matematica matematica matematica, Exercícios de Matemática

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Cálculo Numérico

Método da Bissecção

• Dada uma função f(x) contínua no intervalo [a,b] onde existe uma raiz única, é possível determinar tal raiz subdividindo sucessivas vezes o intervalo que a contém pelo ponto médio de a e b.
• O método da bissecção é inteiramente baseado no Teorema do Valor Intermediário, ele garante a existência de uma solução para f(x) = 0 no intervalo (a, b) desde que f : [a, b] → R seja contínua e satisfaz f(a)f(b) < 0.
• Consideremos f : [a, b] → R contínua tal que f(a)f(b) < 0. Seja m o ponto médio de [a, b]. Note-se que se f(a)f(m) < 0, então o teorema do valor intermediário garante que a raiz se encontra no intervalo [a, m].

Exemplo:

• Encontre a raiz da equação f(x)=x^3 – 9x +3 utilizando o método da bissecção e as condições: Chute inicial, I=[0,1], e precisão ε =2x10^-3.

Método da posição falsa

• De forma geral, o método consiste na utilização de pares [a,b] de aproximações que englobam a raiz nesse intervalo. Inicialmente devemos inserir no método dois valores de saída, dois parâmetros iniciais: P 0 e P 1. Além disso, temos que analisar o valor de f(P 0 ). f(P 1 ).
• Casos possíveis: I- f(P 0 ). f(P 1 ) = 0 : P 0 e/ou P 1 é raiz da função. II- f(P 0 ). f(P 1 ) < 0 : A raiz da função encontra-se no intervalo [P 0 , P 1 ]. III- f(P 0 ). f(P 1 ) > 0 : Não necessariamente a função possui raiz e, para o Método da Falsa Posição, este caso não é interessante.
• As interações são realizadas da seguinte forma:

Método do Ponto Fixo

• Consiste em transformar esta equação em uma equação equivalente x = ϕ(x) e a partir de uma aproximação inicial x (chute inicial) gerar a sequência {xk} de aproximações para ξ (raiz) pela relação xk+1 = ϕ(xk), pois a função ϕ(x) é tal que f(ξ)=0 se e somente se ϕ(ξ)=ξ. Dessa forma transformamos o problema de encontrar um zero de f(x) no problema de encontrar um ponto fixo de ϕ(x).
• Uma função ϕ(x) que satisfaz a condição acima é chamada de função de iteração para a equação f(x)=0.

Exemplo:

Exemplo:

Método da Secante

• O método das secantes é uma variação do método de Newton, evitando a necessidade de conhecer-se a derivada analítica de f(x). Dada uma função f(x), a ideia é aproximar sua derivada pela razão fundamental:

Mais precisamente, o método de Newton é uma iteração de ponto fixo da forma:

onde x(1) é uma aproximação inicial dada Usando a aproximação da derivada acima, com Temos:

Exemplo:

• Considere a função contínua F(x) = x^3 - 9x + 3. Aplique o método da secante para encontrar uma raiz com precisão melhor do que 5 x 10^-4 (ε =0.0005) usando os pontos x 0 =0 e x 1 =1 como chute inicial.

Referências:

• PILLING, Sergio. Métodos numéricos para encontrar raízes (zeros) de funções reais. Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo – FEAU, São José dos Campos – SP. Disponível em: https://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt2.pdf. Acesso em: 02 de outubro de 2021.
• Método das secantes. REAMAT, 2020. Disponível em: https://tecnoblog.net/247956/referencia-site-abnt- artigos/. Acesso em: 02 de outubro de 2021.
• ANDRADE, Doherty. O método de Newton-Raphson. DMA. Disponível em: http://www.dma.uem.br/kit/calculo- numerico-2/copy_of_kit-newtonraphson.pdf. Acesso em: 02 de outubro de 2021.