Álgebra Linear, Notas de estudo de Engenharia Informática

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Introdu¸c˜ao

`

A

Algebra Linear

Cristian Patricio Novoa Bustos

Departamento de Matem´atica e F´ısica

Universidade Cat´olica de Goi´as

Goiˆania-

Sum´ario

Pref´acio

Caros leitores, gostaria de enfatizar que este texto n˜ao tem a inten¸c˜ao de substituir

outros textos de

Algebra Linear, ao contrario, visto que este trabalho vem a contribuir e

complementar alguns textos j´a existentes.

Na verdade o desenvolvimento de este texto, ´e o fruto do trabalho desenvolvido junto

as turmas de Engenharia da Universidade Cat´olica de Goi´as, na disciplina de

Algebra

Linear, onde foi detectada a necessidade de ter um texto n˜ao muito extenso mas que

desse um bom suporte para esta disciplina de quatro cr´editos, por isto ´e que o nosso

enfoque ´e meramente introdut´orio, deixando alguns conte´udos de lado, como conceitos

de espa¸cos com produto interno e determinantes entre outros, tamb´em procuramos de

n˜ao colocar listas de exerc´ıcios muito extensas, mas n˜ao sem deixar de abranger todo o

conete´udo, procurando sempre introduzir novos conceitos, com a inten¸c˜ao de desenvolver

um racioc´ınio l´ogico abstrato.

Uma das grandes dificultadades observadas no decorrer do tempo ministrando esta

disciplina, ´e o desconhecimento de algumas estruturas alg´ebricas por parte dos alunos, e

como elas aparecem, como por exemplo a constru¸c˜ao dos Corpos Num´ericos, em particu-

lar os Reais e Complexos. Existem muitas constru¸c˜oes destas estruturas alg´ebricas, mas

usamos a teoria de Conjuntos e rela¸c˜oes de equivalˆencia para fazer isto. Estas id´eias s˜ao

dadas no nosso primeiro cap´ıtulo, que pode ser omitido dependendo do grau de familiari-

dade que o nosso leitor pode ter com os conceitos b´asicos de estruturas alg´ebricas.

J´a no segundo Cap´ıtulo, trabalhamos o conceito de matriz e exploramos suas pro-

priedades operat´orias, com a finalidade de caracterizar a invers˜ao de matrizes. Como uma

aplica¸c˜ao, vemos no cap´ıtulo trˆes, como trabalhar a invers˜ao de matrizes via opera¸c˜oes

elementares.

Agora, no Cap´ıtulo quatro trabalhamos o conceito de Espa¸co Vetorial e enfocamos

o nosso trabalho para Espa¸cos Vetoriais de dimens˜ao finita, tentando mostrar alguns

exemplos conhecidos pelo aluno a partir dos cursos de Calculo e claro em particular o

Espa¸co Vetorial formado pelas matrizes, estudado no Cap´ıtulo dois. Em particular s˜ao

explorados os conceitos de base e dimens˜ao e a rela¸c˜ao entre estes conceitos.

No cap´ıtulo cinco, fazendo uma analogia com fun¸c˜oes dos cursos de C´alculo e intro-

ducimos o conceito de Transforma¸c˜ao Linear entre Espa¸cos Vetoriais. Um dos objetivos

fundamentais deste Cap´ıtulo ´e dado pelo fato de que, se consideramos transforma¸c˜oes

Lineares entre Espa¸cos Vetoriais de dimens˜ao finita, ent˜ao existe uma correspˆondencia bi-

univoca com matrizes, isto ´e, Matrizes e transforma¸c˜oes Lineares entre espa¸cos Vetoriais

de dimens˜ao finita ”s˜ao a mesma coisa”. Desta forma todo o trabalho feito com matrizes

nos Cap´ıtulos dois e trˆes pode ser transportado para Transforma¸c˜oes Lineares. Como,

no cap´ıtulo dois estabelecemos uma parti¸c˜ao no conjunto das Matrizes, via a rela¸c˜ao de

semelhan¸ca, esta rela¸c˜ao ´e melhorada neste Cap´ıtulo via o C´alculo de autovalores e de

diagonaliza¸c˜ao de matrizes. Para fechar este Cap´ıtulo e trabalho damos uma pequena

aplica¸c˜ao de Diagonaliza¸c˜ao de matrizes no reconhecimento de Cˆonicas t˜ao conhecidas e

estudadas no curso de Geometria Anal´ıtica.

