FGV - Programação Linear, Notas de estudo de Engenharia Elétrica

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Pierre J Ehrlich

Programação Linear e Decisão

FGV- EAESP

Observação: O presente texto serve de apoio ao ensino de Programação

Linear

Programação Linear e Decisão

Programação Linear (PL) se insere dentro dos métodos de Programação Matemática. Os métodos de Programação Matemática fornecem modelos, na sua maioria determinísticos, normativos (e otimizantes), visando problemas de decisão, bem estruturados, onde o grande desafio é a natureza combinatória das soluções. Eles são tradicionalmente apresentados em textos de Pesquisa Operacional. Em um modelo de Programação Linear as relações matemáticas (equações) são todas lineares. A estrutura é padronizada e repetitiva, mesmo para os mais diversos problemas. Esta característica permitiu o desenvolvimento de programas de computador extremamente simples de uso e muito eficientes. A análise das soluções também é padronizada. Estas características tornam Programação Linear uma técnica extremamente útil e com grande número de aplicações. O presente texto pretende enfatizar o processo da modelagem para a tomada de decisões, assim como os principais pontos necessários para a interpretação das saídas dos programas de computador. Observação: como a maioria dos programas de computador são em inglês, sempre que julgarmos útil, explicitaremos os termos em inglês.

1 - Os Elementos

A natureza repetitiva de PL e a necessidade de estruturar um problema em “forma padrão” para sua solução, tornam a identificação dos elementos particularmente importantes.

a) A variáveis de decisão ou atividades Xj (geralmente não negativas)

b) Os recursos escassos ou elementos restritivos (ou RHS – “Right Hand Side”) Bi

c) Os coeficientes tecnológicos ou utilização de recursos por unidade de atividade aij

d) As equações das restrições. Exemplos:

i) a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 ≤ B 1 ii) a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 ≥ B 2 iii) a 31 X 1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 = B 3 e) Os benefícios (ou prejuízos) unitários cj a serem utilizados na função objetivo

f) O critério para selecionar a solução ótima, chamado de Função Objetivo , a ser maximizada ou a ser minimizada

Z = c 1 X 1 + c 2 X 2 + c 3 X 3

g) Variáveis de folga (slack): como Xf1 , ou de excesso (surplus): como Xf2 , sempre não negativas, a serem adicionadas (ou subtraídas) às restrições, para alterar as desigualdades para igualdades. No caso das restrições do item (d), a terceira restrição já é uma igualdade e nada há para ser acrescentado; entretanto, para as duas primeiras:

d) Não-Factível (Infeasible): quando não há ponto factível que satisfaça todas as restrições. Isto significa que o problema, do modo que foi formulado, não tem solução.

e) Ilimitado (Unbounded): quando o conjunto convexo que define os pontos factíveis é aberto na direção de otimização.

As saídas dos programas de computador listam o valor da função objetivo assim como o conjunto das atividades básicas e outro conjunto para as atividades não básicas. As atividades não básicas são zeradas (pois assim exige o ponto ótimo). Para as atividades básicas, os custos reduzidos são nulos, enquanto as não básicas apresentam custos reduzidos que representam a piora no objetivo que seria causada pela inclusão de cada unidade de uma variável não básica. Uma saída de computador, para o ponto ótimo, com uma variável não básica com custo reduzido nulo, indica a existência de uma solução múltipla, já que esta variável não básica poderia ser posta na base (e tornar-se básica) sem alterar o valor da função objetivo.

3 - Análise de Sensibilidade ou de Pós-Otimização

A seção anterior tratou da leitura da solução ótima. A presente seção vai tratar da sua interpretação. Sempre há duas partes a serem analisadas: o intervalo de validade da análise ( range ) e o valor. Fora do intervalo, ocorre uma descontinuidade (pulando de um ponto extremo para outro) que, geralmente torna as análises impossíveis (seria necessário recalcular todo o problema). A análise de sensibilidade sempre se refere a variações de um elemento de cada vez (poderia ser feita para mais de um), mantendo os outros constantes, nos seus valores iniciais. Para pequenas variações (marginais), longe dos limites dos intervalos, os efeitos de diversas variações simultâneas podem ser adicionados.

