DIDATICA ESPECIAL MATEMATICA, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

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DIDATICA

ESPECIAL

MATEMATICA

I N D I C E

P á g s.

I) A ORGANIZAÇÃO DOS PROGRAMAS OFICIAIS DE MATEMATICA NO BRASIL 7 a 12

II) O VALOR E O OBJETIVO DA MATEMATICA NA ESCOLA SE- CUNDARIA BRASILEIRA 13 a 21

III) A TAREFA DO PROFESSOR DE MATEMATICA NOS CURSOS DE

NIVEL MEDIO DO BRASIL 23 a 62

IV) PLANOS DE CURSO PARA CADA UMA DAS SÉRIES DO CURSO

SECUNDARIO 63 a 76

I) A ORGANIZAÇÃO DOS PROGRAMAS

OFICIAIS DE MATEMÁTICA NO BRASIL

1.1 — Preliminares

Acreditamos não ser possível fazer um estudo sobre o ensino da Matemática na escola secundária brasileira sem, inicialmente, exami- narmos os problemas decorrentes da organização e aplicação dos pro- gramas oficiais.

1.2 — Apreciação geral dos últimos programas

de matemática organizados

Não faremos aqui um estudo minucioso de cada um dêles, a fim de não fugirmos do objetivo de nosso trabalho. Todavia, temos visto, nesses últimos trinta anos, diferentes mudanças dos programas oficiais de matemática, sempre com uma característica comum, que é a mo- dificação completa do anterior. Essas reformas totais podem dar a impressão de que todos esses programas tenham sido, inteiramente, mal organizados ou mal ela- borados. Achamos que isso não aconteceu, apesar de, em todos eles, algu- mas falhas terem sido notadas por diversos professores. O que tem acontecido, sempre, é que as novas comissões não têm trabalhado com o objetivo de consertar o que está errado ou não está bom, e aproveitar o que todos reconhecem que devia ser aproveitado. É comum em um novo programa de matemática uma série está com a matéria bem dosada e superior a do programa anterior, mas, em compensação ou melhor, para descompensar, a matéria de uma série que estava aprovada por todos, vem completamente modificada e para pior.

MANOEL JAIRO BEZERRA

A esse defeito comum de cada novo programa — reformar em vez de consertar acrescentamos um outro — não existe um planejamento minucioso para estabelecer o critério a ser adotado na elaboração do novo currículo. Antes de apresentar uma técnica ou critério que deveria ser ado- tado, citaremos algumas das falhas apresentadas até hoje, em um só programa ou em vários : a) Comissões constituidas de técnicos de ensino ou de professé- es, de reconhecida capacidade, porém afastados do problema ou, quan- do militantes, não lecionando em todos os ciclos ou séries; b) Abandono completo das conclusões de congressos ou de outras comissões, oficiais ou não; e não existe o aproveitamento desses con- gressos ,pelo menos, para apreciação de esquemas prèviamente elabo- rados pelas comissões organizadoras dos programas. Assim, no último programa de matemática, atualmente em vigor, nem foram aproveitadas as conclusões do Primeiro Congresso de Ar- ticulação de Ensino, realizado, em 1951, em São José dos Campos, sob o patrocínio do Ministério da Aeronáutica e do Ministério de Edu- cação, nem se planejou, pelo menos, a apresentação de um esquema do programa, para ser examinado naquele congresso pelos seus mem- bros, muitos dos quais indiscutivelmente de grande valor e capacidade. Atualmente, planeja-se novo programa, e também não se pensou no Primeiro Congresso de Matemática, realizado na Bahia, em setem- bro de 1955, para apreciar um esquema que a comissão organizadora do programa, deveria prèviamente apresentar. c) Instruções metodológicas, que acompanham os programas, não pormenorizadas, o que causa confusões e interpretações diversas en- tre os professores e às vêzes, entre os próprios autores dos livros di- dáticos. d) Não existência de uma lista dos objetivos específicos da ma- temática na escola secundária, o que prejudica assim a escolha acer- tada da matéria a ser exigida; e) Apresentação desses programas, geralmente, às vésperas do início do ano letivo, o que dificulta o planejamento didático dos pro- fessores e exigindo dos autores de livros e das editoras uma corrida cujos males se refletem nos livros didáticos;