Gostaria de deixar registrado o meu agradecimento aos v´arios alunos dos nossos cursos

de Engenharia que leram vers˜oes preliminares deste texto e me apontaram as falhas, para

desta forma contribuir com a melhoria deste.

Cr´ıticas, sugest˜oes e informa¸c˜oes sobre eventuais erros ou enganos, ser˜ao muito bem

recebidas.

Cristian Patricio Novoa Bustos

[email protected]

CAP

ITULO 1. VETORES 4

Exemplo 1.1.1 Representemos geometricamente as seguintes situa¸c˜oes:

1. Uma for¸ca de 10 newtons na dire¸c˜ao Este 30

o Norte, como na figura (a) abaixo.

N

O

)

o

10 N

E

S Fig.^ (a)

N

O

15 N

30

o

⌢

E

S Fig.^ (b)

2. Uma for¸ca de 25 newtons na dire¸c˜ao Norte 30

o Este, como na figura acima.

Chamaremos de escalar a magnitud que ´e determinada pelo seu valor num´erico, que

´e a quantidade com rela¸c˜ao a uma unidade de medida do mesmo tipo. Como exemplos de

magnitudes escalares podemos citar, comprimento, massa, tempo, temperatura, trabalho

etc., e qualquer n´umero Racional Q, Real R, ou Complexo C. De agora em diante,

denotaremos por K o conjunto dos escalares.

´ Algebra Vetorial

Em esta se¸c˜ao mostraremos a estrutura algebrica que possui o conjunto de vetores, definido

na se¸c˜ao anterior, definindo uma opera¸c˜ao interna, que chamaremos de soma, e uma

opera¸c˜ao externa que chamaremos de produto por escalar, tentando extender as opera¸c˜oes

realizadas para o conjunto dos escalares K.

Defini¸c˜ao 1.2.1 Sejam

u e

v dois vetores. Diremos que os vetores

u e

v s˜ao equipo-

lentes se eles tem o mesmo modulo, a mesma dire¸c˜ao e sentido.

Geometricamente temos:

P Q

O

−→ u

R

−→ v

Se dois vetores

u e

v s˜ao equipolentes com a mesma origem, ent˜ao diremos que os

vetores

u e

v s˜ao iguais, que denotaremos por

u =

v.

Defini¸c˜ao 1.2.2 Seja

u um vetor. Chamaremos de vetor oposto ao vetor

u , que deno-

taremos por −

u , ao vetor que tem o mesmo modulo e dire¸c˜ao mas sentido oposto.

CAP

ITULO 1. VETORES 5

Geometricamente temos a seguinte figura:

P P

O

−→ u

−

−→ u

Agora estamos em condi¸c˜oes de definir formalmente uma lei de epera¸c˜ao interna entre

vetores, de seguinte forma.

Defini¸c˜ao 1.2.3 Sejam

u e

v dois vetores. Chamaremos de soma dos vetores

u e

−→ v , ao vetor

w que se obtem trasladando a origem do vetor

v ao extremo do vetor

−→ u e juntando a origem do vetor

u com o extremo do vetor

v , que denotaremos por

−→ w =

u +

v.

Veja que trasladando os dois vetores

u e

v a um origem comum, o vetor soma se

corresponde a diagonal do paralelograma com origem o origem comum (veja a figura

abaixo).

−→ u

−→ v

−→ v

−→ u

−→ u +

−→ v

A soma de

u +

v +

w , primeiro faz a soma de dois vetores, e o vetor resultante soma

com o terceiro vetor, desta forma podemos extender para qualquer soma finita de vetores

−→ u 1 + ... +

un.