a) Sensibilidade para o coeficiente do benefício (ou prejuízo) unitário na função objetivo. A saída mostra o intervalo para o qual o ponto ótimo permanece inalterado (não se move). Se o coeficiente sendo analisado corresponder a uma atividade básica, o valor da função objetivo se alterará, mas o ponto ótimo continuará inalterado. Ao se atingir o limite do intervalo, chega-se à condição para o ponto ótimo pular para o ponto vizinho. No valor preciso do limite, os dois pontos são igualmente ótimos (assim como suas combinações lineares). Muitos programas de computador indicam, para o limite, qual variável sai da base e qual variável entra na base (substituição), de modo a definir o novo ponto extremo ótimo. Seja um caso de maximização da função objetivo Z. Se Xj for básica, diminuir cj além do limite causaria a saída de Xj da base; por outro lado, um aumento de cj além do limite, causaria um aumento em Xj (de qualquer modo, alterando o ponto ótimo) às custas de outra variável básica que deixa a base para liberar recursos para Xj. Os custos reduzidos (reduced costs) das variáveis não básicas, assim como os valores sombra (shadow prices) para as restrições ativas, se alteram quando o ponto ótimo muda.

Se Xj for não-básica, aumentar cj além do limite torna-a básica às custas de outra variável que deixa a base. Neste caso os custos reduzidos se alteram nesta mudança. b) Sensibilidade para um recurso (RHS), Bi de uma restrição. Se a restrição for atuante, o que significa que sua folga ou excesso são nulos, a análise de sensibilidade corresponde a “escorregar” o ponto ótimo (ele se desloca) ao longo da variação do RHS. O ponto sempre se moverá e o valor da função objetivo se alterará. Entretanto, dentro dos limites, sempre serão as mesmas variáveis que formarão a base: não há mudança de base. Se a restrição não for atuante, alterar o RHS dentro dos limites alterará a folga (ou o excesso), mas não a solução ótima. Fora do intervalo, a restrição passa a se tornar atuante. A análise mais importante é a que se relaciona com o valor sombra ( shadow price ), ou valor de oportunidade , ou valor marginal do recurso RHS se não houver folga (restrição atuante). Todas estas denominações se referem à mesma coisa: A mudança marginal no valor da função objetivo, devida a uma variação marginal no RHS. O nome “valor sombra (shadow value)” é importante para distinguir de “valor de mercado (market value)”. O impacto de uma variação na disponibilidade de um recurso RHS, no valor da função objetivo, pode ser alto, baixo ou até nulo (se houver folga), independentemente do valor de mercado deste recurso. O valor sombra é freqüentemente chamado de variável dual.

c) É importante observar que, sempre :

(valor sombra)(folga ou excesso) = 0 (valor da atividade)(custo reduzido) = 0

d) Sensibilidade para os coeficientes aij Esta análise é raramente disponível nas saídas de computador. Nós não a apresentaremos. De qualquer modo, exigiria o estudo da dualidade, que não faremos.

4 - As Questões mais Freqüentes em Análise de Pós-Otimização

a) Sugere-se uma alteração no benefício unitário cj para uma variável básica Xj. Verifique se o proposto ultrapassa os limites. Em caso afirmativo, preveja que variável de decisão (atividade) entra na base e qual sai.

b) Sugere-se uma variação no benefício unitário cj para uma variável não básica Xj. Observe que esta atividade, na solução existente, está num nível nulo. Ela só se tornará básica se o aumento sugerido para o benefício unitário for maior que seu custo reduzido.

c) Uma variável não básica é imposta. O impacto unitário (piora) sobre a função objetivo será o custo reduzido.

