Experimento I Pêndulo Simples, Notas de estudo de Física

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LABORATÓRIO DE FÍSICA II

1ª EXPERIÊNCIA (2009/2)

PÊNDULO SIMPLES

Manaus

ADELINA DA SILVA ARAUJO – 20900008

NINIV MENDONÇA ANDRADE SOUSA – 20901596

ADALBERTO GOMES DE MIRANDA – 20900063

JOSUÉ AUGUSTO FERREIRA DE SOUZA - 20900302

MICHAEL YOSHII COSTA – 20903799

LABORATÓRIO DE FÍSICA II

1ª EXPERIÊNCIA (2009/2)

PÊNDULO SIMPLES

Trabalho apresentado ao Curso

de Licenciatura em Física, como

instrumento parcial de avaliação

da disciplina Laboratório de Física

II, solicitado pela Professora

Querem.

Manaus

SUMÁRIO

Na oscilação em torno de sua posição de equilíbrio “ O” , desprezando-se as resitências, o pêndulo simples realiza um movimento períódico. É um movimento em forma de arco de circunferência. O fenômeno é periódico porque se repete identicamente em intervalos de tempo iguais e o período “ T ” é o menor intervalo de tempo para essa repetição do fenômeno.

• (^) nas pequenas oscilações, de abertura não superior a 10º, a esfera pendular realiza movimento harmônico simples (MHS).
• o período do MHS é dado por: , onde “ ℓ” é o comprimento do fio e “g” é a aceleração local da gravidade.
• o movimento periódico do pêndulo forma um ângulo Ф.
• A componente do peso “P ” é a força de restauração do movimento periódico, pela ação realizada na partícula (corpo) de modo a trazê-lo de volta posição de equilíbrio no centro.

A equação do período acima descrita pode ser encontrada pela dedução a seguir, sabendo que: sendo, temos:

• k é uma constante de elasticiade para cálculo do período tirada de F = - kx.

Nessa dedução observa-se que o período do pêndulo simples não depende da massa “m” da esfera, por isso fica:

Energia encontrada no MHS:

• energia mecânica dividida em duas partes: cinética “ E (^) c ” e potencial “ E (^) p ”.
• Energia cinética “ E (^) c ” está associada com a velocidade do ponto material, dada pela equação:
• energia potencial “ E (^) p ” está associada com a posição “ x” do ponto material, dada pela equação:
• no MHS as energias cinética e potencial variam, de acordo com a variação das velocidade “ v” e da posição “ x ” do ponto material.
• a soma das energias “ E (^) c” e “ E (^) p ” é a energia mecânica “ E (^) mec ”:
• a energia mecânica permanece constante, supondo que as forças dissipativas no MHS sejam inexistentes.

Para qualquer valor de Ф a expressão da energia “ E ” do pêndulo simples é descrita como: (2.1)

No ponto de inversão do movimento, a velocidade angular ( ω ) é nula e o ângulo é máximo (Ф m ), nesta situação podemos expressar a energia como: E= mgℓ (1- cos Ф (^) m ).

Portanto, temos da Eq. (2.1), a seguinte expressão:

• sendo , então o período poderá ser obtido por
• fazendo a integral elíptica K de primeira ordem completa, fica
• com o desenvolvimento da série para K (k), obtemos
• considerando somente o primeiro e o segund o termo, temos:

Para pequenos valores do ângulo, ou seja Ф (^) m ≤ 10º , temos

3. Parte Experimental

3.1. Material Necessário:

• Uma esfera de D = 25,4mm;
• Uma barreira de luz com cronômetro digital;
• Uma haste quadrada de 1250mm;
• Uma régua milimetrada de 1000mm com dois cursores;
• Uma haste redonda;
• Um porta placa;
• Um fio de 1500mm;
• Um transferidor;
• Dois tripés; e
• Quatro grampos duplos.

2. Obtenha o período de uma oscilação da esfera usando o terceiro comando do cronômetro digital 1. Repita esta medida 3 vezes e tire uma média 2.

• Manualmente foi movimentado o pêndulo simples, afastando a esfera até o ângulo Ф = 5º, do fio com o transferidor, solta a esfera que oscilou pelo feixe de luz na barreira de luz e registrado os valores de 1/2 período conforme tabela abaixo, (usando o S.I.):

Período“T” (s) P/ x (^) 1=0,5m e Ф=5º Resultados T 1 0,720 X 2 1, T 2 0,716 X 2 1, T 3 0,714 X 2 1, Média “T (^) méd” 0,717 X 2 1,

3. Repita este procedimento para os seguintes comprimentos: 600, 700, 800 e 900mm (usando o S.I., os valores de x em metro conforme tabela abaixo).