Exemplo 1.2.1 Vamos usar a soma de vetores e as suas propriedades para provar um

resultado conhecido de geometria plana. Seja um triˆagulo ABC e sejam M e N os pontos

m´edios dos segementos AC e BC, respectivamente. Vamos provar que o segmento MN ´e

paralelo ao segmento AB e tem comprimento igual a metade do comprimento do segmento

AB. Ent˜ao devemos provar que ..!

MN | =

AB|

CAP

ITULO 1. VETORES 7

• α

u =

u α

• α(β

u ) = (αβ)

u

• (α + β)

u = α

u + β

u

• α(

u +

v ) = α

u + α

v

Um dos objetivos deste livro ´e estudar, entender e familiarizarnos um pouco

mais com os conjuntos que admitem as propriedades da proposi¸c˜ao anterior,

como veremos nos capitulos 4 e 5.

Defini¸c˜ao 1.2.6 Seja

v um vetor. Diremos que o vetor

v ´e unit´ario se o seu m´odulo

v | ´e uma unidade escalar.

Veja que se |

v |6= 0, ent¸cao o vetor

−→ v

|

−→ v |

´e um vetor unit´ario no mesmo sentido e dire¸c˜ao

que o vetor

v. Um sistema muito importante e conhecido, ´e o sistema dado pelos vetores

unit´arios associados aos eixos coordenados do sistema cartesiano do espa¸co, por exemplo,

cujos eixos s˜ao geralmente identificados com X, Y e Z, com sentidos positivos destes eixos,

e s˜ao denotados por

i ,

j e

k respectivamente, como mostra a figura abaixo.

Z

−→ k

−→ i

−→ j

Y

X Fig. (a)

Todo vetor

v pode ser representado elo produto de um vetor unit´ario

u na dire¸c˜ao e

sentido do vetor

v , isto ´e,

v =

−→ v

|

−→ v |

v |. Todo vetor do espa¸co R

3 pode ser representado

com a sua origem a origem do espa¸co R

3

. Sejam (x, y, z) as coordenadas cartesianas do

ponto extremo do vetor

v cuja origem ´e 0. Os vetores x

i , y

j , z

k s˜ao conhecidas como

as componentes retangulares do vetor

v nas dire¸c˜oes x, y, z respectivamente. Veja que a

soma dos trˆes vetores, x

i + y

j + z

k ´e novamente o vetor original

v istoe ´e,

v = x

i + y

j + z

k

CAP

ITULO 1. VETORES 8

onde o m´odulo ´e dado por:

v | =

x

2

• y

2

• z

2

Se a cada ponto (x, y, z) de uma determinada regi˜ao R do espa¸co R

3 associamos

um escalar dado pela fun¸c˜ao f (x, y, z), temos definido o que se conhece como campo

escalar, onde a fun¸c˜ao f (x, y, z) tambem ´e conhecida como fun¸c˜ao escalar de posi¸c˜ao.

Vejamos os seguintes exemplos.

Exemplo 1.2.2 1. Para cada posi¸c˜ao de um carro, hoje em dia usamos o famoso GPS

para fazer isto, podemos associar a temperatura do motor mun determinado instante.

Ent˜ao esta fun¸c˜ao de associar a temperatura pode ser vista como um campo escalar.

2. A fun¸c˜ao f (x, y, z) = x

2

• y

2

• z

2 determina um campo escalar.

Um outro campo muito conhecido ´e o campo vetorial, onde em cada ponto (x, y, z)

de uma determinada regi˜ao R do espa¸co R

3 associamos um vetor dado pela fun¸c˜ao

−→

f (x, y, z) =

v , esta fun¸c˜ao tambem ´e conhecida como fun¸c˜ao vetorial ou de posi¸c˜ao

vetorial.

Exemplo 1.2.3 1. Para cada carro, determinamos a sua posi¸c˜ao, hoje em dia usamos

o famoso GPS para fazer isto, que ´e vetorial, e podemos associar a sua velocidade

mun determinado instante, que tambem ´e vetorial. Ent˜ao esta fun¸c˜ao de associar a

velocidade a cada carro pode ser vista como um campo vetorial.

2. A fun¸c˜ao

f (x, y, z) = x

2 y

i + y

2 z

2

j + xz

k determina um campo vetorial.