d) O problema explicita: ”O recurso B 1 se transforma em 30% de produto L, 50% de M, 10% de N e 10% de perdas; o recurso B 2 se transforma em 40% de L, 30% de M, 25% de N e 5% de perdas”. O erro mais comum é escrever: B 1 = 0,3L + 0,5M + 0,1N + 0,1perdas B 2 = 0,4L + 0,3M + 0,25N + 0,05perdas A forma correta de transcrever os dados do problema é: L = 0,3B 1 + 04B 2 ; M = 0,5B 1 + 0,3B 2 ; N = 0,1B 1 + 0,25B 2

e) O problema explicita: “Os produtos L e N são vendidos a um preço de Pl e P (^) n. Para produzi-los, ambos requerem os insumos A e B cujo custo unitário é C (^) a e C (^) b , entretanto eles são apenas disponíveis nas quantidades Ra e R (^) b. Os processos de produção são 1 e 2. Processo 1 utiliza uma unidade de A e cinco unidades de B para produzir três de L e uma de N. Processo 2 utiliza duas unidades de A e três unidades de B para produzir duas de L e três de N. A produção de L tem que ser, pelo menos, o dobro da de N”. As variáveis de decisão mais fáceis são os níveis de atividades dos processos X 1 e X 2. O uso de recursos e as produções são apenas conseqüências, devido à rigidez dos processos. As restrições de consumo de recursos: A consumido: X 1 + 2X 2 ≤ R (^) a B consumido: 5X 1 + 3X 2 ≤ R (^) b A produção é: L = 3X 1 + 2X 2 N = X 1 + 3X 2 A restrição das proporções de produção: L ≥ 2N ; ou (3X 1 + 2X 2 ) ≥ 2(X 1 + X 2 ) ; ou X 1 - 4X 2 ≥ 0 A função objetivo: Max Z = P (^) lL + P (^) n N - C (^) a A - C (^) b B precisa ser rescrita como: Max Z = (3P (^) l + P (^) n - C (^) a - 5C (^) b )X 1 + (2P (^) l + 3P (^) n - 2C (^) a - 3C (^) b )X 2 há outras formas de começar a estruturar o problema, usando quatro variáveis de decisão em vez de duas; como exemplo, A 1 , A 2 , B 1 , B 2 , sendo as quantidades de recursos alocados a cada um dos processos 1 e 2; ou então pelos produtos L 1 , L 2 , N 1 , N 2. Após escrever todas as equações que amarram os produtos e os recursos aos processos, pode-se simplificar para apenas duas variáveis de decisão.

f) Após montar as equações para estruturar um problema de PL, nunca esqueça de verificar a consistência das dimensões (unidades) dos termos. Também não esqueça de colocar todas as equações numa forma que seria apropriada para entrar com um programa de computador.

A seguir apresentamos um exemplo seguido de exercícios propostos 3.

Exemplo: Fazenda, um problema de mistura Numa fazenda com 250 alqueires úteis, a adubação requerida por alqueire é: Nitrogênio (N) : pelo menos 40 quilos Acido Fosfórico (P) : pelo menos 50 quilos Potássio (K) : pelo menos 60 quilos

(^3) O último item do Capítulo 1 apresenta três exemplos de aplicações em Finanças

Cloro (Cl) : não mais que 72 quilos

O adubo é vendido em sacos de 25 quilos ou de 50 quilos, conforme a marca. As especificações são padronizadas de modo que um saco de marca M1, especificado como 4-6-8-8, contém 4% de Nitrogênio (N), 6% de Acido Fosfórico (P), 8% de Potássio (K) e 8% de Cloro (Cl). O mercado propõe três marcas, M1, M2 e M3, com as seguintes especificações: Marca Código Preço por Saco Peso M1 4-6-8-8 55 50 kg M2 8-8-8-6 60 50 kg M3 6-6-20-5 50 25 kg

Estruture a formulação^4 do problema, analise a solução obtida por meio do Solver de Excel e responda as perguntas que seguem. a) Quantos sacos, de cada marca, comprar para toda a fazenda? Observe que o problema do arredondamento é contornado ao passar para 250 alqueires. b) Quais as despesas totais com adubos? Refaça os cálculos para o número inteiro de sacos. c) Quais os excessos de adubagem aplicados? d) Quanto de Cloro resulta por alqueire e qual a diferença com o máximo permitido? e) A marca M1, sendo produzida por um parente próximo, impõe-se comprá-la, em quantidades de, no mínimo 100 sacos. De que modo isto afeta as despesas totais? f) Após algumas negociações com o parente próximo, obter-se-á um desconto de modo a não alterar o orçamento original. De quanto deve ser este desconto por saco?

Exemplo FAZENDA resolvido por Solver do Excel

Problema do Fazendeiro M1 M2 M Atividades 0 11.43 2.86 Min Objetivo 55 60 50 828.

