função afim módulo básico, Notas de estudo de Matemática

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M´odulo de Fun¸c˜ao Afim

No¸c˜oes B´asicas.

9 o^ ano E.F.

Fun¸c˜ao Afim No¸c ˜oes B´asicas.

1 Exerc´ıcios Introdut´orios

Exerc´ıcio 1. Em certa cidade, uma corrida de t ´axi custa R$ 4, 80 a bandeirada, mais R$ 0,40 por quil ometro rodado.ˆ Quanto custa uma corrida de 50 quil ˆometros?

Exerc´ıcio 2. O grau Fahrenheit (s´ımbolo: ◦^ F) e uma es-´ cala de temperatura proposta por Daniel Gabriel Fahre- nheit em 1724. Nesta escala, o ponto de fus ao da˜ ´agua (0◦C) e de 32´ ◦^ F e o ponto de ebuli c¸ ˜ao da agua (100´ ◦C) ´e de de 212◦^ F. Sabendo que a temperatura na escala Fah- renheit e dada por uma fun´ c¸ ˜ao afim da escala Celsius, determine em qual temperatura na escala Celsius ambas assinalam o mesmo valor num´erico?

Exerc´ıcio 3. O custo total, por m ˆes, de um servic¸ o de fotoc opias, com c´ opias do tipo´ A4, consiste de um custo fixo acrescido de um custo vari avel.´ O custo vari avel´ depende, de forma diretamente proporcional, da quan- tidade de p aginas reproduzidas.´ Em um m ˆes em que esse servi c¸ o fez 50000 c opias, seu custo total foi de R$´ 21000, 00; enquanto que em um m es em que fez 20000ˆ c opias, seu custo total foi de R$ 19200, 00. Supondo que o´ custo por p agina seja o mesmo nos meses mencionados,´ determine-o.

Exerc´ıcio 4. Um experimento de Agronomia mostra que a temperatura m ´edia da superf´ıcie do solo t(x), em ◦C, ´e determinada em fun c¸ ˜ao do res´ıduo x de planta e biomassa na superf´ıcie, em g/m^2 , conforme registrado na tabela seguinte.

x[g/m^2 ] 10 20 30 40 50 60 70

t(x)[◦C] 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,

Qual a lei de formac¸ ˜ao da func¸ ˜ao t(x)?

Exerc´ıcio 5. O reservat orio´ A perde ´agua a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservat orio´ B ganha agua a uma taxa constante de 12 litros por hora.´ No gr ´afico, est ˜ao representados, no eixo y, os volumes, em litros, da ´agua contida em cada um dos reservat orios,´ em func¸ ˜ao do tempo, em horas, representado no eixo x. Determine o tempo x 0 , em horas, indicado no gr´afico.

2 Exerc´ıcios de Fixa¸c˜ao

Exerc´ıcio 6. “Em fevereiro, o governo da Cidade do M exico, metr´ opole com uma das maiores frotas de au-´ tom oveis do mundo, passou a oferecer´ a popula` c¸ ˜ao bici- cletas como op c¸ ˜ao de transporte. Por uma anuidade de 24 d olares, os usu´ arios t´ em direito a 30 minutos de uso livreˆ por dia. O ciclista pode retirar em uma esta c¸ ˜ao e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 d ´olares por hora extra.” (Revista Exame. 21 abr. 2010.) A express ao que relaciona o valor˜ f pago pela utiliza c¸ ˜ao da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse per´ıodo ´e:

a) f (x) = 3 x.

b) f (x) = 24.

c) f (x) = 27.

d) f (x) = 3 x + 24.

e) f (x) = 24 x + 3.