1.2.1 Exerc´ıcios

1. Das grandesas a seguir, indique quais s˜ao escalar e quais s˜ao vetoriais.

(a)P eso (c)Densidade (e)Energia (g)velocidade

(b)Calor (d)Impetu (f )P otencia (h)distˆancia

2. Um automovel percorre 3Km na dire¸c˜ao Norte e logo 5Km na dire¸c˜ao Nordeste.

Represente geometricamente o deslocamento e calcule o vetor resultante.

3. Considere os seguintes deslocamentos:

u = 10m na dire¸c˜ao Nordeste

v = 20m , na dire¸c˜ao Este

w = 35m na dire¸c˜ao Sur

Ent˜ao calcule

u +

v ;

u −

w ;

v +

v −

w e fa¸ca a sua representa¸c˜ao geometrica.

4. Sejam

u ,

v vetores. Mostre que

u +

v =

v +

u.

CAP

ITULO 1. VETORES 10

J´a temos ent˜ao uma f´ormula para calcular o produto escalar que n˜ao depende dire-

tamente do ˆangulo entre eles. Substituindo-se as coordenadas dos vetores na identidade

acima, temos uma express˜ao mais simples para o c´alculo do produto interno. Por ex-

emplo, se

u = (u 1 , u 2 , u 3 ) e

v = (v 1 , v 2 , v 3 ) s˜ao vetores no espa¸co, ent˜ao substituindose

u |

2 = u

2

1

• u

2

2

• u

2

3

v |

2 = v

2

1

• v

2

2

• v

2

3

e |

u −

v |

2 = (u 1 − v 1 )

2

• (u 2 − v 2 )

2

• (u 3 − v 3 )

2

na igualdade anterior, os termos u

2 i

e v

2 i

s˜ao cancelados e obtemos a seguinte express˜ao

u ·

v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

Vejamos algumas propriedades na seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 1.3.1 Sejam

u ,

v e

w vetores e α um escalar. Ent˜ao s˜ao v´alidas:

u ·

v =

v ·

u

u · (

v +

w ) =

u ·

v +

u ·

w

3. α(

u ·

v ) = (α

u ) ·

v

Defini¸c˜ao 1.3.2 Sejam

u e

v dois vetores. Chamaremos de produto vetorial, ou pro-

duto externo dos vetores

u e

v ao vetor

c =

u ×

v dado por:

c =

u ×

v = det

i

j

k

u 1 u 2 u 3

v 1 v 2 v 3

i

j

k

u 1 u 2 u 3

v 1 v 2 v 3

Algumas propriedades do produto vetorial s˜ao dadas na seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 1.3.2 Sejam

u ,

v e

w vetores e α um escalar. Ent˜ao s˜ao v´alidas:

u ×

v = −

v ×

u

u × (

v +

w ) =

u ×

v +

u ×

w

3. α(

u ×

v ) = (α

u ) ×

v =

u × (α

v ) = (

u ×

v )α

i ×

i =

j ×

j =

k ×

k = 0,

i ×

j =

k ,

j ×

k =

i ,

k ×

i =

i

5. O m´odulo do vetor

u ×

v representa a ´area do paralelogramo de lados

u e

v.

6. Se

u ×

v = 0 onde nenhum dos vetores ´e nulo, ent˜ao os dois vetores tem a mesma

dire¸c˜ao.

CAP

ITULO 1. VETORES 11

1.3.1 Exerc´ıcios

1. Ache o ˆangulo formado pelos vetores

u = 2

i + 3

j −

k e

v = 6

i + 3

j + 2

k.

2. Ache o valor de α de forma que os vetores

u = 2

i + α

j +

k e

v = 4

i − 2

j −

k

sejam ortogonais.

3. Mostre que os seguinte vetores

u = 3

i − 2

j +

k ;

v =

i − 3

j + 5

k e

w = 2

i +

j − 4

k formam um triˆangulo.

