UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA EXPERIMENTAL 2 – 5268/01.
AUTOR: Marcos Costa (RA:117569).
APLICAÇÃO DO MHS:
PÊNDULO SIMPLES
Maringá, 06 de abril de 2021
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Pêndulo simples, Trabalhos de Física Experimental
O presente relatório aborda o conteúdo de pêndulo simples, e explora conceitos do MHS.
Tipologia: Trabalhos
2021
1 / 15
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA EXPERIMENTAL 2 – 5268 /0 1.
AUTOR: Marcos Costa (RA:117569).
APLICAÇÃO DO MHS:
PÊNDULO SIMPLES
Maringá, 06 de abril de 202 1
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FÍSICA EXPERIMENTAL 2 – 5268 /0 1.
AUTOR: Marcos Costa (RA:117569).
APLICAÇÃO DO MHS:
PÊNDULO SIMOLES
Maringá, 06 de abril de 202 1
Sumário
- Introdução
- Objetivos
- Fundamentação teórica .......................................................................................
- Desenvolvimento experimental
- 4.1. Materiais utilizados
- 4.2. Montagem..............................................................................................
- 4.3. Dados obtidos experimentalmente.........................................................
- 4.4. Interpretação dos resultados
- 4.5. Análise de resultados
- 5.Considerações finais
- Referências
1. Introdução
Neste presente relatório será abordado o estudo do pêndulo simples. Que consiste
em um sistema composto por um fio inextensível, preso a um suporte, cuja extremidade
contém um corpo de dimensões desprezíveis, que pode movimentar-se livremente.
Quando o instrumento está parado, ele permanece em uma posição fixa. Deslocar a
massa presa na ponta do fio para determinada posição faz com que haja uma oscilação
em torno do ponto de equilíbrio. O movimento pendular ocorre com a mesma velocidade
e aceleração à medida que o corpo passa pelas posições na trajetória que realiza. Em
alguns experimentos o pêndulo simples é utilizado para determinar a aceleração da
gravidade, como no presente caso.
Galileu Galilei foi o primeiro a observar a periodicidade dos movimentos pendulares
e propôs a teoria das oscilações do pêndulo. Além do pêndulo simples existem outros
tipos de pêndulos, como o pêndulo de Kater, que também mede a gravidade, e o pêndulo
de Foucault, utilizado no estudo do movimento de rotação da Terra.[1]
O pêndulo realiza o MHS (movimento harmônico simples), os cálculos para maior
conhecimento do movimento envolvem a força restauradora e período de oscilação.
Através do período, podemos conhecer o menor intervalo de tempo para que ocorra o
movimento. A força restauradora é a responsável pelo retorno do pêndulo em sua posição
de equilíbrio, isto ocorre porque a força da gravidade o direciona para o ponto de menor
energia potencial gravitacional, pela posição que o corpo é direcionado, entende-se que a
força restauradora é uma componente horizontal da força peso.
Após a execução do experimento e aferição dos dados, para análise aplicaremos a
teoria de erros e a equação de desvio percentual, para obtermos um parâmetro da
excelência do experimento.
2. Objetivos
- Verificar a dependência da massa e do ângulo de liberação da massa no período.
- Obter experimentalmente a equação geral para o período de oscilação de um
pêndulo simples para pequenas amplitudes.
- Determinar a aceleração da gravidade local.
3. Fundamentação teórica
Um pêndulo simples define-se em uma massa suspensa (m) por um fio inextensível,
de comprimento L e massa desprezível em relação ao valor de m. Quando deslocamos a
massa para uma posição θ (ângulo que o fio forma com a vertical) e liberamos (velocidade
inicial nula), o pêndulo começa sua oscilação. O espaço percorrido pela massa suspensa
é denominado arco. O período de oscilação que será chamado de T é o tempo necessário
para a massa passar por duas vezes consecutivas pelo mesmo ponto, movendo-se na
Direção Radial: 𝑃 𝑦
= 𝑚𝑔 cos 𝜃 (Equação 3.2)
Substituindo a equação 3.1 na equação 2, ficamos com: −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚𝑎 𝑥
. Assim a
aceleração pode ser obtida em termos da velocidade da seguinte maneira: 𝑎
𝑥
𝑡
𝑑|𝑣⃗ |
𝑑𝑡
Sendo 𝑣 = 𝜔𝑅, onde 𝑅 = 𝐿 (comprimento do fio), assim obtemos: 𝑎 𝑥
𝑡
𝑑𝜔
𝑑𝑡
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
e
ficamos com a seguinte expressão 𝑚𝐿
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
= −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃, ou:
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
𝑔
𝐿
𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0 (equação 4)
Utilizando os conceitos de Torque e momento de inércia. Temos que o torque é definido
como: 𝜏 = 𝑟 𝑥 𝐹 , seu módulo é dado por:
𝜏 = 𝑟𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 (Equação 5)
Onde: 𝑟 = 𝐿 e 𝐹 = −𝑃 (força restauradora), e θ o ângulo entre L e P. Lembrando ainda
que a segunda lei de Newton para o movimento em rotação é dada por 𝜏 = 𝐼𝛼.
