Pêndulo simples, Notas de estudo de Engenharia Química

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

FÍSICA 2

BACHAREL EM ENGENHARIA QUÍMICA

VANESSA ELISÂNGELA DE SOUZA CORSINI

PÊNDULO SIMPLES

PONTA GROSSA

VANESSA ELISÂNGELA DE SOUZA CORSINI

PÊNDULO SIMPLES

Trabalho apresentado à Universidade Tecnológica Federal do Paraná como requisito parcial à obtenção do título de bacharel em Engenharia Química.

Prof.: Mario.

PONTA GROSSA

1. INTRODUÇÃO

Um pêndulo simples é um modelo idealizado constituído por um corpo puntiforme suspenso por um fio inextensível de comprimento L e de massa desprezível m. Quando o corpo puntiforme é puxado lateralmente a partir da sua posição de equilíbrio e a seguir libertado, ele oscila em torno da posição de equilíbrio. Algumas situações familiares, como uma bola de demolição presa ao cabo de um guindaste ou uma criança sentada em um balanço podem ser consideradas pêndulos simples. Uma das aplicações dos pêndulos simples é a determinação da aceleração da gravidade.

Figura 1: Exemplo de Pêndulo Simples. ( Fonte: http://www.ufsm.br/gef/Mhs06.htm )

Uma vez que o pêndulo simples é um sistema mecânico caracterizado apenas pelos parâmetros L e m , pode-se investigar como eles afetam o período T de oscilação do pêndulo. Além disso, outro fator que pode afetar o período do pêndulo é a amplitude A de sua oscilação. Esse último fator determina a condição inicial imposta à dinâmica do sistema mecânico, não sendo uma de suas características intrínsecas.

2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

A trajetória do corpo puntiforme (algumas vezes chamado de peso) não é uma linha reta, mas um arco de circunferência de raio L igual ao comprimento do fio. Para que a oscilação seja um movimento harmônico simples é

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necessário que a força restauradora seja diretamente proporcional à distância x ou a θ (porque x=Lθ).

A força restauradora F é o componente tangencial da força resultante:

Fθ = -mg sen θ

A força resultante é fornecida pela gravidade; a tensão T atua meramente para fazer o peso puntiforme se deslocar ao longo de um arco. A força restauradora não é proporcional a θ , mas sim a sen θ; logo, o movimento não é harmônico simples. Contudo, quando o ângulo θ é pequeno, sen θ é aproximadamente igual ao ângulo θ em radianos. Por exemplo, quando θ = 0, rad (aproximadamente igual a 6º), sen θ = 0,998, uma diferença de apenas 0,2%. Com essa aproximação, escreve-se a equação na forma:

Fθ = -mgθ = -mg(x/L) ou

Fθ = -(mg/L) x

A força restauradora é então proporcional à coordenada para pequenos deslocamentos, e a constante da força é dada por k = mg/L. A frequência angular ω de um pêndulo simples com altitude pequena é dada por:

ω = (√k/m) = (√(mg/L)/m) = (√g/L)

A frequência e o período correspondentes são dados por:

f = ω/2π = 1/2π √g/L

T = 2π/ω = 1/f = 2π √L/g

Em pequenas oscilações, o período de um pêndulo simples para um valor dado de g é determinado exclusivamente pelo seu comprimento.

No caso de amplitudes não muito pequenas, o pêndulo se torna um oscilador não harmônico, a força restauradora não é mais proporcional ao deslocamento medido a partir da posição de equilíbrio (x = 0) e o período passa a depender da amplitude. Quando a amplitude é muito menor que o comprimento do fio, o período do pêndulo simples independe da amplitude do movimento porque a força de restituição que atua sobre a partícula pode ser considerada proporcional a θ , o ângulo entre o fio e a vertical. No caso em que a amplitude não é tão pequena, deve-se levar em conta que a força de restituição não é proporcional a θ , mas a sen θ. E como sen θ < θ (se θ é diferente de zero), a força de restituição, nesse caso, é menor do que no caso anterior, qualquer que seja a posição da partícula e, portanto, também a sua aceleração é menor. Assim, a partícula demora mais tempo para completar uma oscilação e o período é maior.

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T1 7,78 s 9,81 s 12,68s T2 8,20 s 9,79 s 12,59s T3 7,24 s 9,44 s 12,77s T4 7,73 s 9,97 s 12,64s T5 7,46 s 9,72 s 13,90s T6 7,41 s 9,98 s 13,10s T7 7,88 s 10,18s 13,81s T8 7,56 s 10,50s 12,25s T9 7,51 s 10,19s 13,23s T10 7,40 s 10,36s 13,57s MÉDIA ARIT. 7,64 s 9,99 s 13,02s

• T indica o período das realizações da cronometragem de 10 oscilações.

Ao encontrar a média aritmética do tempo em função do comprimento da linha, pode-se encontrar a gravidade do local através da fórmula:

T = 2π √L/g

onde T é o período de tempo do movimento, L é o comprimento da linha, e g a gravidade que queremos encontrar.

▲ Fazendo: T = 2π √L/g para L=10: 7,64 = 2π √10/g

g = 9,32 x 10 -2^ m/s 2

▲ Fazendo: T = 2π √L/g para L=20: 9,99 = 2π √20/g g = 7,90 x 10 -2^ m/s 2

▲ Fazendo: T = 2π √L/g para L=40: 13,02= 2π √40/g g = 6,75 x 10-2^ m/s 2

Tabela da gravidade do local nos diferentes comprimentos da linha do pêndulo simples:

10 cm 20 cm 40 cm Gravidade 9,32 x 10 -2^ m/s^2 7,90 x 10 -2^ m/s 2 6,75 x 10 -2^ m/s 2

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Gráfico da medida da linha (em cm) em função do tempo médio (em s) levado por 10 oscilações:

Foi apresentado um desvio padrão no experimento no valor de 13,032s.

4. CONSIDERAÇÕES FINAIS

A partir do experimento realizado com o pêndulo simples, em condições ideais, (sem a interferência de forças externas) podemos verificar que a aceleração da gravidade atua em toda parte e preserva suas características básicas onde quer que aplicadas.

5. REFERÊNCIAS

[1] SEARS, F. W.; ZEMANSKY, M. W.; YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A.

Física 2. 12ª ed. São Paulo, SP: Pearson Addison Wesley, 2008.pag. 52-54.

[2] RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Física. 4ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 1984.

[3] http://www.uel.br/cce/fisica/docentes/dari/d3_atividade10_db6ace9f.pdf / acesso em 02 de maio de 2011.

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