Álgebra Pura 2 , Notas de estudo de Matemática Computacional

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ALGEBRA´

Pedro V. Silva

Mestrado em Matem´atica – Fundamentos e Aplica¸c˜oes 2003/

Departamento de Matem´atica Pura

Faculdade de Ciˆencias do Porto

´Indice

• 1. An´eis e m´odulos
  • 1.1. APENDICE: An´ˆ eis de polin´omios
  • 1.2. APENDICE:ˆ Z-m´odulos finitamente gerados
  • 1.3 Exerc´ıcios
• 2. An´eis primitivos e an´eis primos
  • 2.1. APENDICE: An´ˆ eis com ideais `a esquerda minimais
  • 2.2. APENDICE: O Teorema de Connellˆ
  • 2.3 Exerc´ıcios
• 3. An´eis semi-simples
  • 3.1. APENDICE: M´ˆ odulos simples
  • 3.2. APENDICE: Subm´ˆ odulos essenciais
  • 3.3 Exerc´ıcios
• 4. O radical de Jacobson
  • 4.1. APENDICE: O Teorema de Amitsurˆ
  • 4.2. APENDICE: Nilsubsemigrupos de um anel artinianoˆ
  • 4.3 Exerc´ıcios
• 5. M´odulos projectivos e injectivos
  • 5.1. APENDICE: An´ˆ eis heredit´arios
  • 5.2. APENDICE:ˆ Z-m´odulos injectivos
  • 5.3 Exerc´ıcios
• Bibliografia

A propriedade expressa pela terceira condi¸c˜ao ´e designada por distributivi- dade. Os elementos neutros da soma e do produto s˜ao designados por 0 e 1 respectivamente. E habitual escrever´ ab em vez de a · b. Um anel com um ´unico elemento diz-se trivial. ´e f´acil ver que um anel ´e n˜ao-trivial se e s´o se 1 6 = 0. A menos que se diga o contr´ario, todos os an´eis considerados neste curso s˜ao n˜ao-triviais. Em geral, para simplificar nota¸c˜ao, representamos um anel (R, +, ·) pelo conjunto R simplesmente.

Exemplo 1.1 Os conjuntos Z, Q, R e C, com as opera¸c˜oes usuais de soma e produto, s˜ao an´eis.

Exemplo 1.2 An´eis de matrizes

Seja R um anel e n ∈ N. Designamos por Mn(R) o conjunto de todas as matrizes n × n com entradas em R. Com a soma e produto usuais de matrizes, Mn(R) constitui um anel. Relembramos que os elementos de Mn(R) se podem representar na forma a = (aij ), onde i, j tomam valores no conjunto { 1 ,... , n}. Soma e produto podem ent˜ao ser definidas atrav´es das express˜oes

(a + b)ij = aij + bij ,

(ab)ij =

∑^ n

k=

aikbkj.

Designamos por εij a matriz em Mn(R) cuja entrada (i, j) ´e 1, sendo as

restantes 0. E claro que´

a =

∑^ n

i=

∑^ n

j=

aij εij

para toda a matriz a ∈ Mn(R). 

Exemplo 1.3 An´eis de polin´omios

Seja R um anel. O anel dos polin´omios em x com coeficientes em R, designado por R[x], consiste em todas as somas formais do tipo

i≥ 0 rix

i

(ri ∈ R) tais que apenas um n´umero finito de coeficientes ri s˜ao diferentes de 0; soma e produto s˜ao definidas por

(

i≥ 0

rixi) + (

i≥ 0

sixi) =

i≥ 0

(ri + si)xi,

i≥ 0

rixi)(

i≥ 0

sixi) =

i≥ 0

j≥ 0

(risj )xi+j^.

O coeficiente (n˜ao nulo) do termo de maior grau ´e designado por coeficiente- guia. 

Exemplo 1.4 An´eis de grupo

Seja R um anel e G um grupo. O anel de grupo R[G] consiste em todas as somas formais do tipo

g∈G rgg^ (rg^ ∈^ R) tais que apenas um n´umero finito de coeficientes rg s˜ao diferentes de 0; soma e produto s˜ao definidas por

(

g∈G

rgg) + (

g∈G

sgg) =

g∈G

(rg + sg)g,

g∈G

rgg)(

g∈G

sgg) =

g∈G

h∈G

(rgsh)(gh).