Substituindo todos esses dados na equação 5, teremos: 𝐼𝛼 = −𝐿𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃. Como 𝛼 =
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
e sen 𝜃 ≅ 𝜃, para ângulos pequenos, então:
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
𝐿𝑚𝑔𝜃
𝐼
= 0 (Equação 6)
Que possui com solução: 𝜃(𝑡) = 𝜃
𝑚á𝑥
cos(𝜔𝑡 + 𝜙). Substituindo θ(t) e sua segunda
derivada (
𝑑
2
𝜃
𝑑𝑡
2
𝑚á𝑥
2
cos(𝜔𝑡 + 𝜙)) na equação diferencial (Equação 6), obtém-se que:
2
Lmg
I
. Como 𝜔 =
2 𝜋
T
, o período de oscilação do pêndulo será, T = 2 𝜋 √
I
Lmg
. Como o
momento de Inércia de um pêndulo simples é dado por I = mL
2
. Temos uma expressão
para o período de oscilação do pêndulo simples (para pequenos ângulos), dada por:
L
𝑔
(Equação 7)
[2]
4 - Desenvolvimento experimental
Na presente seção será apresentado os materiais utilizados e a montagem do
experimento experimento, e além disso, haverá a confecção de tabelas com os dados
aferidos no presente experimento e a interpretação e análise dos mesmos.
4 .1 – Materiais utilizados
- Linha de costura
- Cadeado (15g)
- Fita isolante.
- Tampa de garrafa pet
- Grampo
- Trena
- Transferidor
- Canaleta do Guarda-roupas
- Régua
- Balança digital
- Cronômetro
- Tesoura
4.2 Montagem experimental
Na Figura 4.1, apresenta-se a montagem experimental para a análise de uma
massa que se movimentará a uma amplitude 0° ≤ 𝜃 ≤ 1 5°, e um fio inextensível, que terá
comprimentos variando entre 20cm e 100cm, com 5 repetições para o tempo de 10
oscilações, para cada comprimento do fio. Voltando para o foco da montagem, foi feito
um furo no centro de uma tampa de garrafa PET, e amarrado o fio em um grampo em
uma das extremidades do fio para manter o comprimento do constante e a massa segura.
Após a massa também fixada ao fio, na outra extremidade, encaixamos a tampa
na canaleta do guarda-roupas, para assim garantir a falta de forças dissipativas, e assim,
garantir maior precisão na montagem do pêndulo simples.
Na Figura 4.2 fica exposto uma visão lateral da montagem apresentada na Figura
4.1, e podemos notar a importância do uso da fita para manter todos encaixei bem fixados
para que não haja deslizamento do fio, e consequentemente a atuação de outras forças
além das que queremos estudar no momento.
(2) Suporte pendular, (3) Massa pendular. Figura elaborada por Marcos R. M. Costa, o
autor.
4.3 Dados obtidos experimentalmente
A seguir serão apresentados em formato de tabela os resultados obtidos
experimentalmente, junto as respectivas variações de comprimento de fio para a massa
suspensa. O comprimento do fio foi variado e massa do sistema se manteve constante.
Conforme a variação do valor do comprimento do fio ocorre uma variação no período de
oscilação, que é a amplitude varrida pela massa. Sendo t 1
o tempo captado pelo
realizador do experimento quando o móvel termina seu trajeto e registrado pelo
cronômetro, este é repetido por mais 4 vezes (t 2
, t 3
, t 4
, t 5
) para cada comprimento de fio
diferente.
Tabela 1- Dados experimentais dotempos (t 1 ,
t 2
, t 3
, t 4
, t 5
) em segundos, para cada
comprimento (L) em cm, ângulo de liberação (θ) em graus e massa pendular (m) em g.
4.4 Interpretação dos resultados
A força que provoca o movimento é a força peso. Essa força é proporcional à
massa que é solta em tal amplitude, e devido a existência da força restauradora, existe
um período de oscilação. Assim com as medidas
Tabela 2- A tabela apresenta o tempo médio(t m
) de 10 oscilações, em seus respectivos
comprimentos, além disso também contempla o período de oscilação (T m
), os dois em
segundos e com a aplicação dos respectivos desvios padrão.