• As alturas foram reguladas de 600, 700 e 800mm, para o ângulo Ф=5º, entretanto a altura da haste não permitiu que o transferidor junto com o porta placa chegasse aos 900mm, por este motivo a última altura não foi medida.

Período “T” (s) p/x (^) 2=0,5m p/x3=0,7m p/x (^) 4=0,8m T 1 0,795 0,870 0, T 2 0,792 0,872 0, T 3 0,798 0,871 0, Média “T (^) méd” ( x2) 1,590 1,742 1,

4.3. Tratamento de Dados

1. Construa uma tabela com seus resultados (comprimento e período), usando o Sistema Internacional.

Período “T” (s) p/x1=0,5m p/x2=0,6m p/x (^) 3=0,7m p/x4=0,8m “T (^) méd ” (X2) 0,717 0,795 0,871 0, Média “T (^) méd ” 1,434 1,590 1,742 1,

2. construa o gráfico em escala logarítmica: T= f(ℓ).

• Ver gráfico I em anexo em papel milimetrado, onde, para cada período ( log T ) foi usado intervalos de 0,05m e para cada comprimento ( log ℓ ) foi usado intervalos de 0,05m.

3. Use a regressão linear e obtenha a função períodoXcomprimento.

• Como o logarítmo do período permite um produto de log em função de (2 π/ g. ℓ), temos:

, onde log T = log 2 π / g + log ℓ e,

log T = log 2 π / g + 1 log ℓ então, Y= A + BX 2 Y A B X

• De acordo com o gráfico obtido, o valor do A é aproximadamente 0,332 s.
• (^) Assim calculamos a gravidade: A = log 2 π / g :. 2 π / g = 10 A^ :.

g = 2 x 10 -A^ :. g = ( 2 π 10 -A^ )²

• Lembrando que A = 0,332 s, então, g = 8,557 ≈ 8,56m/s²
  4. Verifique se a função obtida coincide com a função esperada teoricamente, veja Eq. (2.3), e a partir desta obtenha o valor de g.
• Ao verificar a função obtida no item anterior e de acordo com o valor de A no gráfico (log T x log L), calculamos a aceleração da gravidade g=8,56m/s².
• A função logarítimica foi utilizada de acordo com a Eq. (2.3) na forma a seguir:

e desta maneira é que há uma coincidência da função esperada.

5. Compare o valor da aceleração da gravidade obtido, com o valor adotado, g=9,8m/s 2.

• Na comparação de valores observamos que a aceleração da gravidade adotada de 9,81m/s² com a aceleração da gravidade obtida de g=8,56m/s², tem uma aproximação relativa, de 1,2m/s² e o desvio foi de 1,1m/s². 5. Experimento 2 5.1. Objetivo Determinar o período como uma função angular e através desta obter a aceleração da gravidade.

5.2. Procedimento Experimental

1. Utilize a montagem do experimento com o transferidor 2. Fixe o fio ao comprimento de 500mm.

• (^) Realizados as regulagens do transferidor e porta placa, mais a fixação do fio e centralização da esfera e respectivo alinhamento com o feixe de luz da barreira de luz, para x=500mm.

2. Para o ângulo de 10º, obtenha o período usando o terceiro comando do cronômetro digital 3. Repita este procedimento 3 vezes e tire a média.

• Manualmente foi movimentado o pêndulo simples, afastando a esfera até o ângulo Ф = 10º, do fio com o transferidor, solta a esfera que oscilou pelo feixe de luz na barreira de luz e registrado os valores de 1/2 período conforme tabela abaixo:

5. Use a regressão linear no 2º gráfico e encontre a sua respectiva função.

• Regressão linear do 2º gráfico e resultados obtidos para a função:

6. Verifique se a função obtida T X sin² α/2 , coincide com a função esperada teoricamente, veja Eq. (2.2). Compare estas funções e obtenha o valor de g.