Consiste este problema em como "determinar um critério" que responda as seguintes perguntas : Que fatos específicos da matemática deverão ser ensinados aos alunos da escola secundária, tendo em vista a aquisição de conheci- mentos? Que atitudes, hábitos e habilidades específicas deverão ser fi- xados? Que conceitos específicos deverão ser considerados como funda- mentais? Alguns critérios poderiam ser apontados, para resolução do pro- blema, tais como : 1.a) Um sumário das necessidades sociais. Pelo qual se precisasse o que seria necessário ao aluno aprender, para ser bem sucedido nos cursos, de qualquer ciência, das faculdades ou dos cursos mais adiantados do seu próprio ciclo; que pudesse de- terminar os elementos realmente necessários para os próximos cursos de matemática e quais os conhecimentos matemáticos indispensáveis à formação geral de qualquer cidadão. Este critério peca pelo fato de, até hoje, não existir um adequado sumário que possa servir ao professor secundário. 2.º) O critério do Sistema de Júri. Que consiste na determinação desses objetivos, pelo julgamento realizado por competentes e experimentados professores. Para o su- cesso de sua aplicação é de especial importância que esses professôres- juízes sejam altamente selecionados, poucos e entusiasmados em bem considerar a árdua tarefa de julgar cada um dos muitos itens especí- ficos do currículo. Os prof essores-juízes seriam os da própria comissão.

1. 3 .3 — ESBOÇO DO P R O G R A M A — SUA APRECIAÇÃO

Baseados os objetivos específicos e na sua capacidade e experiên- cia, a comissão faria um esboço do programa, que poderia ser apre- sentado, em linhas gerais, em uma sessão para a qual seriam convi- dados um ou dois professores de Física, Desenho, Química, Ciências e Geografia, a fim de que fossem apontadas pequenas e possíveis mu-

danças necessárias ao bom entrosamento e articulação perfeita dos currículos dessas matérias com a Matemática. Após essa articulação, seria então feita a distribuição da ma- téria pelo tempo disponível com os necessários cortes ou acréscimos necessários. Essa distribuição da matéria pelo tempo disponível deve ser feita de modo meticuloso e com muito cuidado; que além dos feriados a serem descontados nos dias previstos se deixe cerca de 10 % das aulas dadas para feriados eventuais, paredes, greves, doenças do professor e atrasos eventuais dos programas. Não haverá inconveniente em que se fixe um número maior de aulas. Elas nunca serão de mais para que se faça uma melhor fi- xação da aprendizagem. Devemos acabar com esse "tabu" de pro- gramas que são feitos para dificilmente poderem ser executados. Se não há possibilidades de se aumentar o número de aulas da matéria por semana ou o periodo escolar que, então, se reduza a matéria a ser dada. Afirmações de que algumas escolas dão todo o programa não jus- tificam, pois resta saber como são dados; cabe ressaltar, também, que muitos colégios particulares dão atualmente 4 e até 5 aulas se- manais, extraordinariamente. Então, seria elaborado o programa com os respectivos planos de curso de cada série e as respectivas "instruções metodológicas", que deveriam ser minuciosíssimas e claras, a fim de que todos os autores de livros didáticos e professores, principalmente os dos pontos mais afastados da capital do pais, pudessem ter certeza do que deveria ser dado e ser exigido, e dos objetivos dessas exigencias- Concluida essa parte, na capital do país e em outros centros mais adiantados, seriam esses programas distribuídos entre alguns profes- sores ou congregações de algumas escolas e Faculdades de Filosofia, ou apresentados em sessões, reuniões ou congressos que por ventura se realizassem na época, a fim de que as críticas que por ventura te- nham de ser feitas, acompanhadas das correspondentes justificações, por escrito, pudessem ser apreciadas pela comissão.

Só, então, após essa última apreciação, seria apresentado oficial- mente o programa, com tempo suficiente para que o ano letivo não