Comprimento (L ± 0,05) cm t m
(s) T m
(s)
20 ± 0,05 cm 9,71 ± 0,0 8 0, 97 ± 0,0 8
40 ± 0,05 cm 12,91 ± 0,0 6 1 , 29 ± 0,0 6
60 ± 0,05 cm 15,85 ± 0,0 7 1 , 59 ± 0,0 7
80 ± 0,05 cm 18,20 ± 0, 11 1 , 82 ± 0, 11
100 ± 0,05 cm 20,91 ± 0,0 4 2 , 09 ± 0,0 4
Comprimento (L ± 0,05)cm (t 1
± 0,01)s (t 2
± 0,01)s (t 3
± 0,01)s (t 4
± 0,01)s (t 5
± 0,01)s
20 ± 0,05 cm 9,82 ± 0,01 9,76 ± 0,01 9,64 ± 0,01 9,63 ± 0,01 9,72 ± 0,
40 ± 0,05 cm 12,95 ± 0,01 12,89 ± 0,01 12,91 ± 0,01 12,98 ± 0,01 12,82 ± 0,
60 ± 0,05 cm 15,74 ± 0,01 15,92 ± 0,01 15,90 ± 0,01 15,87 ± 0,01 15,82 ± 0,
80 ± 0,05 cm 18,08 ± 0,01 18,36 ± 0,01 18,26 ± 0,01 18,17± 0,01 18,11 ± 0,
100 ± 0,05 cm 20,84 ± 0,01 20,91 ± 0,01 20,96 ± 0,01 20,91 ± 0,01 20,93 ± 0,
m = 15 ± 0,01g 𝜃 = 15°
Tabela 3 - A tabela apresenta o período de oscilação (T m
), os dois em segundos e com a
aplicação dos respectivos desvios padrão.
Comprimento (L ± 0,05) cm T m
(s)
20 ± 0,05 cm 0, 97 ± 0,0 8
40 ± 0,05 cm 1 , 29 ± 0,0 6
60 ± 0,05 cm 1 , 59 ± 0,0 7
80 ± 0,05 cm 1 , 82 ± 0, 11
100 ± 0,05 cm 2 , 09 ± 0,0 4
Podemos notar a relação entre os dados do comprimento e do período médio
denotado agora por T:
L 𝛼 T
n
Ainda, podemos chegar em uma expressão, ao substituirmos o sinal de
proporcionalidade, por uma constante c:
L = cT
n
(Equação 8)
Para obtermos uma relação entre o comprimento e o período de oscilação no MHS,
precisamos obter o valor de n e c. Para isso, vamos confeccionar um gráfico de L,
que diz a respeito do raio da curvatura em centímetros versus o período T em
segundos, apresentado no Gráfico 1.
Gráfico 2 – Gráfico T
2
× L, ou melhor dizendo, linearizado. Traçado a reta média.
Com o gráfico linearizado podemos descobrir o valor do coeficiente angular,
que consequentemente vem a ser o valor de c. Assim temos:
c =
∴ L = 25 , 48 T
2
(Equação 9)
Logo, podemos fazer uma análise adimensional na expressão obtida:
L = cT
2
c =
L
T
2
Está grandeza está relacionada à aceleração gravitacional:
c 𝛼 g
c = c
1
g (Equação 10)
Onde c 1
é uma constante de proporcionalidade adimensional.
Ao substituirmos a equação 10 na equação 8:
L = c
1
gT
2
(Equação 11)
Para obtermos a constante adimensional utiliza-se a equação 10:
c
1
c
g
Substituindo na equação 11:
L = 0 , 026 gT
2
T
2
L
g
T = 6 , 20 √
L
g
4.5 – Análise dos resultados
Fazendo uma breve análise da constante obtida, pode observar que a única
grandeza física que se manteve constante ao decorrer do experimento, não possuí
dimensão, e está relacionado com o arco da curva S, e com o período de oscilação
T. Logo, sabemos que 1 período é o tempo de oscilação que a massa pendular leva
para passar duas vezes pelo ponto de onde foi suspensa, e isso é o mesmo que
completar uma volta em uma circunferência, ou seja 2𝜋.
E finalmente, já conhecendo a constante adimensional utilizaremos a
equação 12 para calcular o desvio percentual da medida teórico em relação a
medida experimental:
D
%
valor teórico - valor experimental
valor teórico
| 100 (Equação 12 )
%
6 , 28 − 6 , 20
6 , 28
Assim obtivemos de forma geral a equação do período para o MHS, e podemos
escrev-la da seguinte maneira:
T = 2 𝜋
L
g
(Equação 13)
5. Considerações finais
Concluímos então, que a relação experimental entre o comprimento do fio (L) e o
período de oscilação é dado por: L = 25 , 48 T
2
, e que a equação do período para o MHS
é dada pela equação 13.
E além disso, o inverso da constante de proporcionalidade equivale ao fator de 2 𝜋,
e está relacionada ao tempo de 1 período, que seria o mesmo que dar uma volta completa
em uma circunferência.
Ao diagnosticar o resultado obtido, podemos notar que o período de oscilação não
depende da massa pendular e nem do ângulo de liberação desde que ele permita valer a
aproximação senθ ≅ 𝜃. Além disso, não deve haver presença de forças dissipativas, ou
melhor dizendo, as condições deverão ser tais que essas forças sejam desprezíveis, e