GEOMETRIA ANALÍTICA E
ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Elias Almeida
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Álgebra linear aplicada, Esquemas de Geometria Analítica e Álgebra Linear
Exercícios sobre álgebra linear
Tipologia: Esquemas
2023
1 / 21
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GEOMETRIA ANALÍTICA E
ÁLGEBRA LINEAR
Prof. Elias Almeida
Tópicos Estudados
Determinante e matriz inversa:
Aspectos introdutórios e conceitos preliminares,
definição e propriedades.
Desenvolvimento de Laplace, Regra de Cramer.
Procedimento para inversão de matrizes
Matriz de ordem 1: o determinante é igual ao único elemento da matriz. Ex: A = [3]
e det A = |3| = 3
Matriz de ordem 2: o determinante é obtido pela diferença entre o produto dos
elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.
Exemplo:
II. Cálculo do determinante
1.Copiam-se, ao lado da matriz,
suas duas primeiras colunas.
- Multiplicam-se os elementos da diagonal principal
e também o das outras duas filas paralelas e à
sua direita. Somam-se
os resultados:
- Multiplicam-se os elementos da diagonal
secundária; o mesmo deve ser feito com as duas
outras filas paralelas e à sua direita. Ao final,
somam-se os resultados:
II. Cálculo do determinante
Considere a matriz A =
Matriz de ordem 3: o determinante é obtido pela regra de Sarrus.
Menor Complemento
- Se A é uma matriz, então o determinante
menor entrada a
ij
, é denominado por |A
ij
|
e definido como o determinante da
submatriz que sobra quando suprimimos a
i-ésima linha e a j-ésima coluna de A.
III. Matriz reduzida e cofator
Matriz reduzida A
ij
: é obtida eliminando-se a i -ésima linha e a j -
ésima coluna da matriz A.
Matriz reduzida A
21
: é obtida retirando-se a segunda linha e a
primeira coluna da matriz original:
O cofator do elemento a
ij
da matriz A é o número C
ij
dado por: C
ij
= (-1)
i + j.
|A
ij
|, em que |A
ij
| é o determinante da matriz reduzida A
ij
.
Considere a matriz A =
IV. Teorema de Laplace
- O determinante de uma matriz quadrada
M = [a
ij
]
mxn
pode ser obtido pela soma dos
produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz M
pelos respectivos co-fatores.
IV. Teorema de Laplace
IV. Teorema de Laplace
Exemplo
IV. Teorema de Laplace
Se A é uma matriz nxn e C
ij
é o co-fator de
a
ij
,então a matriz
é chamada matriz de co-fatores de A. A
transposta desta matriz é chamada de
adjunta de A e denotada por adj(A).
Regra de Cramer
- Teorema:
Regra de Cramer
a
11
x
1
- a
12
x
2
- a
13
x
3
- ... + a
1n
x
n
b
1
a
21
x
1
- a
22
x
2
- a
23
x
3
- ... + a
2n
x
n
b
2
a
n
x
1
- a
n
x
2
- a
n
x
3
- ... + a
nn
x
n
b
n
a
a
11
11
a
a
12
12
a
a
13
13
... a
... a
1n
1n
a
a
21
21
a
a
22
22
a
a
23
23
... a
... a
2n
2n
a
a
n
n
a
a
n
n
a
a
n
n
... a
... a
nn
nn
det (A) =
det (A) =
a
a
1111
a
a
1212
a
a
1313
... b
... b
11
a a
2121
aa
2222
aa
2323
...... bb
22
..
.
.
..
..
.
.
..
a a
n1n
aa
n2n
aa
n3n
...... bb
nn
det (A det (A
nn
) =) =
..
.
.
.
.
Se det (A) 0 temos:
Regra de Cramer
det(A
1
x
1
det(A)
, x
2
det (A
3
, x
3
det(A)
det(A
n
x
n
det(A)
det(A
2
det(A)
det(A)=
det(A)=
det(A
det(A
11
det(A
det(A
2
2
3x + 2y = 8
3x + 2y = 8
x – y = 1
x – y = 1
x =
x =
det(A
det(A
11
det(A)
det(A)
y =
y =
det(A
det(A
22
det(A)
det(A)
S = {(x, y)}
S = {(x, y)}
S = {(2, 1)}
S = {(2, 1)}
Exemplo:
Regra de Cramer