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Resumo
Por meio de um suporte fixo na parede laboratorial, buscou-se a experimentação que correspondesse a um sistema de um pêndulo simples. Assim, por meio de variadas repetições, as quais foram feitas com comprimentos de fio, massas pendulares e ângulos distintos; tiveram-se, como resultados, dados suficientes para interpretar o campo de atuação de cada uma das variáveis citadas acima no tempo de oscilação do pêndulo (período). Para serem feitos os critérios anteriores, foram elaborados gráficos e utilizados conceitos físicos e matemáticos.
Entendido como constantes e variáveis atuam na influência do período pendular, elaborou-se, por meio de cálculos físicos, a equação que exibi a proporcionalidade existente entre o comprimento do fio e o tempo de oscilação. Finalmente, com uso dessa equação, foi possível determinar o módulo da aceleração da gravidade (com seu respectivo desvio) exercida no local e na hora que o experimento foi realizado.
1. Objetivos[1]
- Verificação experimental da dependência da massa (m) e do ângulo inicial de liberação (өo ) do corpo pendular no período da oscilação;
- Obtenção da relação matemática entre o período de oscilação (T) e o comprimento do fio (L) de um pêndulo simples;
- Determinação da aceleração gravitacional (g).
Movimento harmônico simples (MHS)
Para a compreensão do pêndulo físico, é necessário ter-se uma base sobre a teoria do movimento harmônico simples. Para início do entendimento, tem-se a figura 4.1.
Figura 4.1- Representação da posição da partícula em diferentes momentos do MHS.
Através da figura 4.1, pode-se observar que o pêndulo oscila descrevendo uma função (deslocamento x tempo) que atinge seu valor de imagem máximo e mínimo em instantes que se repetem periodicamente. Assim, por inferência, pode-se supor que a função cosseno(ou seno) pode representar o deslocamento do pêndulo em diferentes instantes de tempo(como observado na figura 4.2):
Figura 4.2- Gráfico da função (deslocamento x tempo) de um pêndulo simples
Logo, define-se o movimento harmônico (ou periódico) como o movimento que se repete em intervalos regulares de tempo.
Voltando à figura 4.1, pode-se inferir a fórmula do movimento harmônico simples, a qual o deslocamento do corpo é dado por uma função senoidal do tempo. Assim, tem-se a equação:
Ө(t)=A*sen(ῳt+ϕ)- equação 4.1.
O ө representa o ângulo descrito em função do tempo; o A é a amplitude do movimento (medida da magnitude da oscilação); o termo dependente do tempo (ῳt+ϕ) é chamado de fase do movimento, onde ϕ é a constante de fase (depende do deslocamento e velocidade do movimento no instante t=0) e ῳ é denominado frequência angular (número de oscilações realizadas em determinado tempo).
Conhecida a equação 4.1, pode-se por derivação encontrar-se a fórmula da velocidade do MHS e, derivando novamente, encontrar-se a equação da aceleração do movimento. Observe as equações 4.2 e 4.3:
=ῳAcos(ῳt+ϕ)- equação 4.2.
=-ῳ^2 Asen(ῳt+ϕ)- equação 4.3.
Obtida a equação 4.3, podemos observar o sinal negativo na equação da aceleração, assim, conclui-se que ela é proporcional ao negativo do deslocamento, e as duas grandezas estão relacionadas pelo quadrado da frequência angular.
Se a aceleração acima fosse posta em termos da segunda Lei de Newton, verificar-se-ia que a força é negativa em relação ao deslocamento, ou seja, ela é uma força restauradora, assim como a existente na Lei de Hooke:
F=-kx
Assim, encontrada a natureza da força atuante no movimento, pode-se finalmente definir o MHS como o movimento executado por uma partícula sujeita a uma força proporcional ao deslocamento da partícula e de sinal oposto.
Pêndulo simples
Figura 4.4- Análise vetorial das forças existentes no pêndulo simples.
Para as componentes decompostas vetorialmente da força peso, fez-se, utilizando-se os princípios da geometria analítica, as equações abaixo:
P (^) x (direção tangencial)=Psenө=mgsenө - equação 4.4.
P (^) y (direção radiall)=Pcosө=mgcosө - equação 4.5.
Aplicando a segunda Lei de Newton (que diz que a aceleração de um corpo em movimento é diretamente proporcional a resultante das forças que atua sobre ele e inversamente proporcional a sua massa) juntamente com a equação 4.4 tem-se para direção tangencial:
Utilizando a equação 4.4 para a substituição da componente tangencial do peso tem-se:
Eliminando o termo comum e aplicando o conceito que a aceleração é a taxa de variação (derivada) da velocidade em relação ao tempo, tem-se:
- – equação 4.6.
