Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Licenciatura em Engenharia Mecˆanica
Frequˆencia de An´alise Matem´atica I
Dura¸c˜ao: 1h30 5 de janeiro de 2015
Regras para a realiza¸c˜ao da frequˆencia:
•N˜
AO pode utilizar calculadora.
•Qualquer tentativa de fraude ser´a punida com a anula¸c˜ao imediata da prova.
•Os equipamentos m´oveis devem estar desligados durante a realiza¸c˜ao da prova.
•Pode trocar a ordem das quest˜oes, desde que as identifique devidamente.
•As respostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta e n˜ao pode utilizar corretor.
•Justifique convenientemente todas as respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resp osta simplificada.
1. Calcule o valor m´edio da fun¸c˜ao f(x) = |x2−1|no intervalo [−1,2].
2. Considere a regi˜ao plana limitada pelas curvas y=x2+ 1, y=e−xex= 1.
(a) Represente a regi˜ao no plano e determine o valor da sua ´area.
(b) Determine o volume do s´olido gerado pela rota¸c˜ao da regi˜ao, em torno do eixo das ordenadas.
(c) Indique uma express˜ao que permita calcular o per´ımetro da regi˜ao.
3. Calcule o valor do integral ∫1
0√(x+ 1)2−1
x+ 1 dx , efetuando a substitui¸c˜ao x= sec(t)−1.
4. Resolva apenas uma das al´ıneas deste exerc´ıcio:
(a) Calcule as primitivas: I. ∫x+ 1
x3−x2dx II. ∫(x+ex)2dx.
(b) Determine, se poss´ıvel, a ´area da regi˜ao ilimitada definida pelas condi¸c˜oes x≤ −1e0≤y≤1
1 + x2.
5. Determine, recorrendo a uma mudan¸ca de vari´avel, a solu¸c˜ao geral na forma expl´ıcita da equa¸c˜ao diferencial
y′′ = (et+ 1)y′.
Cota¸c˜ao das perguntas
1 2(a) 2(b) 2(c) 3 4 5
1.0 1.25 1.5 0.5 1.25 1.5 1.0
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