ 8,00. 3 3 Se ele tivesse aplicado o dinheiro gasto nessa compra a juro simples, à taxa de 4% ao mês e obtido um juros total de R$ 132,00, o prazo dessa aplicação teria sido de 3 meses e meio. 4 4 Se ele vender do total de cadernos a R$ 7,00 cada e aplicar o capital resultante a juros compostos, à taxa de 3% ao mês, durante 2 meses, obterá o montante de R$ 450,85.
- (UFS / Itabaiana – 2006) Considerando que uma pessoa dispõe de um capital de e pretende investi-lo pelo prazo de 1 ano, analise as afirmações que seguem.
0 0 Se ela fizer uma aplicação a juros simples e à taxa mensal de 1,5%, obterá o montante de.
1 1 Se a aplicação for feita a juros compostos e à taxa mensal de 2%, então, decorridos 2 meses do início da aplicação, o montante será de.
2 2 Se as taxas mensais de rendimento dos três primeiros meses forem, respectivamente, iguais a 8%, 10% e 8%, então, o montante gerado nesse trimestre será de.
3 3 Se, numa mesma data, ela investir em uma aplicação X, que tem rendimento de 15% ao ano, e o restante em uma aplicação B, que tem rendimento de 20% ao ano, o rendimento anual será de 17%.
4 4 Se o capital for aplicado a juros compostos, então, para que seja obtido o montante de , a taxa anual de aplicação deverá ser de 15%.
- (UFS-2007) Na loja de artesanato Local um turista se interessou por uma determinada peça de cerâmica e um certo modelo de toalha. Se ele comprar 3 dessas peças e 2 dessas toalhas, deverá pagar o total de R$ 225,00. Se comprar 2 dessas peças e 3 dessas toalhas deverá pagar o total de R$ 300,00. Use essas informações para analisar as afirmações que seguem.
0 0 - Na loja Local, cada uma dessas peças de cerâmica custa R$ 18,00.
1 1 - Cada uma dessas toalhas custa, na loja Local, R$ 90,00.
2 2 - Na compra de uma dessas toalhas e uma dessas peças na loja Local, deve-se pagar o total de R$ 110,00.
3 3 - Com a quantia de R$ 250,00 é possível comprar no máximo 16 dessas peças de cerâmica na loja Local.
4 4 - Se na loja Modal o preço dessa toalha corresponde a do preço na loja Local, então o preço de duas dessas toalhas na loja Modal é R$ 250,00.
EXERCÍCIOS MÚLTIPLA ESCOLHA
1) (Puccamp) Em agosto de 2000, Zuza gastou R$ 192,00 na compra de algumas peças de certo artigo. No mês seguinte, o preço unitário desse artigo aumentou R$ 8,00 e, com a mesma quantidade que gastou em agosto, ele pôde comprar duas peças a
menos. Em setembro, o preço de cada peça de tal artigo era:
a) R$ 24,
b) R$ 25,
c) R$ 28,
d) R$ 30,
e) R$ 32,
2) (Mackenzie) As pessoas de um grupo deveriam contribuir com quantias iguais a fim de arrecadar R$ 15.000,00, entretanto 10 delas deixariam de fazê- lo, ocasionando, para as demais, um acréscimo de R$ 50,00 nas respectivas contribuições. Então vale:
a) 60
b) 80
c) 95
d) 115
e) 120
3) (^) (Unirio – RJ) Marta vai se casar e amigas suas resolveram comprar-lhe um presente no valor de R$ 300,00, cada uma delas contribuindo com a quantia de reais. Na hora da compra, entretanto, uma delas desistiu de participar e as outras tiveram, cada uma, um acréscimo de R$ 15,00 na quota inicialmente prevista. Assim, a afirmação correta é:
a)
b)
c)
d)
e)
é correto afirmar que, para o consumidor, o preço do metro de papel higiênico teve um aumento:
10).)a inferior a 25%.
10).)b superior ou igual a 30%.
10).)c igual a 25%.
10).)d superior a 25% e inferior a 30%.