II) O VALOR E O OBJETIVO DA MATEMÁTICA

NA ESCOLA SECUNDARIA BRASILEIRA

II.1 — Valor e importancia dos estudos da Matemática

na cultura e na vida contemporánea

É incontestável o valor da Matemática. Quer a examinemos do ponto de vista filosófico ou científico, do ponto de vista estético ou religioso; quer a vejamos como ciência pura ou aplicada; quer a consideremos como sendo um valor para a disci- plina mental, como um valor utilitário na vida prática, como urna fonte de verdades eternas, ou como dizia Byron, "o mágico do espirito" — the power of thought, the magic of the mind". Seu valor filosófico é inegável, pois desde os primórdios da civi- lização o pensamento matemático se vem desenvolvendo, contornando a evolução das civilizações, porém sempre fiel à lei Contista da "cons- tância na variedade". como ciência pura, é indiscutível o seu valor, pois constitui a ma- temática a base do progresso científico. Para justificar o valor da matemática, como ciência aplicada, bas- ta citar as palavrs de Kant : "uma ciência só é exata até ao ponto em que ela aplica a Matemática". Seu valor na vida prática ninguém poderá negar. Em nossos dias, simples fórmulas algébricas são encontradas em livros de Mecânica Popular ou de Motores, nos artigos diários sobre rádio ou astronomia, nos manuais sobre planadores para adolescentes, ou em centenas de artigos das enciclopédias populares. Isto para não citar o emprego diário da Aritmética Elementar. como fontes de verdades eternas, ou de treino mental, ou ainda do ponto de vista estético e religioso, encontramos bem formuladas justificativas em um trabalho do professor David Eugene Smith, re- gistrado nos livros do "National Council of Teachers of Mathematics".

Todos êsses valores, porém, convergem para um mesmo ponto, todos eles visam à educação. Podemos, então, dizer que o "valor educa tivo da Matemática" é maravilhoso.

II.2 — Contribuição específica da matemática para

a consecução dos objetivos dos currículos

É ponderável essa contribuição, quer tenhamos em vista os obje- tivos dos currículos do ensino primário, secundário ou superior. Já dissemos do enorme valor educativo da Matemática, façamos agora a distinção entre êsses valores. Vejamos quais os valores edu- cativos diretos e Indiretos, a fim de melhor examinarmos a contribui- ção intrínseca da Matemática nos objetivos dos Currículos. Os valores educativos diretos são aquêles provenientes dos co- nhecimentos matemáticos que tenham utilidade imediata na vida do aluno. Essa medição da participação, na vida prática, dos estudos mate- máticos já realizados, tem sido problema de grande discussão. Em nossa opinião, na escola secundária, é, ainda, a aritmética que apresenta maior quantidade de conhecimentos, que tem, realmente, valor educativo direto. Não resta dúvida de que, na Escola Secundária, certos pontos de- vem ser desprezados em proveito de outros de real valor, mas este problema nao é de fácil solução, pois restaria saber se mesmo êsses assuntos substituíveis nao teriam valor educativo indireto, não seriam elemento base de futuros conhecimentos a serem adquiridos. Sendo a Matemática uma ciência abstrata, proporciona magnífico campo para o desenvolvimento da cultura formal, mas apresenta tam- bém, é inegável, embaraços de ordens diversas. E Judd acentua : "Não há matéria que venha oferecendo maiores dificuldades aos alu- nos do que a Matemática". Concorre para isso, de um lado, o problema da maturidade para aquisição desses conhecimentos, que é, segundo Toeustone, uma das funções básicas, e, do outro lado, a falta do real significado vital de certos assuntos. como estamos vendo, a Matemática não deixa de ser fonte do va- lores educativos, e se há pontos negativos, cabe aos pedagogos axcluS-

E Henri Lebesgue chega a negar o valor propedèutico da Matemá- tica, isto é, o valor na preparação para as Escolas Superiores ou de níveis mais altos. Pois, diz ainda Lebesgue : "nenhum conhecimento é indispensável ao tornar-se alguém estudante de Engenharia". como estamos vendo, mesmo pondo de lado os exageros, não po- demos deixar de verificar que não é grande o valor educativo direto da Matemática no Curso Secundário. Examinemos agora os valores educativos indiretos da Matemática que, na verdade, são os que justificam a- inclusão e importância da Matemática no Currículo do Curso Secundário, e que, segundo as pa- lavras de D. Smith e Jules Tannery no Iivro de Euclides Roxo "A Ma- temática na Educação Secundária", colocam a Matemática acima de tôdas as materias do Ciclo Secundário, pela sua precisão, dedução, ló- gica e generalização e a apontam como a base da educação contem- porânea. Em resumo, podemos dizer que, na Escola Secundária, o maior va- lor da Matemática não está, como se pensa geralmente, na essência de seus conhecimentos, mas, sim, na sua contribuição para a formação de idéia e ideais, hábitos e atitudes, interesses e preferências do edu- cando. O maior valor da Matemática para Escola Secundária está no fato de que aquela preenche suas finalidades, que são : o desenvol- vimento do aluno e o seu ajustamento e adaptação.

E, para nós, nesse estudo, interessa mais saber o processo de al- cançar essas finalidades, o que vamos fazer, examinando os objetivos mediatos e imediatos da Matemática.