Exerc´ıcio 7. Em uma corrida de t axi´ e cobrado um valor´ inicial chamado de a bandeirada, mais uma quantia pro- porcional por quil ˆometro rodado. Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28, 50 e por uma corrida de 5 km paga-se R$ 19, 50. Qual o valor da bandeirada? Exerc´ıcio 8. Duas pessoas combinaram de se encontrar entre 13 h e 14 h, no exato instante em que a posi c¸ ˜ao do ponteiro dos minutos do rel ogio coincidisse com a posi´ c¸ ˜ao do ponteiro das horas. Dessa forma, qual o hor ario que o´ encontro foi marcado? Exerc´ıcio 9. Cl ´audio, gerente capacitado de uma em- presa que produz e vende instrumentos musicais, contra- tou uma consultoria para analisar o sistema de produc¸ ˜ao. Os consultores, ap os um detalhado estudo, conclu´ ´ıram que o custo total de produc¸ ˜ao de x flautas de determinado tipo pode ser expresso pela func¸ ˜ao C(x) = 2400 + 36 x , sendo R$ 2400, 00 o custo fixo. Atualmente a empresa vende 60 flautas daquele tipo por m ˆes, ao pre c¸ o de R$ 120, 00 por unidade. O trabalho da empresa de consul- toria demonstrou, tamb em, que um gasto extra de R$´ 1200, 00 em publicidade provocaria um aumento de 15% no volume atual de vendas das flautas. Na sua opini ao,˜ Cl´audio deveria autorizar o gasto extra em publicidade? Exerc´ıcio 10. Considere tr ˆes pontos distintos A, B e C no plano cartesiano. Mostre que se suas coordenadas satisfazem a equa c¸ ˜ao y = ax + b, ent ao esses pontos est˜ ao˜ alinhados e, em seguida, conclua que o gr afico de uma´ func¸ ˜ao afim ´e sempre uma reta. Exerc´ıcio 11. Uma func¸ ˜ao f definida de R + em R +, crescente, satisfaz a equa c¸ ˜ao f ( 5 x) = 5 f (x) para todo x real n ao-negativo. Se˜ f ( 25 ) = 125, ent ao qual o valor de˜ f ( 1 )?

Exerc´ıcio 17. Se a func¸ ˜ao f : R → R e tal que´

f (x − f (y)) = 1 − x − y,

para quaisquer x e y reais, mostre que f e uma fun´ c¸ ˜ao afim.

Respostas e Solu¸c ˜oes.

1. (Extra´ıdo da V´ıdeo Aula) Observe que o prec¸ o da corrida “P” pode ser dado em fun c¸ ˜ao da quantidade “x” de quil ometros rodados pelaˆ f ´ormula P(x) = 0, 4x + 4, 8.

Como foram rodados 50 quil ometros, basta substituir oˆ x por esse valor obtendo

P(x) = 0, 4x + 4, 8 P( 50 ) = 0, 4 · 50 + 4, 8 = 20 + 4, 8 = 24, 8 reais.

2. Se “ f (x)” e o grau Fahrenheit associado ao grau´ Celsius “x”, podemos concluir que f ( 0 ) = 32 e f ( 100 ) =

212. Substituindo esses valores em f (x) = ax + b teremos

    

32 = a · 0 + b

212 = a · 100 + b,

Resolvendo o sistema, obtemos b = 32 e a = 1, 8. Assim f (x) = 1, 8x + 32. Se f (x) = x temos

f (x) = 1, 8x + 32 x = 1, 8x + 32 0, 8x = − 32 x = − 40 ◦^ C.

Ou seja, − 40 ◦^ C = − 40 ◦^ F.

3. (Extra´ıdo da V´ıdeo Aula) Sendo f (x) = ax + b o prec¸ o pago por x c opias e trans-´ formando as relac¸ ˜oes suprimindo as casas dos milhares, obteremos as seguintes rela c¸ ˜oes f ( 50 ) = 21 e f ( 20 ) = 19, 2 e o seguinte sistema

    

21 = a · 50 + b

19, 2 = a · 20 + b,

Resolvendo o sistema, temos a =

= 0, 06 e b = 18. Por

fim, cada c ´opia custa 6 centavos.

4. (Adaptado da v´ıdeo aula) Observe na tabela que a cada ∆x = 10 unidades h a um´ ∆t = 0, 06. Ent ao, essa˜ e uma fun´ c¸ ˜ao afim com a = 0, 06 10 . Agora para o b basta calcularmos o valor de t( 0 ),

completado a tabela com mais uma varia c¸ ˜ao, s o que no´ sentido oposto.

x[g/m^2 ] 0 10 20

t(x)[◦C] 7, 24 − 0, 06 7, 24 7, 30

Logo, b = 7, 18 e t(x) = 0, 06x + 7, 18.

