DOE - FM2S, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia de Produção

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Janeiro, 2016

Planejamento de

Experimentos – DOE

Introdução

O planejamento de experimentos (“ Design of Experiments ” – DOE) utiliza a estatística para aperfeiçoar o sistema, de modo a atingir resultados cada vez melhores. É uma ferramenta de grande valia para a aplicação dos fundamentos Lean – Seis Sigma, bastante útil na fase “ Improve ” do roteiro DMAIC.

Uma forma de se aplicar o DOE é utilizar um conjunto de ciclos PDSA: em cada ciclo, se planeja o

experimento (“ Plan ” – P), se realiza o experimento ( “Do ” – D), se estuda o resultado (“ Study ” – S),

buscando compreender os resultados obtidos e tirar conclusões a respeito do funcionamento do sistema,

e se planeja a próxima ação (“ Act ” – A), que pode ser a mudança imediata dos parâmetros operacionais

ou a realização de um novo ciclo de experimentos planejados.

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Introdução – Definição de DOE

“ Um conjunto de abordagens e métodos que visam a aumentar o grau de compreensão e aprendizado sobre sistemas, processos e produtos, sendo adequado para o entendimento de variações, mudanças e interações entre fatores que os constituem ” (LANGLEY et al , 2011).

A ferramenta do planejamento de experimentos que será abordada aqui é o planejamento fatorial, detalhado em profundidade em Box, Hunter e Hunter (2005). Os experimentos planejados por esta metodologia são organizados de modo a permitir que vários fatores sejam estudados simultaneamente, possibilitando a compreensão das interações ou efeitos sinergéticos existentes entre eles (LANGLEY et al , 2011).

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O Fatorial Completo

No método fatorial são realizadas mudanças deliberadas em uma ou mais variáveis de processo (fatores) com o objetivo de observar o efeito destas mudanças em uma ou mais variáveis, chamadas variáveis resposta. Em outras palavras, o usuário “empurrasse” levemente o sistema em várias direções, de modo a observar como ele se comporta. Uma dificuldade comum aos menos experientes é converter a linguagem dos estatísticos em termos que tenham significado para a sua situação real. Tendo isto em vista, o leitor deve manter em mente as seguintes nomenclaturas :

• Os fatores são definidos como as variáveis (causas) cujas influências sobre as variáveis respostas (os efeitos) estão sendo analisadas no experimento. Cada fator apresenta diferentes níveis , as diferentes formas com que o fator se apresenta no estudo. Por sua vez, os níveis recebem um determinado tratamento , a combinação específica de níveis dos fatores que é estudada no experimento.
• A variável resposta , ou simplesmente resposta, é a variável de interesse analisada no experimento (é aquilo que o experimentador mede diretamente). O valor da variável resposta em cada combinação de níveis de fatores é registrado em cada ensaio do experimento. A unidade básica para a qual é atribuído um tratamento e na qual são medidas uma ou mais respostas é a unidade experimental. O experimento pode ser realizado em mais de uma unidade experimental, o que constitui uma replicação , ou pode ser realizado mais de uma vez na mesma unidade operacional, o que constitui uma repetição.

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O Fatorial Completo

Serão estudados aqui experimentos que envolvem uma única variável resposta e um número n de fatores (n é um número qualquer). Como dito, os fatores são as partes do sistema (por exemplo, os parâmetros de ajuste de uma máquina) que podem ser modificadas. A variável resposta será chamada Y, e os n fatores, X 1 , X 2 , ... , Xn. Cada fator terá 2 níveis, + e

-. Pode haver, também, um valor central Yo, que seria, por exemplo, uma condição de operação anterior e o experimentador tenta aperfeiçoar. Todo experimento fatorial será balanceado , o que significa que os níveis de fatores escolhidos são os mesmos em todos os ensaios. Os fatores correspondentes ao valor central possuem níveis correspondentes à média dos níveis escolhidos para cada fator (são pontos médios, centrais). Os fatores são simétricos em relação aos fatores correspondentes ao valor central. Um experimento com estas características será dito um experimento 2 𝑛 Ou seja, n fatores, cada um com dois níveis. O total de ensaios a ser realizado será igual a 𝟐𝒏. Existirá um nível definido como superior, o nível +, e um nível definido como inferior, o nível

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O Fatorial Completo

É importante se destacar que a escolha do que é um nível superior ou inferior é arbitrária e do experimentador. Os níveis podem ser variáveis numéricas ou categóricas. Em um experimento que visa aferir os efeitos das combinações de corantes sobre a cor final de um plástico produzido em uma fábrica, podem ser atribuídos valores numéricos às cores finais, obtidos por uma técnica analítica, ou apenas valores categóricos. O experimentador poderia definir o nível + como a cor preta, o nível – como a cor branca, e o valor central como a cor cinza (ou não definir nenhum valor central). Em outro estudo, que vise aferir os efeitos das ferramentas de corte sobre a presença de riscos em um piso cerâmico produzido em certa fábrica, o nível + poderia ser definido como a ausência de riscos e, o nível -, como a presença de riscos.

Para facilitar o entendimento, é comum a representação dos fatores por letras, A, B, C, ... , e a codificação dos níveis como {+, -}, {0, 1} ou {1, 2}. Um tratamento será qualquer combinação de níveis de fatores.

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O Fatorial Completo – Fundamentação Matemática

Esta seção visa à satisfação dos leitores que busquem compreender a construção teórica do método, e pode ser pulada sem prejuízo da leitura. O leitor deve apenas estar atento às notações A, B e AB, que serão utilizadas para planejar o experimento.