4. Mostre a proposi¸c˜ao 1.3.2.
5. Sejam

u = 2

i − 3

j −

k e

v = 1

i + 3

j + 6

k calcule

a

u ×

v

b

v ×

u

c (

u +

v ) × (

u −

v )

6. Calcule a ´area do triˆangulo de v´ertices P (1, 3 , 2), Q(2, − 1 , 1), R(1, 2 , 3).
7. Calcule o momento de uma for¸ca

F com rela¸c˜ao a um ponto P.

CAP

ITULO 2. MATRIZES 13

Denotaremos por Mn,m o conjunto de todas as matrizes de n linhas e m colunas,

simbolicamente temos:

Mn,m(K) = Mn,m = {A = (ai,j )n,m/ai,j ∈ K, ∀i = 1, · · · , n; j = 1, · · · , m}

Exemplo 2.1.1 Vejamos agora alguns exemplos da defini¸c˜ao anterior.

1. Um dos exemplos mais simples de ordena¸c˜ao matricial, ´e observar a ordena¸c˜ao das

cadeiras na sala de aula, ou das poltronas num cinema, sempre s˜ao dados em linhas

e colunas.

2. Os escalares de forma geral podem ser vistos como matrizes de ordem 1 × 1.
3. Uma linha de uma matriz A = (aij )n,m, digamos A

i = (ai 1 · · · aij · · · aim) pode ser

considerada como uma matriz de ordem 1 ×m, de maneira an´aloga podemos definir a

matriz coluna dada por uma coluna da matriz A = (aij )n como sendo Aj =

a 1 j

anj

4. Consideremos o seguinte diagrama:

A forma matricial deste diagrama ´e dado por :

A =

= (aij )n,m

Onde aij = 1 se o ponto i est´a ligado ao ponto j, e aij = 0, se o ponto i n˜ao est´a

ligado ao ponto j. Esta matriz ´e conhecida como matriz de incidˆencia.

5. Considere o plano projetivo de Fano, de ordem dois e construa a sua matriz de

incidˆencia.

Defini¸c˜ao 2.1.2 Diremos que duas matrizes da mesma ordem A = (aij )m,n e B =

(bij )m,n s˜ao iguais se aij = bij ∀i, j

CAP

ITULO 2. MATRIZES 14

2.1.1 Exerc´ıcios

1. Escreva a matriz A = (aij ) 2 , 3 tal que aij = ij + 2i − j.
2. (a) Escreva a matriz A = (aij ) 4 , 4 , tal que :

A =

aij = − 1 se i > j

aij = 1 se i ≤ j

(b) Escreva a matriz A = (aij ) 3 , 3 tal que aij = −aji

3. Ache os poss´ıveis valores de x e de y, tais que :

(a) (

2 2

0 x

2 − 2

y x

(b) (

x y

x

2 y

2

4. Seja A = (aij )n e definamos tr(A) =

n

i=

aii que ´e conhecida como tra¸co da matriz

A, ent˜ao mostre que tr(tr(A)) = tr(A).

5. Suponha que existe uma rela¸c˜ao de dominˆancia entre quatro terminais, dada pelo

seguinte diagrama:

onde cada seta indica a dominˆancia do ponto i sobre o ponto j. Passe para linguagem

matricial este diagrama (supondo que nenhum ponto domine ele mesmo).

2.2 Adi¸c˜ao de Matrizes

Recordemos que tanto a adi¸c˜ao como a subtra¸c˜ao entre os n´umeros ´e uma fun¸c˜ao, ou

tamb´em conhecida como opera¸c˜ao binaria ou interna, onde s˜ao relacionados dois elementos

do mesmo conjunto, e ap´os esta rela¸c˜ao ou mistura entre eles, obtemos um novo elemento

do mesmo conjunto. Ser´a que o relacionamento entre animais da mesma especie satisfaz

esta condi¸c˜ao?. Ser´a que com as matrizes isto ´e v´alido?, ent˜ao vejamos a seguinte defini¸c˜ao.