Um anel diz-se comutativo se o produto for comutativo. Um anel satis- fazendo a condi¸c˜ao ab = 0 ⇒ (a = 0 ∨ b = 0)

diz-se um dom´ınio; um dom´ınio comutativo diz-se um dom´ınio de integridade. Um elemento r ∈ R diz-se invert´ıvel a esquerda (respectivamentea direita) se existir b ∈ R tal que ba = 1 (respectivamente ab = 1). Dizemos que r ´e invert´ıvel se existir b ∈ R tal que ab = ba = 1. Se todos os elementos de R{ 0 } forem invert´ıveis (o que equivale a (R{ 0 }, ·) constituir um grupo), dizemos que R ´e um anel de divis˜ao. Um anel de divis˜ao comutativo diz-se um corpo. Seja S ⊆ R. Dizemos que S ´e um subanel de R se 0, 1 ∈ S e S constitui um anel com as opera¸c˜oes induzidas de R. A condi¸c˜ao sobre as opera¸c˜oes induzidas equivale a exigir que

a, b ∈ S ⇒ a + b, −a, ab ∈ S.

Uma fun¸c˜ao ϕ : R → S entre an´eis R e S diz-se um homomorfismo (de an´eis) se

• 1 ϕ = 1

Seja R um anel. Definimos um R-m´odulo (`a esquerda) como sendo um grupo abeliano M munido de uma opera¸c˜ao R × M → M (designada por produto escalar) tal que

• r(x + x′) = rx + rx′
• (r + r′)x = rx + r′x
• r(r′x) = (rr′)x
• 1 x = x

para todos r, r′^ ∈ R e x, x′^ ∈ M. Dualmente, define-se R-m´odulo a direita, com o produto escalar M × R → M. Ao longo do curso, concentraremos as nossas aten¸c˜oes nos m´odulosa esquerda, omitindo os resultados an´alogos para m´odulos `a direita.

Exemplo 1.7 Um anel R ´e R-m´odulo a esquerda ea direita de si pr´oprio, com o produto escalar igual ao produto de R. Os seus subm´odulos s˜ao ent˜ao, respectivamente, os ideais a esquerda e os ideaisa direita.

Exemplo 1.8 Os m´odulos sobre um corpo F s˜ao precisamente os espa¸cos vectoriais sobre F.

Exemplo 1.9 Os Z-m´odulos s˜ao essencialmente os grupos abelianos, pois todo o grupo abeliano tem subjacente uma estrutura natural de Z-m´odulo.

Dado um R-m´odulo M , dizemos que N ⊆ M ´e um subm´odulo de M se

• N ´e um subgrupo aditivo de M ;
• ∀r ∈ R ∀x ∈ N rx ∈ N.

Ent˜ao N ´e ele pr´oprio um R-m´odulo e escrevemos N ≤ M. Caso N 6 = M , o subm´odulo N diz-se pr´oprio e escrevemos N < M. Sejam M e N R-m´odulos. Uma fun¸c˜ao ϕ : M → N diz-se um homomor- fismo (de R-m´odulos) se

• (x + y)ϕ = xϕ + yϕ
• (rx)ϕ = r(xϕ)

para todos x, y ∈ M e r ∈ R. Analogamente se define homomorfismo de R-m´odulos `a direita. Se N = M , dizemos que ϕ ´e um endomorfismo de M. Dizemos que o homomorfismo ϕ : M → N ´e um isomorfismo se for invert´ıvel. E f´´ acil de ver que um homomorfismo ´e um isomorfismo se e s´o se for bijectivo. Se existir um isomorfismo entre dois R-m´odulos M e N , escrevemos M ∼= N e dizemos que M e N s˜ao isomorfos. Dado um homomorfismo (de R-m´odulos) ϕ : M → N , definimos o n´ucleo de ϕ como sendo Kerϕ = 0ϕ−^1. E imediato que Ker´ ϕ ≤ M. Dado um subm´odulo N de um R-m´odulo M , designamos por M/N o conjunto dos subconjuntos de M da forma x+N. Estes subconjuntos definem uma parti¸c˜ao de M. Definimos uma estrutura de R-m´odulo em M/N atrav´es de (x + N ) + (y + N ) = (x + y) + N, r(x + N ) = rx + N.

Os detalhes ficam como exerc´ıcio. Dizemos que M/N ´e o m´odulo quociente de M por N. Analogamente se define o quociente de um anel por um seu ideal. E imediato que a projec¸´ c˜ao

ϕ : M → M/N x 7 → x + N

´e um homomorfismo com n´ucleo N , logo os n´ucleos de homomorfismos de dom´ınio M s˜ao precisamente os subm´odulos de M.

Teorema 1.10 Seja ϕ : M → M ′^ um homomorfismo de R-m´odulos e seja N ≤ Kerϕ. Ent˜ao a fun¸c˜ao Φ : M/N → M ′^ definida por (x + N )Φ = xϕ ´e um homomorfismo. Al´em disso, se ϕ for sobrejectiva e N = Kerϕ, ent˜ao Φ ´e um isomorfismo.

