Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
An´alise Matem´atica I
T´opicos de resolu¸c˜ao da 1aFrequˆencia do dia 23 de abril de 2014
1. Considere a fun¸c˜ao f(x) = ecos(x)+3. Determine um dom´ınio de injetividade de fe nesse conjunto caracterize
a fun¸c˜ao inversa indicando dom´ınio, contradom´ınio e express˜ao anal´ıtica.
Dom´ınio de injetividade de f: A fun¸c˜ao f´e a composi¸c˜ao da fun¸c˜ao injetiva ex+ 1 com a fun¸c˜ao cos(x) que
´e uma fun¸c˜ao peri´odica (n˜ao injetiva), de modo que um dom´ınio de injetividade de f´e dado pela restri¸c˜ao
principal do cosseno, D= [0, π]. O contradom´ınio da fun¸c˜ao inversa ´e precisamente D, ou seja, D′
f−1=D.
Dom´ınio da fun¸c˜ao inversa: −1≤cos(x)≤1⇔e−1≤ecos(x)≤e⇔e−1+ 3 ≤ecos(x)+ 3 ≤e+ 3
Portanto, Df−1=D′
f= [e−1+ 3, e + 3].
Express˜ao anal´ıtica: y=ecos(x)+ 1 ⇔y−3 = ecos(x)⇔ln(y−3) = cos(x)⇔arccos(ln(y−3)) = x.
Portanto, f−1(x) = arccos(ln(x−3)).
2. Calcule apenas dois limites:
i. lim
x→−∞ x2ex∞×0
= lim
x→−∞
x2
e−x
∞
∞
=
Hlim
x→−∞
2x
−e−x
∞
∞
=
Hlim
x→−∞
2
e−x= 0.
ii. lim
x→1
x4−2x+ 1
(x−1)3
0
0
=
H= lim
x→1
4x3−2
3(x−1)2= +∞.
iii. lim
x→0+[cos(x)]1/x 1∞
= lim
x→0+e1
xln(cos(x)).
Uma vez que lim
x→0+
ln(cos(x))
x
0
0
=
Hlim
x→0+−tan(x)
1= 0, ent˜ao o limite inicial ´e igual a 1.
3. Dada a fun¸c˜ao f(x) = 3 + 1
2sinh(x2−x) utilize o diferencial para determinar uma estimativa do acr´escimo
de f, quando a abcissa do ponto varia de 1 para 0.95, e aproxime linearmente o valor de f(0.95).
Sabendo que f′(x) = 1
2(2x−1) cosh(x2−x), o acr´escimo de f´e dado por
∆f≈df =f′(x0)∆x=f′(1)∆x=1
2×(−0.05) = −0.025.
Al´em disso, f(0.95) ≈f(1) + f′(1)∆x= 3 −0.025 = 2.975.
4. Resolva uma das al´ıneas de acordo com o curso a que pertence:
(a) Mecˆanica - Determine os zeros da fun¸c˜ao f(x) = xcos(x) no intervalo [0, π] e mostre que entre os zeros
existe um ponto onde a reta tangente ao gr´afico de f´e horizontal.
No intervalo [0,π ] tem-se f(x) = 0 ⇔x= 0 ∨cos(x) = 0 ⇔x= 0 ∨x=π/2. Uma vez que
f′(x) = cos(x)−xsin(x) existe e ´e finita em IR, ent˜ao, a fun¸c˜ao f´e diferenci´avel e cont´ınua em IR.
Portanto, f´e regular no intervalo [0, π/2]. Por um corol´ario do teorema de Rolle, entre os zeros de uma
fun¸c˜ao regular existe um ponto conde a derivada se anula, ou seja, no ponto de abcissa ca reta tangente
ao gr´afico de f´e horizontal CQD.
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