Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Apostilas de Matemática Básica sobre Fatoração, Resolução de equações, Fórmula de Báskara.
Tipologia: Notas de estudo
1 / 5
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Metas Esta unidade é sobre fatoração de expressões matemáticas.
Objetivos Ao final desta unidade você deve: saber fatorar alguns tipos de expressões matemáticas; saber simplificar alguns quocientes de expressões matemáticas; saber resolver alguns tipos de equações polinomiais.
Uma vez que grandezas podem ser representadas numericamente, fenômenos podem ser traduzidos por expressões matemáticas. Neste momento, muitos problemas de determinação de valores podem ser resolvidos a partir da manipulação da expressão matemática. Um exemplo bem simples desta ideia, visto na unidade 1, é o de determinar quando a temperatura do forno que estava à 200ºC e foi diminuindo 12ºC por minuto, atingiria a temperatura ambiente de 20ºC. Neste caso, vimos que o fenômeno pode ser traduzido matematicamente pela expressão y = 12 x + 200, onde x representa o tempo em minutos e y representa a temperatura em grau Celsius. Assim, resolver o problema é equivalente a resolver a equação 20 = 12 x + 200. No estudo da unidade 4, sobre os números reais e suas operações básicas, soma e produto, vimos que é muito fácil determinar a solução de uma equação do tipo ax + b = c , com a 0, basta fazer x = ( c b )/ a. Uma equação assim se caracteriza por ter a variável incógnita, x , aparecendo sem potência, ou melhor, com potência 1, x = x^1. Desta forma, é comum chamar uma equação do tipo ax + b = c , com a 0, de equação polinomial de grau 1 na variável x , ou mais simplesmente, equação do 1º grau. Agora, quando temos uma equação matemática envolvendo potências da incógnita, nem sempre é tão fácil obter uma solução da equação. Por exemplo, você sabe resolver a seguinte equação, 3 x^5 4 x^4 + x = 35? Equações envolvendo potências de números naturais de uma incógnita dada (digamos x ) são chamadas equações polinomiais ( na variável x ). Vamos ver, nesta unidade, algumas propriedades operacionais que ajudam a lidar com alguns tipos de equações polinomiais.
Quando se fala em fatoração de uma expressão algébrica, isto significa que a expressão deve ser transformada, através de propriedades operacionais, em uma nova expressão que seja definida por um produto. O exemplo mais simples de fatoração é dado pela propriedade distributiva, ab + ac = a ( b + c ). Ela transforma a expressão formada por uma soma, ab + ac , na expressão
a) Para cada figura a seguir, encontre uma expressão algébrica correspondente.
b) Represente a variável a , que simboliza um número desconhecido, como a área de um retângulo. Verifique se esta atividade te ajuda na resolução do desafio proposto.
Atividade 2: Fatore as expressões a) x^2 2 x b) x^2 x c) x^4 x^2 x + 1
d) x^2 + x + 0,25 e) x^2 12 f) x^4 + 26 x^2 + g) mx 2 y m^2 x + 2 my h) 2 m^2 i) x^4 16
j) 4 2 x + 4 x^2 k) 10 x^4 90 x^2 l) a^5 a^3
m) x^2 + y^2 +2 x + 2 y + 2 xy n) 3 a^2 b^2 + 7 a^3 b o) x^2 2 x + 1
Uma aplicação imediata da fatoração de expressões é na simplificação de expressões matemáticas em forma de frações. Um exemplo bem simples é a expressão
um tanto complexa, (^) x (^24) x 2 x^4 1 , que pode ser simplificada através das seguintes
transformações,
1
x x x
x x
x x x
x.
Atividade 3: Simplifique as expressões.
b
c
a
Lembre-se que a área de um retângulo de base a e altura b é dada por ab.
a) (^) a (^23) ^^ a 2 a^3 1 b) 8 4 16 4 8
2 2
x x x
(^) c)
a^2 ab ab
d) xx
(^) e) a ab a a 5 f) x x
x x 2 6
2
3
g) x^ x x
2 2
(^) h) 4 x 2 (^) x i) ( 3 h )^2 9 h
j) (^4) x (^2) ^42 x x ^10 , 25 k) 24 4 4
2
x
x x
Uma aplicação importante da noção de fatoração é na resolução de equações. O produto entre números reais goza da seguinte propriedade: um produto é zero se, e somente se, um de seus fatores é zero. Em linguagem simbólica,
ab = 0 a = 0 ou b = 0. A combinação desta propriedade com a possibilidade de fatoração de expressões matemáticas se transforma numa ótima técnica de resolução de equações. Veja um exemplo. (Observação: é claro que esta última propriedade vale para vários fatores.)
x^3 4 x = 0 x ( x^2 4) = 0 x ( x 2)( x + 2) = 0 x = 0 ou x = 2 ou x = 2.
Ou seja, o conjunto solução da equação x^3 4 x = 0 é S = {2, 0, 2}.
Atividade 4: Utilize a técnica ilustrada para resolver as seguintes equações.
a) ( x 2)( x + 1) = 0 b) x (2 x + 5) = 0 c) x^2 133 x = 0
d) x^2 x = 0 e) x^2 9 = 0 f) x^2 + 4 x + 4 = 0
g) x^2 = 64 h) x^2 + 2 x = 1 i) 2 x^2 = x
j) x^3 = 0 l) x^5 = 0 m) x^2 121 = 0
n) 3 x ( x + 0,1)(0,25 x + 1) = 0 o) x^2 0,09 = 0 p) 2 x^2 8 = 0
Atividade 5: Caro aluno, você acabou de aprender uma técnica bem simples e que pode ser muito útil na resolução de equações polinomiais de grau maior do que 1. Utilize esta técnica para resolver os problemas dados a seguir.