Por definição, sabe-se que a velocidade tangencial pode ser obtida pelo produto da velocidade angular e o raio, que, nesse caso, é o comprimento L do fio do pêndulo. Assim:
vî = ῳ*R (R=L)
vî = ῳ*L
Derivando a equação acima em relação ao tempo, obtém-se:
Pensando que a velocidade angular é a derivada de ө, pode-se ainda reescrever-se a equação acima na forma abaixo:
Substituindo a equação 4.7 na 4.6, obtém-se a igualdade:
Por propriedades trigonométricas, sabe-se que senө tende a zero quando o ângulo também tende a esse valor. Logo, afirma-se que quando se adota um valor pequeno de seno, o valor do ângulo também é pequeno. Assim fez para transformar a equação acima na forma abaixo:
Reescrevendo a equação acima tem-se:
Substituindo o termo comum da equação 4.3 na 4.8, tem-se a igualdade:
Valendo-se da equação 4.1, substituindo o termo A*sen(ῳt+ϕ) da equação acima por ө, tem-se:
Dividindo a igualdade por ө:
Sabendo que ῳ=, tem-se:
²=
Isolando T, obtém-se a equação do período do pêndulo simples:
Formas e/ou Equações
- para obter os desvios das grandezas mensuradas: - (^) Uma única medida: O desvio nesse caso é denominado de incerteza, é normalmente é dada pela metade da menor divisão do instrumento de medida (regra do fabricante). No caso de ter outros tipos de influência, como o de paralaxe, acrescentar a respectiva quantidade. Também deve-se observar a informação do fabricante, se este informa o desvio que deverá ser utilizado.
De maneira prática, desvio de uma grandeza para uma única medida: Geralmente a informação vem contida no aparelho como um desvio padronizado, senão, é dado pela equação abaixo:
- Várias medidas: O valor da medida será a média da quantidade medida várias vezes:
- Fórmula 4.1.
Onde x é a grandeza medida, e n o número de medidas. E, o desvio padrão é dado pela equação:
- Fórmula 4.2.
- Medidas Indiretas: Quando se trata de equações que envolvem somente multiplicação ou divisão, aplica-se logaritmo neperiano na equação e usa-se a definição:
Leva-se em conta que devido a teoria de propagação de erros todo sinal negativo passa a ser positivo.
Exemplo: Considerando uma equação qualquer que envolve multiplicação e divisão:
Aplicando a definição:
Observe que uma constante possui valor fixo e ,por isso , desvio nulo:
Deve-se ressaltar que o número de casas decimais é definido pela regra do primeiro-não nulo: Considera-se até o primeiro algarismo não nulo do desvio, assim torna-se necessário fazer as corretas aproximações.
Ex: (1,3659±0,197)m (1,4±0,2)m Outro cuidado na representação é que se o desvio for representado em grandezas múltiplas de 100, 1000 ou acima, deve-se colocar em notação científica, ambos os desvios e os valores das grandezas, mantendo somente um dígito entre os parênteses. Ex: (1230±10) (123±1)10 ¹.
5- Materiais Utilizados[1]^ :
1 – Suporte em forma de “L” acoplado na parede;
2- objeto(massa) a ser suspendo(preferência para um cilíndrico metálico);
3- trena (Vonder) com precisão de ±0,05cm;
4 – transferidor (Econômico) com desvio de ±0,5º;
5 – balança analítica (BEL engineering) com precisão de ±0,01g.;
6 – fita adesiva;
7 – Fio inextensível;
8 - um cronômetro digital (Tenlon) com precisão de ±0,01s;
As representações dos itens estão expostas nas figuras 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.7 e 5.8.
Figura 5.4- Item 4.
Figura 5.5- Item 5.
Figura 5.6- Item 6.
Figura 5.7- Item 7.
Figura 5.8- Item 8.
6- Descrição do experimento[1]^.
- Adotou-se um pedaço de fio com aproximadamente 2m de comprimento;
- Determinou-se e anotou-se a massa do corpo cilíndrico na balança digital;
- Prendeu-se uma das extremidades do fio à massa já pesada.
- Pré-determinaram-se as medidas de comprimento do fio (vistas nas tabelas 7.1, 7.2 e 7.3) que seriam utilizadas por cada grupo em experimentos
L (cm) t 1 (s) t 2 (s) t 3 (s) t 4 (s) 10.00±0.05 6.75±0.01 6.72±0.01 6.78±0.01 6.75±0. 50.00±0.05 14.06±0.01 14.03±0.01 14.09±0.01 14.07±0. 100.00±0.05 19.88±0.01 20.04±0.01 20.18±0.01 20.19±0. 110.00±0.05 20.82±0.01 20.94±0.01 21.03±0.01 20.94±0. 150.00±0.05 24.65±0.01 24.60±0.01 24.50±0.01 24.62±0. M (massa do corpo pendular) = 10 -3Kg
ө (ângulo adotado) = º
Tabela 7.2- Equipe 2: Tabela de dados obtidos experimentalmente com os seus respectivos desvios- L(cm) é o comprimento do fio, ti (s) os tempos medidos para 10 períodos.