CAP

ITULO 2. MATRIZES 16

Exemplo 2.2.2 Uma Universidade, pretende utilizar o periodo de recezo das ferias para

fazer a instala¸c˜ao de ar condicionado central nos blocos D, EeF do centreo de Ciˆencias

exatas. Ent˜ao faz uma licita¸c˜ao para a realiza¸c˜ao desta obra, e pede que seja discriminado

o custo por bloco, pois pode pegar a obra por bloco, e seleciona trˆes propostas, que deno-

taremos por Emp.1, Emp.2 e Emp.3, como discriminada abaixo(os valores s˜ao relativos a

R$1. 000 , 00 reais) :

Bl D Bl E Bl F

Emp.1 53 96 37

Emp.2 47 87 41

Emp.3 60 92 36

Ent˜ao, a Universidade est´a interessada na proposta de menor custo, e cada empressa

s´o pode pegar um bloco para fazer. Como calcular a melhor proposta. Na verdade temos

3! = 3 × 2 × 1 possibilidades. Ent˜ao ´as propostas podem ser vistas de maneira matricial

como segue : 

Ent˜ao estas seis propostas s˜ao dadas por :

(a)

 (b)

 (c)

(d)

 (e)

 (f)

Onde a proposta (a) = 53 + 87 + 36 = 176 a proposta (b) = 53 + 92 + 41 = 186

a proposta (c) = 47 + 96 + 36 = 179 a proposta (d) = 47 + 92 + 37 = 176 a proposta

(e) = 60+96+41 = 197 e finalmente a proposta (f) = 60+87 = 37 = 184. Mostrando que

a proposta (a) e (d) s˜ao as melhores. Claramente o m´etodo anterior ´e muito ”primitivo”ja

em programa¸c˜ao Linear poderam estudar m´etodos mais eficientes.

Proposi¸c˜ao 2.2.1 Sejam A, B e C ∈ Mn,m, ent˜ao ´e valido que :

i) Associatividade (A + B) + C = A + (B + C)

ii) Neutro ∃ (^0) n,m ∈ Mn,m tal que A + (^0) n,m = (^0) n,m + A = A

iii) Inverso ∀A ∈ Mn,m existe a matriz −A ∈ Mn,m tal que A + (−A) = (^0) n,m

iv) Comutatividade A + B = B + A

CAP

ITULO 2. MATRIZES 17

2.3 Multiplica¸c˜ao por Escalar

Anteriormente definimos uma rela¸c˜ao bin´aria, como sendo uma fun¸c˜ao que relacionava

dois elementos do mesmo conjunto, e obtendo como resultado um novo elemento do mesmo

conjunto, como faz a adi¸c˜ao de matrizes. Agora estamos interessados em relacionar o corpo

K com o conjunto das matrizes de ordem n × m por exemplo, e obter desta rela¸c˜ao uma

nova matriz de ordem n × m. Como fazer isto ´e o que mostra a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.3.1 Chamaremos de produto por escalar, ´a opera¸c˜ao externa · : K×Mn,m−→Mn,m

dada da seguinte forma: Sejam α ∈ K e A ∈ Mn,m ent˜ao

α · A = (αaij )n,m

Veja que a opera¸c˜ao externa produto por escalar nada mais ´e multiplicar cada uma

das entradas da matriz A ∈ Mn,m pelo escalar α ∈ K. Vejamos agora alguns exemplos.

Exemplo 2.3.1 Sejam

, α 1 = 2, e α 2 = π. Ent˜ao calculemos

α 1 · A − α 2 · A

Exemplo 2.3.2 Seja A ∈ Mn e λ ∈ K, ent˜ao calculemos λ · In − A.

Proposi¸c˜ao 2.3.1 Sejam A, B ∈ Mn,m e α, α 1 , α 2 ∈ K, ent˜ao s˜ao v´alidas:

1. (α 1 + α 2 ) · A = α 1 · A + α 2 · A
2. α · (A + B) = α · A + α · B
3. α 1 (α 2 · A) = (α 1 α 2 ) · A
4. 1 · A = A, − 1 · A = −A, 0 · A = (^0) n,m

De agora em diante consideraremos α · A = αA.

Exemplo 2.3.3 Seja X ∈ M 3. Ent˜ao procuremos o valor da matriz X tal que satisfaz

a seguinte igualdade:

−4(X +

) = 5X +