Restric RHS Nitrogenio 2 4 1.5 50 40 Acido Fos 3 4 1.5 50 50 Potássio 4 4 5 60 60 Cloro 4 3 1.25 37.86 72

Abaixo mostramos as impressões do Solver de Excel

Target Cell (Min) Cell Name Original Value Final Value

(^4) A formulação correta deste problema deveria respeitar o número inteiro de sacos e requer a utilização

de Programação com Inteiros. É muito fácil estruturar a Programação com Inteiros utilizando Excel. O difícil é a interpretação dos resultados (além da simples resposta do ponto ótimo). Optamos pela Programação Linear que nos apresenta uma solução com um número fracionário de sacos por alqueire. Ao multiplicar esta solução por 250 para obter o resultado desejado para a fazenda toda, reduzimos o problema da solução não ser um número inteiro de sacos – mas não eliminamos o erro.

c) Escrevendo o número de sacos utilizados nas equações das restrições, ou analisando a saída do Solver (em Constraints), resulta um excesso de 10kg de Nitrogênio por alqueire. d) Há uma folga de 37,86 kg de Cloro por alqueire, de modo que aplica-se 72 – 37,86 = 34,14 kg de Cloro e) Aumentam de 100* $ 2,14 = $214 por alqueire ou $ 53500 para a fazenda toda. f) O desconto é de $ 2,14 por saco de M1. Observação: Diversas respostas podem ser obtidas por distintos caminhos.

6 – Exercícios

1 - Transporte A empresa Precisa se posicionou para exportar seus instrumentos de precisão para quatro países da América do Sul, a partir das suas três fabricas. O transporte deverá ser efetuado de avião, utilizando os aeroportos de Viracopos e de Guarulhos.

As fabricas e suas capacidades máximas de produção diária são: Sorocaba : 4000 unidades Taubaté: 6000 unidades Limeira: 3500 unidades

As demandas diárias são de: Uruguai: 3000 unidades Argentina: 4000 unidades Paraguai: 2000 unidades Chile: 2250 unidades

A capacidade máxima de processamento do aeroporto de Viracopos é de 4000 unidades por dia. Os aeroportos não podem estocar as mercadorias a serem expedidas. Os custos unitários de transporte para os aeroportos, em $UM são:

Guarulhos Viracopos Sorocaba 60 25 Taubaté 45 40 Limeira 55 20

Os custos do transporte aéreo depende de muitos fatores como distância, taxas, tipos de equipamentos e instalações, etc. Resulta:

Uruguai Argentina Paraguai Chile Guarulhos 80 90 105 140 Viracopos 110 115 60 130

Formule o problema, identificando e definindo claramente os elementos: a) Variáveis de decisão b) Função objetivo

c) Restrições

2 - Repartição de Carga A empresa de transporte de cargas aéreas Sobre as Nuvens (SN) opera entre São Paulo e Manaus. O avião foi repartido em duas seções: uma pressurizada para cargas frágeis (tarifa de $UM 3000 por tonelada) e a seção comum, para mercadorias ordinárias (tarifa $UM 1000 por tonelada). há cargas de todos os tipos, sem limitação. Deseja-se compor o frete que maximize a receita em cada viagem. A configuração do avião impõe certas limitações: A capacidade da seção pressurizada é de 6 toneladas, enquanto a seção comum pode carregar até 12 toneladas. A carga total não pode ultrapassar 16 toneladas. Para garantir a estabilidade da aeronave, a seção pressurizada não pode levar mais que duas toneladas a mais que a metade da carga comum.

a) Formule o problema de PL e encontre a solução ótima, por processo gráfico^5. b) Mantendo a tarifa das mercadorias frágeis em $UM 3000, determine o intervalo de estabilidade do ponto ótimo encontrado, quando varia a tarifa das cargas ordinárias.

3 - Alltemp A empresa Alltemp produz e vende três modelos de Refrigetroços: Standard , Luxo e Elite. Uma unidade do modelo Standard é vendida por $11,75 e requer 1,5 minutos de fabricação e 4 minutos de montagem. Uma unidade do modelo Luxo é vendida por $ 18,13 e requer 2 minutos de fabricação e 5 minutos de montagem. Uma unidade do modelo Elite é vendida por $ 21,07 e requer 1 minuto de fabricação e 10 minutos de montagem. Ao longo do horizonte de programação da produção (uma semana de cinco dias, oito horas por dia), a empresa pode expedir, seja 6000 unidades do modelo Standard, ou 4000 unidades do modelo Luxo, ou 6000 unidades do modelo Elite, ou qualquer combinação de dois ou três modelos. Quatro pessoas se ocupam da fabricação e 16 pessoas trabalham na montagem. Cada pessoa trabalha 40 horas por semana. Os custos variáveis da fabricação são de $ 2 por minuto e os de montagem são de $ 1 por minuto. Quanto aos custos variáveis de expedição, eles são de $ 1 para os modelos Standard e Elite e de $ 1,5 para o modelo Luxo (proporcional ao tempo de trabalho para a expedição). O mercado total absorve toda a produção, mas há encomendas (mínimas) a serem satisfeitas, de 1000 unidades do modelo Luxo para o Mercosul e de 3000 unidades do modelo Elite para o mercado nacional

(^5) O processo gráfico não foi apresentado no presente texto pois ele somente pode ser utilizado no caso

muito particular de apenas duas variáveis de decisão.

5 - Móveis Cupim A fábrica de móveis Cupim produz cadeiras, bancos e mesas. A produção de uma cadeira exige 1,2 UT (unidade de tempo) de fabricação e 0,8 UT de acabamento. A produção de um banco requer somente 1,7 UT de fabricação. A produção de uma mesa requer 1,2 UT de fabricação e 2,3 UT de acabamento. A capacidade instalada é de 1000 UT de fabricação e de 1200 UT de acabamento. Os custos variáveis são de $ 0,9 por UT na fabricação e $ 0,8 por UT no acabamento. O material requerido é 2 UM (unidade de material) por cadeira, 3 UM por banco e 4,5 UM por mesa, a um custo de $ 1,2 por UM. A disponibilidade de material é de 2000 UM. Os preços de venda unitários são: $ 7,12 por cadeira; $ 8,13 por banco; e $13,32 por mesa. Há uma encomenda (mínima) a ser satisfeita, de 386 cadeiras. O mercado pode absorver toda a produção. a) Monte as equações para o problema do planejamento da produção. b) Responda às perguntas, sendo uma independente da outra. i) Qual o plano de produção e a contribuição (global) que resulta? ii) Vale a pena comprar mais 500 UM a um custo majorado em $ 0,60 a UM? Qual o resultado líquido sobre a contribuição global? iii) Qual o impacto, sobre a contribuição global de uma encomenda mínima de 100 bancos? iv) Qual o impacto de um desconto unitário de $ 0,50 no preço das cadeiras? v) Para valer a pena produzi-lo, qual deve ser o preço mínimo de venda de um novo móvel que requer 1,8 UT de fabricação, 0,5 UT de acabamento e 1,3 UM de material? vi) Vale a pena bloquear 200 UT de fabricação para uma outra empresa que pagaria $ 300 para Cupim?

6 - Instrumentos Um pequeno fabricante de instrumentos de precisão emprega quatro montadores e dois engenheiros. Cada um deles trabalha 40 horas regulares semanais. O custo horário (salário mais todos os encargos ) é de 20 $UM para cada montador e de 30 $UM para cada engenheiro. Os custos fixos da empresa são de 5000 $UM por semana. Os custos variáveis (manutenção e matéria prima) são de 5 $UM por hora por montador e de 10 $UM por hora por engenheiro. A empresa vende (diretamente) instrumentos acabados e testados a 175 $UM a unidade e instrumentos semi-acabados (para um fabricante de grandes máquinas, nas quais se incorporarão os instrumentos) a 130 $UM a unidade. A demanda por qualquer um dos dois produtos, ultrapassa a capacidade da empresa. A produção de instrumentos semi-acabados requer uma hora de montador e meia hora de engenheiro, por unidade. Um instrumento acabado requer uma hora e meia de montador e outro tanto de engenheiro. a) Estruture o problema da produção, como Programação Linear, determine (por método gráfico, ou por simplex) o mix ótimo a produzir e o lucro resultante.

Cada um dos seis funcionários se dispõe a trabalhar mais dez horas extras por semana, a uma remuneração horária 50% maior (os outros custos não se alteram). Por outro lado, o fabricante de grandes máquinas (que compra os instrumentos semi-

acabados) impõe um contrato mínimo de 100 instrumentos semi-acabados por semana, mas aceitaria até 150 instrumentos. b) Estruture o problema, visando maximizar o lucro, resolva-o utilizado um software de computador. Mostre as horas regulares e as horas extras programadas.

7 - Duas Fábricas Uma empresa fábrica três produtos: A, B e C em duas Fábricas F1 e F2, que trabalham com diferentes tecnologias. Os três produtos são enviados para um deposito central, de onde são distribuídas para os revendedores. As margens de contribuição sobre a produção(em K$UM), levando em conta os custos normais são:

Fábrica F1 Fábrica F Produto A 29 31 Produto B 38 36 Produto C 47 46

Os custos unitários (em K$UM) de transporte para o depósito central são:

Fábrica 1 Fábrica 2 Produto A 4 1 Produto B 3 9 Produto C 2 4

Cada fábrica é composta de três oficinas: para as oficinas de montagem e de controle, o uso de tempo, assim como o total de horas disponíveis, por mês são:

Fábrica 1 Fábrica 2 Montagem Controle Montagem Controle Produto A 10 5 10 5 Produto B 7,5 2 10 10 Produto C 20 10 5 10 Disponível 2250 2000 2000 2000

A oficina de tratamento da fábrica 1 pode tratar de 100 unidades de A ou 400 de B ou 50 de C por mês. Para a fábrica 2, os valores são de 200 de A ou 100 de B ou 400 de C. A demanda mensal para o produto A é de, no máximo 150 unidades; a de B de 200 unidades no máximo. Para o produto C há um contrato de fornecimento mínimo de 120 unidades mensais, sem limitação de máximo. Questões: a - Formalize o Problema b- Qual a solução ótima e a contribuição total resultante? c - Qual o impacto de um aumento de 10 unidades na demanda mínima para C? d - Qual o impacto de uma redução de 20 unidades na demanda máxima para A? e - Qual o impacto de problemas técnicos que causem uma diminuição de 1800 horas disponíveis na oficina de controle na fábrica 1?

A produção de um bloco de 6 cilindros requer 9 kg de aço, 6 horas de fabricação e 5 horas de fabricação. A montagem de um motor de 4 cilindros requer o bloco apropriado, além de 4 pistões e de 4 cilindros. A montagem de um motor de 6 cilindros requer o bloco apropriado, além de 6 pistões e de 6 cilindros. Durante o período em consideração, a empresa poderá dispor de 1525 kg de aço, 1070 horas de fabricação e de 1500 horas de acabamento. Os preços de venda de componentes são de $UM 82 para pistões, 115 para cilindros, 190 por bloco de 4 cilindros e 215 por bloco de 6 cilindros. Os preços de venda de motores são de $UM 1000 por motor de 4 cilindros e de $UM 1400 por motor de 6 cilindros. Os custos variáveis de produção de componentes são: $UM 70 para pistões $UM 90 para cilindros $UM 160 para blocos de 4 cilindros $UM 180 por bloco de 6 cilindros Os custos variáveis de montagem e de ajuste dos motores são: $UM 100 para motores de 4 cilindros $UM 140 para motores de 6 cilindros A empresa MOTORS é obrigada a fornecer, ao longo do período, um mínimo de 20 motores de 4 cilindros e de 10 motores de 6 cilindros, montados e ajustados. Quanto ao máximo, não há limitação de mercado para nenhum dos seus produtos. Questões: a) Formule bem o problema, mostrando os cálculos dos coeficientes da função objetivo e a estrutura das restrições. b) Liste os produtos finais vendidos no mercado, motores e componentes No ponto ótimo, mostre a contribuição e calcule o faturamento bruto. c) Quais as conseqüências de uma pane que reduza a capacidade da fabricação em 10 horas? d) Qual o impacto na redução de 5 motores completos de 6 cilindros encomendados? e) Seria vantajoso comprar aço no mercado de revendas? quanto e até que preço?