II.3 — Objetivos mediatos e imediatos da Matemática

Preliminares — Os objetivos são classificados em mediatos e imediatos. Os imediatos se dividem ainda em particulares e específicos. Os objetivos mediatos são os objetivos gerais de cada matéria e que, evidentemente, não deixam de ser função dos objetivos imediatos, quer os particulares — de cada unidade, quer os específicos — de cada matéria e, portanto, uma "integração dos objetivos particulares".

É claro, que os objetivos mediatos de cada matéria devem guar- dar entre sí relações e dependencias, e que, no conjunto de tôdas as matérias constituam os elementos básicos das finalidades do Curso Secundário.

II.4 — Objetivos mediatos da Matemática

Devem ser previstos, tendo em conta que, do ponto de vista do conteúdo de ensinamentos, deve haver o cuidado de relacionar o seu ensino com as necessidades, objetivos e programas de outras matérias, como Desenho, Ciências, Geografia, Física e Química, muito especial- mente no Curso Secundário. Da Topografia, Descritiva, Geodesia, Mecânica, Técnica de Tiro, Navegação, etc. nas Escolas Superiores, civis ou militares. E serão tanto melhores, conforme sejam os objetivos imediatos.

n.5 — Objetivos imediatos da Matemática

Citaremos os principais objetivos específicos, o que é suficiente, pois será fácil de identificar cada um dêles ou vários como objetivos particulares de cada unidade.

Os objetivos específicos de cada matéria são :

a) Hábitos. b) Habilidades específicas o) Ideais d) Atitudes e) Interesses /) Preferências

Faremos a seguir um exame desses objetivos, tendo em vista aque- les que podem ser obtidos no estudo da matemática. (A relação que apresentaremos poderia e deveria ser melhorada, bastando para isto que uma comissão organizasse essa lista para cada série).

E, fazendo uma comparação interessante, conclui o assunto, di- zendo : "If a pupil understands a few basic notions, his battery is charged, and many roads, along which he may travel far, are open to him". Deve, pois o professor de Matemática nem se deixar levar, entu- siasmado pela beleza da matéria que já teve a facilidade de sentir, para o caráter formal que se costuma dar a essa matéria, nem muito menos passar ao largo dos conceitos fundamentais de cada parte da Matemática, impedindo que várias estradas, que podiam ser percor- ridas por seus alunos, estejam para eles fechadas, pelo fato de não terem sido carregadas suas baterias, por quem, de direito, o deveria fazer.

11.(5 — Síntese dos objetivos do programa oficial

atualmente em vigor

São objetivos do programa do ensino de grau médio :

1. "Desenvolver paulatinamente no aluno a capacidade de jul- gamento e hábito de concisão e rigor na expressão, a intuição a agilidade de ação e de raciocínio e, também, a atenção e a presteza, para compreender, reter e elaborar.
2. Levar o aluno ao dominio racional dos conhecimentos de uti- lidade prática e imediata.
3. Formar no educando hábito de analisar os problemas que se lhe deparam, procurando-os resolver de modo metódico e efi- ciente.
4. Solicitar constantemente o instruendo a fim de não torrá-lo "um mero receptor pasivo de conhecimentos".
5. Dar nos primeiros anos caráter eminentemente prático e in- tuitivo.
6. Procurar, progressivamente, ir despertando no estudante a necessidade da prova, da justificativa da verificação e da de- monstração, até introduzir cuidadosamente o método dedutivo.
7. Não exagerar a idéia de rigor, nem nos anos mais adiantados, a fim de não tornar a matéria fastidiosa e formal a explana-

ção do assunto, afastando assim o aluno do encadeamento das conceitos.

8. Nunca deixar de apelar para a intuição.
9. Procurar dar exata explicação dos termos empregados, vi- sando evitar a memorização pura.
10. Fazer com que os exercícios e os exemplos acompanhem pa- ralelamente as explanações da matéria.
11. Apresentar a matéria na ordem em que se encontra nos programas.
12. Não esquecer que "o ensino não depende da disciplina em si, mas, principalmente, do aluno".
13. Não colocar em primeiro plano o ensinar muito, mas, sim, o lecionar bem.