O fatorial é baseado em hipóteses de relações lineares, em curtos intervalos de variação. Suponha um experimento com dois fatores, A e B, e dois níveis, {+, -}. É, portanto, um experimento 2^2 = 4 ensaios a se realizar. O tratamento, que indica os ensaios que devem ser realizados, é: {--, -+, +-, ++} e será obtida uma função resposta da forma:

𝑌 = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐵 + 𝑐𝐴𝐵

Nesta função, “a” é o efeito do fator A, “b” é o efeito do fator B, e “c” é o efeito da interação entre os fatores A e B. É notável que esta função constitui uma aproximação linear, ou seja, uma aproximação matemática para um comportamento de padrão desconhecido. Quanto mais experimentos forem realizados, com níveis cada vez mais refinados, mais precisa será esta aproximação.

A detecção do efeito da interação entre dois fatores é, como já afirmado, o grande diferencial da metodologia DOE. As notações para a interação de dois fatores A e B são: A*B, AxB ou AB.

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O Fatorial Completo – Fundamentação Matemática

a) Em um experimento 2² (4 ensaios):  2 efeitos principais: A e B;  1 interação de 2 fatores: AB;  𝑌 = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐵 + 𝑐𝐴𝐵.

b) Em um experimento 2^3 (8 ensaios):  3 efeitos principais: A, B, C;  3 interações de 2 fatores: AB, AC, BC;  1 interação de 3 fatores: ABC;  𝑌 = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐵 + 𝑐𝐶 + 𝑑𝐴𝐵 + 𝑒𝐴𝐶 + 𝑓𝐵𝐶 + 𝑔𝐴𝐵𝐶.

c) Em um experimento 2^4 (16 ensaios):  4 efeitos principais: A, B, C, D;  6 interações de 2 fatores: AB, AC, AD, BC, BD, CD;  4 interações de 3 fatores: ABC, ABD, ACD, BCD;  1 interação de 4 fatores: ABCD.  𝑌 = 𝑎𝐴 + 𝑏𝐵 + 𝑐𝐶 + 𝑑𝐷 + 𝑒𝐴𝐵 + 𝑓𝐴𝐶 + 𝑔𝐴𝐷 + ℎ𝐵𝐶 + 𝑖𝐵𝐷 + 𝑗𝐶𝐷 + 𝑘𝐴𝐵𝐶 + 𝑙𝐴𝐵𝐷 + 𝑚𝐴𝐶𝐷 + 𝑛𝐵𝐶𝐷 + 𝑜𝐴𝐵𝐶𝐷.

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O Fatorial Completo – Determinando os efeitos

Para encontrar o efeito:

 Toma-se a média aritmética de todos os valores Y de variável resposta para os quais o nível seja +;

 Subtrai-se deste valor a média aritmética de todos os efeitos para os quais o nível seja -;

 O valor obtido é o efeito desejado. Caso a média dos níveis - seja maior que a dos níveis +, o valor encontrado será negativo.

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O Fatorial Completo – Determinando os efeitos

Exemplos:

Efeito de A (“a”): 𝑎 = 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐴 é + 2 − 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐴 é − 2

Efeito de B (“b”): 𝑏 = 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐵 é +^ − 2 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐵 é −

Efeito de AB (“c”): 𝑐 = 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐴𝐵 é +^ − 2 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐴𝐵 é −

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O Fatorial Completo – Determinando os efeitos

Como exemplo , será calculado o nível da interação ABC, chamado pela letra “g”. O método de calcular o efeito é exatamente o mesmo já utilizado:

𝑔 = 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐴𝐵𝐶 é + 4 − 𝑆𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑜𝑠 𝑌 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑖𝑠 𝑜 𝑛í𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝐴𝐵𝐶 é − 4

𝑔 =

𝑌 2 + 𝑌 3 + 𝑌 5 + 𝑌 8 − 𝑌 1 + 𝑌 4 + 𝑌 6 + 𝑌 7

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O Fatorial Completo – Analisando o experimento

Ao fim do experimento, é possível comparar, em um gráfico de Pareto (veja aqui como construir um Pareto utilizando o Microsoft Excel) , a intensidade relativa de cada efeito e qual (ou quais) são de fato significativo(s) para a resposta analisada. O gráfico de Pareto também revela se existe realmente interação entre os fatores.

Para encontrar a combinação de fatores que maximiza o resultado da variável resposta , pode ser feita a avaliação dos resultados obtidos para os níveis, bem como é possível construir diagramas de interação , que permitem uma visualização mais rápida e um maior grau de aprendizagem.

Apesar de aparentar ser um procedimento bastante complexo, a execução e análise do fatorial pode ser bastante otimizada pelo uso de ferramentas computacionais. Será mostrado, a seguir, um estudo de caso real com um guia de como proceder utilizando o Minitab® 17. Este software possui diversos recursos: gera a matriz de experimentos, pode criar uma ordem aleatória para a realização deles, e é capaz de construir gráficos de Pareto, diagramas de interação, fornecer os valores da análise acima e sugerir a melhor receita de fatores ( receita campeã ).

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Estudo de caso em uma planta química

Após estudos levando em conta a teoria do projeto e desenvolvimento de reatores químicos, chegou-se à seguinte configuração para a operação do sistema de reatores:

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Estudo de caso em uma planta química

As condições de processo inicialmente adotadas pela empresa são mostradas no fluxograma: vazão de reciclo Qr = 0 e T = 2ºC. Foi fornecido, também, que a massa específica do fluido é aproximadamente constante em todo o processo, e igual a 800 g/L = 800 kg/ m³.

As reações químicas envolvidas podem ser representadas por:

𝑅𝑒𝑎çã𝑜 1: 2𝐴 → 𝐵 𝑅𝑒𝑎çã𝑜 2: 𝐴 + 𝐵 → 𝐶

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