5. (Extra´ıdo da UERJ − 2014) Na figura, x 0 ´e o momento que os dois reservat orio est´ ao˜ com o mesmo volume “V”. Como A toca no eixo y em 720, ent ao˜ bA = 720 e da interpreta c¸ ˜ao do enunciado aA = −10 ent ao˜ VA(x) = − 10 x + 720. Analogamente, bB = 60 e aB = 12, ent ˜ao VB(x) = 12 x + 60. Queremos o x 0 tal que VA(x 0 ) = VB(x 0 ). Temos ent˜ao

VA(x 0 ) = VB(x 0 ) − 10 x 0 + 720 = 12 x 0 + 60 22 x 0 = 660 x 0 = 30 horas.

6. (Extra´ıdo do ENEM) Temos um valor fixo inicial b = 24 e, quando de utilizam x horas, adicionamos o valor 3x, pois cada hora extra custa a = 3 d olares. Logo, a fun´ c¸ ˜ao ser a´ f (x) = 3 x + 24 e a resposta est´a na letra D. 7. (Extra´ıdo da V´ıdeo Aula) Podemos criar as seguintes rela c¸ ˜oes f ( 8 ) = 28, 50 e f ( 5 ) = 19, 5. Se f (x) = ax + b, podemos escrever o sistema:     

28, 5 = a · 8 + b

19, 5 = a · 5 + b,

Resolvendo-o, obtemos a = 3 e b = 4, 5. Ent ao,˜ a bandeirada custa R$ 4, 50.

8. (Adaptado do vestibular da FGV − 2012) O ponteiro dos minutos se desloca 360◦^ em uma hora, isto e,´

= 6 ◦^ por minuto. Sendo M o deslocamento do pon- teiro grande do rel ogio em´ x minutos, teremos M(x) = 6 x. Para o ponteiro das horas teremos um deslocamento de 360 12

= 30 ◦^ por hora, ou seja,

= 0, 5◦^ por minuto, mas j a se passou uma hora, ent´ ao o ponteiro das horas j˜ a an-´ dou 30◦. Denominando H o deslocamento do ponteiro pequeno em x minutos, chegamos a H(x) = 0, 5x + 30. Queremos saber quando os ponteiros estar ao sobrepostos,˜ isso acontece quando M(x) = H(x), desenvolvendo essa

16. (Adaptado do vestibular da FGV) Definindo C(x) = aC · x + bC e observando o gr afico da´

fun c¸ ˜ao custo, temos que aC =

Sendo assim, para um ∆x = 100, essa func¸ ˜ao ter a um´ ∆C = 400, logo teremos que bC = 2400. Seja R(x) = aR · x + bR a func¸ ˜ao receita, pelo gr ´afico teremos bR = 0 e aR =

a) Sendo assim, o custo fixo ser´a de 2400 reais.

b) A func¸ ˜ao lucro ser´a

L(x) = R(x) − C(x) = 10 x − ( 4 x + 2400 ) = 6 x − 2400.

Para um lucro de 2700 deveremos ter

6 x − 2400 = 2700 6 x = 5100 x = 850 carrinhos.

c) O pre c¸ o de venda ´e de 10 reais e o pre c¸ o de custo de 4 reais, portanto a margem de contribuic¸ ˜ao ´e de 6 reais.

17. (Adaptado da Olimp´ıada da Eslov enia) Substituindoˆ x = 0 e y = 1, temos f (− f ( 1 )) = 0. Para y = − f ( 1 ), teremos

f (x) = f (x − 0 ) = f (x − f (− f ( 1 ))) = 1 − x − (− f ( 1 )) = −x + ( f ( 1 ) + 1 ).

Portando, f e uma fun´ c¸ ˜ao afim com coeficiente angular a = −1 e termo independente b = f ( 1 ) + 1.

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Elaborado por Tiago Miranda e Cleber Assis Produzido por Arquimedes Curso de Ensino [email protected]