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matemática básica para o cálculo integral e diferencial de funções de uma e de várias variáveis reais
Tipologia: Notas de estudo
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Consideremos um triângulo retângulo ABC e seja t um dos seus ângulos agudos.
Figura 1
Relembremos que, sendo 0 < t < π/2, temos
Considerando o inverso de cada uma destas razões definimos a cotangente, secante e
cossecante de ângulos t, 0 < t < π/2, como segue
tg t = b c
(= cateto oposto ÷ cateto adjacente)
cos t = c a
(= cateto adjacente ÷ hipotenusa)
sen t = b a
(= cateto oposto ÷ hipotenusa)
Usando o círculo trigonométrico S^1 , vamos estender as funções cotangente, secante e
cossecante para ângulos e arcos quaisquer, lembrando a função de Euler E(t) definida
anteriormente.
Figura 2
cotg t = c b
tg t
sec t = a c
cos t
cossec t = a b
sen t
Figura 4
Função Cotangente
A função cotangente é a função f real de variável real, que associa a cada t ∈ R,
t ≠ kπ, k ∈ Z, o número f(t) = cotg t:
f: { t ∈ R; t ≠ kπ, k ∈ Z } → R t |−→ f(t) = cotg t
Propriedades da função cotangente
As seguintes propriedades podem ser verificadas facilmente a partir da definição e
da análise no círculo S^1.
1. Imagem
3. Crescimento e decrescimento
A função cotangente é ímpar: cotg (-t) = - cotg t.
Figura 5
5. Periodicidade
Figura 6
Figura 8
Usando a razão de semelhança, segue que
2
, ou seja,
cot cos sen
g t t 1 t
Analisando os sinais de cotg t e de cos sen
t t
nos quatro quadrantes, concluímos que
cotg t = cos sen
t t
, ∀ t ≠ kπ, k ∈ Z.
Dado t ∈ R, t ≠ π 2 + kπ , k ∈ Z, seja P = E(t). Consideremos a reta tangente a S^1
em P e seja S a sua interseção com a reta OA.
Figura 9
Definimos secante de t como sendo a medida algébrica do segmento OS, ou seja, a
abscissa do ponto S no plano cartesiano.
Podemos observar que, para t = π 2 + kπ , k ∈ Z, a reta tangente a S 1 em P é
paralela à reta OA e, portanto, não existe interseção e a secante não está definida.
Função Secante
A função secante é a função f real de variável real, que associa a cada t ∈ R,
t ≠ π 2 + kπ , k ∈ Z, k ∈ Z, o número f(t) = sec t:
f: { t ∈ R; t ≠ π^ π 2
4. Paridade
Figura 11
5. Periodicidade
Gráfico:
Figura 12
As retas t = π^ π 2
Considerando a definição dada para secante de t, podemos mostrar que sec t = 1 cos t
, para t ≠ π^ π 2
P = E(t) = E(π). Logo, sec t = 1 = 1 cos t
ou sec t = -1 = 1 cos t
. Se t ≠ kπ, t ≠ π 2
k ∈ Z, então P = E(t) é diferente de A, B, A’ e B’ e, portanto, temos os triângulos
retângulos semelhantes OPS e OPP 1 ( Figuras 13).
Figura 13
Daí,
1
, ou seja,
sec cos
t 1
t
Analisando os sinais de sec t e de cos t, nos quatro quadrantes, concluímos que
sec t = 1 cos t
, para t ≠ π^ π 2
k π 2
, então P é diferente de A, B, A’ e B’ e, portanto, temos os triângulos retângulos
OCP e O P (^) 2P ( Figuras 15) , que são semelhantes.
Figura 15
Usando a razão de semelhança, segue que
2
, ou seja,
cos sec sen
t 1
t
Analisando os sinais de cossec t e de sen t nos quatro quadrantes, concluímos que
cossec t = 1 sen t
, ∀ t ≠ kπ, k ∈ Z.