• Verificação das funções e comparação de valores: 6. Questões:

1. Faça um comentário sobre a influência da variação angular no pêndulo simples em cada experiência. Resposta :

• Para a 1ª experiência, tendo em vista que foi usado um ângulo Ф =5º e considerando que nas pequenas oscilações e a abertura não tenha sido acima de 10º, é claro que a esfera pendular realizou um movimento harmônico simples. Nas oscilações períodosxcomprimentos os valores se mantiveram aproximados uns dos outros e o MHS foi de forma linear devido a trajetória retilínea.
• Para a 2ª experiência, as variações angulares superaram o ângulo Ф =10º , alternando até o ângulo Ф=50º , mantendo-se o comprimento de 500mm, e apresentando valores de períodos na média de T=1,470 s.

2. Compare o valor da aceleração da gravidade, obtidos nas duas experiências e verifique qual obteve melhor precisão. Comente as possíveis fontes de erros. Resposta :

• Para a 1ª experiência, onde ângulo Ф=5º foi de fundamental importância nas oscilações e velocidade com que o pêndulo passou pela origem , períodosxcomprimentos, e os valores de 0,944 s e 800mm (0,8m), respectivamente, apresentaram os resultados para a aceleração da gravidade local baixos comparados com a aceleração da gravidade terrestre de g=9,81m/s 2 , pelos cálculos utilizando a Eq. 2.3, tiveram a nova aceleração da gravidade local de

aproximadamente g= 8,56m/s^2 , porque a cada vez que aumentamos o comprimento do fio e da esfera para um ângulo abaixo de 5º.

• Para a 2ª experiência, a partir do ângulo Ф=10º , alternando até o ângulo Ф =50º , mantendo-se o comprimento de 500mm (0,5m), os valores dos períodos na média de T=1,450s, mostra que a aceleração da gravidade local se aproxima da terrestre em relação ao da 1ª experiência.
• Os erros encontrados está na medida da altura do pêndulo e na partícula (esfera?) presa a extremidade do fio. E possivelmente, o aparelho não esteja bem centralizado. 3. Quais das duas experiências descrevem um movimento harmônico simples? Justifique. Resposta :
• a 1ª experiência é a mais adequada pois descreve um MHS, devido ter um ângulo abaixo de 10º e apresentar oscilações de forma retilínea ou seja, linear, mostrando que como o ângulo de abertura foi pequeno, o arco de abertura manteve as forças resultantes em equilíbrio com o ponto “O” e neste caso ocorreu uma força de restauração do sistema.

4. Explique em quais condições um pêndulo pode ser usado como um relógio. Resposta :

• o pêndulo simples poderá ser usado como um relógio quando seu sistema estiver regulado para as condições da aceleração da gravidade terrestre, ser calibrado em seu comprimento e manter os períodos de oscilações corretos para o local onde for utilizado, de preferência em local fechado onde as resultantes das forças externas sejam nulas.

CONCLUSÃO

A experiência com pêndulo simples, nos mostra que o sistema deve funcionar com todos os seus componentes em perfeitas condições de utilização, bem equilibrado, alinhado e aferido com o propósito de que este, possa fornecer resultados precisos. E para elucidar as afirmações acima, cita-se como exemplo: o relógio de pêndulo que para movimentar as engrenagem e fornecer os segundos, minutos e horários exatos, sem atrazar ou adiantar, requer que esteja bem equilibrado e protegido em local fechado para evitar a ação de forças externas. No funcionamento do pêndulo simples da 1ª experiência, a abertura do ângulo em 5º, para comprimentos entre 0,5m a 0,8m, forneceram valores de ½ período a cada oscilação compatíveis às médias calculadas e representadas no gráfico I, em anexo, onde a reta, comprovou o melhor desempenho do equipamento, em MHS e de forma linear, o que é previsto para oscilações pendulares que tenham abertura angular menores ou iguais a 10º. Utilizando a escala logarítimica nos T (s) x L (m), observamos através deste gráfico, que o fenômeno realmente é periódico, visto que as repetições dos intervalos de tempo seguiram sequências iguais. Para a aceleração da gravidade obtida e comparada com a adotada de 9,81m/s², mostrou que seu resultado de 8,56m/s², teve uma aproximação relativa mas com desvio de 1,1m/s², onde pode ter ocorrido uma pequena variação devido ao equipamento não estar bem posicionado, a altura do fio e da partícula em sua extremidade não ter passado, precisamente, pelo feixe de luz na barreira de luz e a partícula na extremidade

A N E X O S