Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
Frequˆencia de An´alise Matem´atica I
Dura¸c˜ao: 1h30 6 de janeiro de 2014
Regras para a realiza¸c˜ao da frequˆencia:
•Os equipamentos m´oveis devem estar desligados durante a realiza¸c˜ao da prova.
•N˜ao pode utilizar calculadora.
•N˜ao pode utilizar corretor e as resp ostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta.
•Pode trocar a ordem das quest˜oes, desde que identifique a sua resposta.
•Justifique convenientemente as suas respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resposta simplificada.
•Qualquer tentativa de fraude ser´a punida com a anula¸c˜ao imediata da prova.
1. Calcule o integral Z3
−2|2x−4|dx e indique o valor m´edio da fun¸c˜ao integranda no intervalo [−2,3].
2. Determine o valor do integral Zπ2/4
0
cos(√x)dx efetuando a substitui¸c˜ao x=t2.
3. Considere a regi˜ao plana Rlimitada pelas curvas y=1
x+ 1,y=x2+ 1 e x= 2.
(a) Represente a regi˜ao Re determine o valor da sua ´area.
(b) Determine o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao Rem torno do eixo das abcissas.
(c) Determine uma express˜ao que permita calcular:
i. O per´ımetro da regi˜ao.
ii. O volume do s´olido obtido pela rota¸c˜ao de Rem torno do eixo das ordenadas.
4. Resolva apenas duas das al´ıneas deste exerc´ıcio:
i. Calcule as primitivas: I. Zarctan(x)dx II. Ze2x
ex+ 1 dx.
ii. Seja huma fun¸c˜ao cont´ınua e peri´odica de per´ıodo T. Mostre que F(x) = Zx+T
x
h(t)dt ´e constante.
iii. Determine a natureza do integral Z+∞
0
2
(x+ 1)(x+ 3) dx.
5. Determina a solu¸c˜ao na forma expl´ıcita do problema de valor inicial: y0cos(t)−ysin(t) = 1, com y(π) = 1.
Cota¸c˜ao das perguntas
1 2 3(a) 3(b) 3(c)i 3(c)ii 4 5
1.0 1.25 1.25 1.0 0.5 0.5 1.5 1.0
1