11) (Mackenzie) Numa loja, um determinado produto de preço p é posto em promoção do tipo “leve 5 e pague 3”. O desconto que a promoção oferece sobre o preço p do produto é de:
11).)a 40%
11).)b (^) 35%
11).)c 30%
11).)d 25%
11).)e 20%
12) (UERJ) Uma máquina que, trabalhando sem interrupção, fazia 90 fotocópias por minuto foi substituída por outra 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha que fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia. Para isso, a nova máquina vai gastar um tempo mínimo, em minutos, de:
12).)a 25
12).)b 30
12).)c 35
12).)d 40
12).)e 45
13) (U.F. Viçosa – MG) Consultando um mapa rodoviário, um motorista decide por um itinerário 17% mais longo do que aquele que faz habitualmente. Como o tráfego de veículos nesse novo trajeto é menor, sua velocidade média aumentará em 30%. Diante dessas condições, o tempo de viagem diminuirá em:
13).)a 5%
13).)b 10%
13).)c 15%
13).)d 20%
13).)e 25%
14) (PUC – RJ) Fiz em 50 minutos o percurso de casa até a escola. Quanto tempo gastaria se utilizasse uma velocidade 20% menor?
14).)a 65 minutos.
14).)b 41 minutos e 40 segundos.
14).)c 60 minutos.
14).)d (^) 62 minutos e 30 segundos.
14).)e 50 minutos e 20 segundos.
15) (Fuvest)
Produção e vendas, em setembro, de três montadoras de automóveis
Montadora Unidades Produzidas
Porcentagem vendida da produção A 3000 80% B 5000 60% C 2000 x%
Sabendo que nesse mês as três montadoras venderam 7000 dos 10000 carros produzidos, o valor de x é:
a) 30
b) 50
c) 65
d) 80
e) 100
16) (PUC – MG ) Em maio de cada ano, certa empresa reajusta os salários de seus funcionários pelo índice de preços ao consumidor, apurado no ano anterior. Em 2001, esse índice foi de 6,2%. Com base nesses dados, pode-se estimar que um funcionário que, em maio de 2001, recebia R$ 540,00 passou a receber, em maio de 2002:
5).)f R$ 573,
5).)g R$ 575,
5).)h R$ 577,
5).)i R$ 580,
5).)j R$ 585,
17) (Cefet – MG) A soma dos preços de duas mercadorias é de R$ 50,00. A mais cara terá um desconto de 10% e a mais barata sofrerá aumento de 15%, mantendo a soma dos preços no mesmo valor. A diferença entre os dois preços diminuirá em:
6).)f 25%
6).)g 30%
6).)h 40%
6).)i 50%
6).)j 60%
18) (UFRS) Considere os dados da tabela abaixo referentes à População Economicamente Ativa (PEA) de uma determinada região.
Distribuição da PEA por anos de estudo, segundo sexo
PEA Masculina PEA Feminina
Até 4 anos de estudo
5 ou mais anos de estudo
Total 100% 100%
Se os homens são 60% da PEA dessa região, homens e mulheres com 5 anos ou mais de estudo representam:
a) 36% da PEA da região.
b) 40% da PEA da região.
c) 44% da PEA da região.
d) 45% da PEA da região.
e) (^) 54% da PEA da região.
19) (UFRS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300 g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para se obter uma solução salina a 3% (sal) é:
5).)k 90 g
5).)l 94 g
5).)m 97 g
5).)n 98 g
5).)o 100 g
20) (Fuvest) Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já contém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante tenha 20% de álcool. A porcentagem de álcool nessa nova mistura deve ser de:
6).)k 20%
6).)l 22%
6).)m 24%
6).)n 26%
6).)o 28%
21) (Mackenzie) Num grupo de 200 pessoas, 80% são brasileiros. O número de brasileiros que devem abandonar o grupo, para que 60% das pessoas restantes sejam brasileiras, é:
7).)f 90
7).)g 95
7).)h 100
7).)i 105
dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:
7).)k Prejuízo de 10%
7).)l Prejuízo de 5%
7).)m Lucro de 20%
7).)n Lucro de 25%
7).)o Lucro de 30%
28) (Fuvest) Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria:
8).)k 40%
8).)l 45%
8).)m 50%
8).)n 55%
8).)o 60%
29) (Mackenzie) Um objeto é vendido por R$ 26,00. O dono da loja, mesmo pagando um imposto de 20% sobre o preço de venda, obtém um lucro de 30% sobre o preço de custo. O preço de custo desse objeto é:
9).)k R$ 18,
9).)l R$ 16,
9).)m R$ 14,
9).)n R$ 16,
9).)o R$ 14,
30) (UFES) Antônio compra abacaxis de um fornecedor ao preço de R$ 1,00 o lote de 3 unidades. Ele os revende na feira em amarrados com 5 unidades. Se o preço de cada amarrado é R$ 2,00, quantos abacaxis deverá vender para ter um lucro de R$ 100,00?