L (cm) t 1 (s) t 2 (s) t 3 (s) t 4 (s) 20.00±0.05 8.75±0.01 8.91±0.01 8.81±0.01 9.06±0. 60.00±0.05 15.22±0.01 15.29±0.01 15.19±0.01 15.16±0. 100.00±0.05 19.81±0.01 19.97±0.01 19.78±0.01 19.81±0. 120.00±0.05 21.94±0.01 21.78±0.01 21.85±0.01 21.81±0. 160.00±0.05 25.16±0.01 25.40±0.01 25.15±0.01 25.06±0. M (massa do corpo pendular) = 10 -3Kg
ө (ângulo adotado) = º
Tabela 7.3- Equipe 3: Tabela de dados obtidos experimentalmente com os seus respectivos desvios- L(cm) é o comprimento do fio, ti (s) os tempos medidos para 10 períodos.
L (cm) t 1 (s) t 2 (s) t 3 (s) t 4 (s) 30.00±0.05 11.03±0.01 11.09±0.01 11.03±0.01 11.07±0. 70.00±0.05 16.72±0.01 16.73±0.01 16.72±0.01 16.81±0. 100.00±0.05 19.69±0.01 19.69±0.01 19.63±0.01 19.72±0. 130.00±0.05 22.47±0.01 22.55±0.01 22.47±0.01 22.47±0. 170.00±0.05 25.60±0.01 25.66±0.01 25.66±0.01 25.66±0. M (massa do corpo pendular) = 10 -3Kg
ө (ângulo adotado) = º
8- Interpretação dos resultados:
Tendo os resultados dos tempos de oscilação para 10 períodos, calcularam-se os tempos médios (Fórmula 4.1) e seus respectivos desvios(Fórmula 4.2). Em
seguida, dividiu-se o tempo médio por 10 para encontrar-se o valor do período médio. Para o desvio do período médio fez-se:
T (^) m=t (^) m/
Aplicando a logaritmo neperiano e a definição já vista, tem-se:
ln T (^) m=ln t (^) m - ln
Repara-se a mudança de sinal do termo negativo da equação acima. Esse fato dá-se pela teoria da propagação de erros, que prega que um desvio tende a se propagar sempre, por isso deve ser adicionado. Além disso, sabe-se que o desvio da constante é nulo. Assim, remontando a equação.
=Tm ()
Como tm =Tm *10, substituindo, encontra-se a equação do desvio do período médio:
=
Agora, torna-se seguro os cálculos do período médio e seu respectivo desvio, exibidos nas tabelas 8.1, 8.2 e 8.3.
Tabela 8.1- Equipe 1- Dados referentes ao tempo médio e dos períodos médios com seus desvios.
tm (s) T (^) m(s) 6.75±0.02 0.675±0. 14.06±0.03 1.406±0. 20.1±0.1 2.01±0. 20.93±0.09 2.093±0. 24.59±0.07 2.459±0.
Tabela 8.2- Equipe 2- Dados referentes ao tempo médio e dos períodos médios com seus desvios.
tm (s) T (^) m(s) 8.9±0.1 0.89±0. 15.22±0.06 1.522±0. 19.84±0.09 1.984±0.
Como haviam 3 medidas mensuradas em (100.00±0.05)cm, fez-se uma média utilizando a fórmula 4.1 e tirou-se seu desvio pelo raciocínio abaixo:
Tm =
T (^) m==1.987333...s
Aplicando-se ln e sua propriedade, juntamente com a teoria de propagação de erros e sabendo que o desvio de 3 é nulo:
=0.02s
Tendo a tabela 8.4 vários pares relacionados entre o período médio (T (^) m) e o comprimento do fio (L), tornou-se viável e seguro a confecção de gráficos para uma melhor visualização dos dados dispostos pelo experimento. Primeiramente, confeccionou-se um gráfico T (^) m x L milimétrico, o qual é representado abaixo:
Figura 8.1- Gráfico milimetrado Tm (s) x L(m)
Pela figura 8.1, não se pode afirmar com certeza qual é a relação entreTm e L.
Assim, torna-se prudente realizar a confecção do gráfico nos eixos di-log. Sabe-se que há uma relação entre o período médio e o comprimento (^) (T (^) m L). Transformando a proporcionalidade em uma equação tem-se:
Aplicando logaritmo em ambos os lados da equação:
- equação 8.
Portanto, “n” será o coeficiente angular do gráfico.Assim foi feito a figura 8.2:
