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AULA 15
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
PROF. PAULO
Progressão geométrica é uma seqüência na qual cada termo é o anterior multiplicado pela razão. Exemplo: A seqüência (1; 2; 4; 8; 16; 32; ...) é uma progressão geométrica com primeiro termo 1 e razão 2. Note que 2 = 1.2; 4 = 2.2; 6 = 3.2;... A razão da P.G. é representada pela letra q e é calculada dividindo-se um termo pelo anterior
q = 1
Termo geral P.G. (a 1 ; a 2 ; a 3 ; a 4 ; ...; a (^) n ;...)
a 2 = a 1 .q
a 3 = a 2 .q = a 1 .q.q = a 1 .q 2
a 4 = a 3 .q = a 1 .q 2 .q = a 1 .q 3
a 5 = a 4 .q = a 1 .q 3 .q = a 1 .q 4
. . . a (^) n = a 1 .q n -^1
Exemplos: Calcular o décimo termo da seqüência ( 1; 2; 4; 8; ...) Resolução: P.G.(1; 2; 4; 8; ... )
q = 1
a 1 = 1
a (^) n = a 1 .q n -^1
a 10 = a 1 .q 10 -^1
a 10 = a 1 .q 9
a 10 = 1.2 9
a 10 = 512
Calcule o primeiro termo da P.G. em que a razão é 3 e o quinto termo é 162 Resolução: a 5 = 162
q = 3 a (^) n = a 1 .q n -^1
a 5 = a 1 .q 5 -^1
a 5 = a 1 .q 4
162 = a 1 .3 4
162 = a 1.
= a 1
a 1 = 2
Sendo a (^) n e a (^) m dois termos quaisquer de uma P.G. temos:
a (^) n = a (^) m .q n - m
Exemplo: Calcule a razão de uma P.G. em que o quinto termo é 512 e o décimo termo é 16384. Resolução: a 5 = 512 e a 10 = 16384
a (^) n = a (^) m .q n - m
a 10 = a 5 .q 10 -^5
16384 = 512.q 5
(^16384) = q 5
q 5 = 32
q = 5 32 =^5 q = 2
Termo médio: Em toda P.G., cada termo, a partir do segundo, é a média geométrica entre o termo anterior e o posterior. Exemplos:
P.G. (1; 3; 9; ...) 3 2 = 1.
P.G. ( 4; 8; 16; ...) 8 2 = 4.
Calcule o quarto termo da P.G. ( x – 6; x – 4; x; ... ) Resolução: P.G.(x – 6; x – 4; x; ... ) (x – 4) 2 = (x – 6).x x 2 - 8x + 16 = x 2 - 6x
19 – 1 = 2n 18 = 2n n = 9 Resposta a
(MAUÁ) – Determine x para que 4, x e 9 formem, nesta ordem, uma progressão geométrica. Resolução: P.G.(4, x, 9) x 2 = 4. x 2 = 36 x = ± 36 x = ± 6 Resposta: x = 6 ou x = -
Que número deve ser somado aos números 0, 4 e 16, para que, nesta ordem, formem uma progressão geométrica? Resolução: P.G.(0 + x, 4 + x, 16 + x) (4 + x) 2 = (0 + x).(16 + x) 16 + 8x + x 2 = 16x + x 2 16 + 8x + x 2 - 16x - x 2 = 0 16 - 8x = 0 -8x = -16 .(-1) 8x = 16
x = 8
x = 2
- O décimo sétimo termo da progressão geométrica em que o quinto termo é 128 e a razão é 4 é: a) 4^10 b) 2 31 c) 2 24 d) 4 20 e) 2 25 Resolução: a 5 = 128 e q = 4
a (^) n = a (^) m .q n - m^ a 17 =
a 5 .q 17 -^5 a 17 = a 5 .q^12
a 17 = 128.4^12 a 17 =
128.4^12 a 17 =
2 7 .(2 2 )^12 a 17 = 2 7 .2 2.^12 a 17 =
a 17 = 2 7 +^24 a 17 =
2 31 Resposta b
- Calcule o vigésimo termo da P.G. em que o primeiro termo é a 2 e a razão é a 3. Resolução: a 1 = a 2 e q = a 3
a (^) n = a 1 .q n -^^1 .q 20 -^1
a 20 = a 1 .q 20 -^1 a 20 =
a 2 .( a 3 )^19 a 20 = a 2 .a 3.^19 a 20 =
a 2 .a 57 a 20 = a 2 +^57
a (^) 20 = a^59