10).)e 1300
10).)f 1400
10).)g 1500
10).)h 1600
10).)i 1700
31) (Faap) Uma certa quantidade de cereal, que custara R$ 12,00 por saca, foi vendida, sucessivamente, por quatro negociantes, os quais obtiveram um lucro de 20%, 12%, 15% e 10%, respectivamente. Qual foi o último preço de venda (aproximadamente) por saca?
11).)f R$ 22,
11).)g R$ 14,
11).)h R$ 16,
11).)i R$ 18,
11).)j R$ 20,
32) (PUC-SP) Uma cooperativa compra a produção de pequenos horticultores, revendendo-a para atacadistas com um lucro de 50% em média. Estes repassam o produto para os feirantes, com um lucro de 50% em média. Os feirantes vendem o produto para o consumidor e lucram também 50% em média. O preço pago pelo consumidor tem um acréscimo médio, em relação ao preço dos horticultores, de:
12).)f 150,0%
12).)g 187,0%
12).)h 237,5%
12).)i 285,5%
12).)j 350,0%
33) (Unifesp) Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto ao número de casos positivos:
- em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 10%;
- em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 10%.
Em todo o período considerado, a variação foi de:
a) –1%
b) –0,1%
c) 0%
d) 0,1%
e) 1%
34) (U.F. Juiz de Fora) Uma loja aplicou um desconto no preço de um eletrodoméstico, reduzindo-o em 25%. Como as vendas não aumentaram, aplicou um novo desconto de 20% sobre o preço reduzido. Após esses dois descontos, o preço do eletrodoméstico ficou igual a R$ 270,00. Então o preço inicial desse eletrodoméstico era igual a:
5).)u R$ 162,
5).)v R$ 405,
5).)w R$ 450,
5).)x R$ 492,
5).)y R$ 500,
35) (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um desconto único de:
6).)u 25%
6).)v 26%
6).)w 44%
6).)x 45%
6).)y 50%
36) (PUC-MG) Após dois anos de uso, um carro custa R$ 17.672,00. Sabendo que sua desvalorização é de 6% ao ano, o preço do carro há dois anos era:
7).)p R$ 19.792,
7).)q R$ 19.000,
7).)r R$ 20.000,
7).)s R$ 21.200,
7).)t R$ 24.033,
37) (ESPM-SP) Se um automóvel sofre desvalorização de 20% ao ano, ele estará valendo a metade do seu valor atual em:
8).)p Pouco mais de 3 anos.
8).)q Exatamente dois anos e meio.
8).)r Pouco mais de 4 anos.
8).)s (^) Exatamente 5 anos.
8).)t Menos de 2 anos.
38) (U. F. Juiz de Fora) As despesas mensais de uma pessoa dividem-se em gastos fixos e gastos variáveis. Seus gastos fixos são de R$ 180,00 e, nos próximos meses, seus gastos variáveis, que hoje são de R$ 100,00, aumentarão 2% a cada mês, em relação ao mês anterior. A expressão que fornece a despesa dessa pessoa daqui a meses, em reais, é:
9).)p
9).)q
9).)r
9).)s
9).)t
39) (FGV) Um vidro de perfume é vendido, à vista, por R$ 48,00 ou, a prazo, em dois pagamentos de R$ 25,00 cada um, o primeiro no ato da compra e o outro um mês depois. A taxa mensal de juros do financiamento é aproximadamente igual a:
10).)j 6,7%
10).)k 7,7%