II.7 — O lugar da Matemática na Educação Secundária

Já vimos da importância da Matemática na vida contemporânea; façamos agora a apreciação da função e do lugar dessa disciplina na Escola Secundária. Nem sempre a Matemática ocupou o lugar que ocupa hoje. A posição atual dessa ciência veio através de um longo e interessante período de evolução. Desde os primeiros passos da Educação Secundária, os ensaios rea- lizados pelas escolas têm sido influenciados pela mudança de idéias e considerações práticas. O lugar ocupado pela Matemática nos pro- gramas tem, em grande parte, refletido esses ideais e condições. Tem havido épocas em que esse "statu quo" tem sido caracterizado por uma relativa estabilidade e proeminência e tem havido outros perío- dos onde a estabilidade, incerteza e depressão têm sido pronunciadas. É impossível, assim, uma real apreciação sobre a posição atual do en- sino da Matemática e de sua exata função, sem traçar primeiro um quadro retratando a evolução dos programas de Matemática. É óbvio que, nesse quadro, deverá constar uma descrição dos dog- mas educacionais predominantes, as considerações práticas quo têm estado em evidência diferentes vêzes e os seus efeitos sobre a posição e o caráter da instrução matemática.

Ill) A TAREFA DO PROFESSOR DE MATEMÁ-

TICA NOS CURSOS DE NIVEL MEDIO

DO BRASIL

III.l — Introdução

Indiscutivelmente a ciência está tomando parte, cada vez mais, em nossa vida quotidiana, e dai a necessidade de cada um de nós pro- cura comprender os princípios básicos da ciência, e para tanto, é imperioso o conhecimento dos princípios básicos da Matemática. É pois, a nosso ver, o ensino desses princípios fundamentais a ta- refa primordial de todo professor de Matemática e, muito particular- mente, do professor brasileiro atual. Essa tarefa de primeiro plano tem maior importância, quando se trata dos primeiros passos. Realmente, se o professor não encaminha bem os primeiros passos, se o aluno que principia acha difícil de mais a Matemática, e desiste de dominá-la, usando, todavia, recursos de "cola", memorização de fórmulas ou outro qualquer que lhe possa ga- rantir sua aprovação, êle só terá aprendido pouca ou nenhuma Mate- mática, como também não saberá de que trata esta matéria ou o que por ela se entende, e, pelo resto de sua vida, esse aluno terá um complexo deinferioridade em relação à ciência dos números, o qual, muitas vêzes, poderá fazê-lo descrer de seu valor. Esta é a principal missão do professor de Matemática : trans- mitir, de modo preciso e não exagerado, os princípios básicos dessa ciência. Todavia, poucos entre nós, cumprem a contento essa incumbên- cia, tão dificil de ser levada a bom termo, devido aos nossos progra- mas e ao nosso espírito de formalismo que domina o ensino da Ma- temática.

O professor Francis D. Murnaghan, catedrático do Matemática do Instituto Tecnologico da Aeronáutica, especialista em Matemática apli- cada e autor de um grande número de livros que contém desde a Álgebra Elementar até o cálculo infinitesimal, e a moderna teoria dos grupos, em conferência pronunciada no 1." Congresso de Articulação de Ensino, disse : "Eu acredito que os programas de nossa instrução matemática das nossas escolas primárias e secundárias são muito lon- gos e muito difíceis e que muito pode ser omitido sem perda' '„ Mais ainda disse êle : "Eu acho que esses programas são gover- nados demais por tradições e não fazem uso suficiente de métodos mais ou menos modernos, que servem para simplificar e unificar as dife- rentes partes da matéria". O professor Murnaghan apresentou ilustrações concretas desse ensino moderno, o qual, apesar de revolucionário, não deixou de mos- trar a um grande número de professores presentes que, mesmo não sendo aconselhável uma adoção rápida desses processos, não deixava de ser um brado de alerta incitando-os, pelo menos, ao estudo do as- sunto para poderem então dar uma apreciação segura sobre essa sugestão. Entretanto, não é só esta a tarefa do professor de Matemática do Curso Secundário. como todos os professores, é êle alguém de quem muito se espera. Suas obrigações não confinam com as paredes da sala de aula, mas vão muito além promovendo o efetivo funcionamento da Escola Se- cundária e mantendo a harmonia de relações entre ela e a comunidade. São também seus afazeres a organização de atividades extra-curri- culares e a participação como conselheiro e guia das atividades dos alunos. Tudo isto sem perder de vista que é seu dever "ensinar efe- tivamente". O ensino da Matemática na Escola Secundária é uma tarefa que, se sèriamente empreendida, exigirá os melhores esforços dos melhores professores. Requer mais do que um perfeito conhecimento da ma- téria, apesar dessa condição ser "sine qua non". Exige uma ampla perspectiva do campo da Matemática, bem como uma exata compreen- são do lugar e da importância que ela ocupa no esquema da formação geral do educando. Demanda habilidade nas técnicas de ensinar cada unidade ou aspecto da matéria, no desenvolvimento de conceitos gerais,