Dem. Exerc´ıcio. 

Corol´ario 1.11 Seja M um R-m´odulo. Se M 1 , M 2 ≤ M , ent˜ao M 1 + M 2 , M 1 ∩ M 2 ≤ M e (M 1 + M 2 )/M 2 ∼= M 1 /(M 1 ∩ M 2 ).

Dem. Exerc´ıcio. 

Teorema 1.13 Seja M um R-m´odulo com base X. Seja N um R-m´odulo e ϕ : X → N uma fun¸c˜ao. Ent˜ao existe um e um s´o homomorfismo Φ : M → N tal que Φ |X = ϕ.

Dem. Exerc´ıcio. 

E muito f´^ ´ acil mostrar que nem todos os R-m´odulos s˜ao livres (por exem- plo, um grupo abeliano finito n˜ao-trivial n˜ao ´e livre enquanto Z-m´odulo) mas a situa¸c˜ao simplifica-se no caso dos an´eis de divis˜ao:

Teorema 1.14 Seja M um m´odulo sobre um anel de divis˜ao D. As condi¸c˜oes seguintes s˜ao equivalentes para um subconjunto X de M :

(i) X ´e um subconjunto gerador minimal de M ;

(ii) X ´e um subconjunto independente maximal de M ;

(iii) X ´e uma base de M.

Dem. (i) ⇒ (ii). Seja X um subconjunto gerador minimal de M. Suponha- mos que d 1 x 1 +... + dnxn = 0 com di ∈ D e xi ∈ X distintos. Se dj 6 = 0 para algum j, ent˜ao dj xj ∈ D(X{xj }) e logo

xj = d− j 1 dj xj ∈ D(X{xj }),

o que implica M = DX = D(X{xj }), contradizendo (i). Logo X ´e inde- pendente. Como X gera M , ´e imediato que X ´e maximal. (ii) ⇒ (i). Seja X um subconjunto independente maximal de M. Seja y ∈ M. Vamos mostrar que y ∈ DX. Se y ∈ X, ´e imediato. Caso contr´ario, X ∪ {y} ´e dependente e resulta da independˆencia de X que dy ∈ DX para algum d ∈ D{ 0 }. Logo y = d−^1 dy ∈ DX e concluimos que X gera M. Por outro lado, se X′^ ⊂ X, resulta da independˆencia de X que X 6 ⊆ DX′. Logo X′^ n˜ao gera M e X ´e gerador minimal. (i),(ii) ⇒ (iii). Por defini¸c˜ao. (iii) ⇒ (ii). Suponhamos que X ´e uma base de M. Por defini¸c˜ao, X ´e independente. Seja y ∈ M \X. Como y ∈ M = DX, X ∪ {y} ´e dependente e logo X ´e independente maximal. 

Corol´ario 1.15 Seja M um m´odulo sobre um anel de divis˜ao D. Ent˜ao M ´e livre.

Dem. Pelo resultado anterior, basta mostrar que M tem um subconjunto independente maximal, o que resulta facilmente do Lema de Zorn. 

Mostramos a seguir que duas bases de um m´odulo sobre um anel de divis˜ao tˆem necessariamente a mesma cardinalidade.

Teorema 1.16 Seja M um m´odulo sobre um anel de divis˜ao. Se X e Y s˜ao bases de M , ent˜ao |X| = |Y |.

Dem. Vamos provar apenas o caso em que o m´odulo ´e finitamente gerado, usando indu¸c˜ao sobre a cardinalidade m´ınima n de uma base de M. Como o caso n = 0 (M = { 0 }) ´e trivial, assumimos que |X| = n > 0 ´e uma base de M de cardinalidade m´ınima e que o resultado ´e v´alido para m´odulos com bases de cardinalidade inferior. Sejam X = {x 1 ,... , xn} e Y = {y 1 ,... , ym}. Dado d ∈ D{ 0 }, temos que {dy 1 ,... , dym} ´e tamb´em uma base de M. Usando este facto, e trocando a ordem dos yi caso necess´ario, podemos assumir que x 1 ∈ y 1 + N , onde N = D(Y {y 1 }). Para cada i = 2,... , n, suponhamos que xi ∈ λiy 1 + N. Note-se que x 1 ∈/ N , caso contr´ario y 1 ∈ N e Y n˜ao seria independente. E um exerc´´ ıcio simples mostrar que

X′^ = {x 2 − λ 2 x 1 ,... , xn − λnx 1 }

´e uma base de N. Como |X′| = n−1 e {y 2 ,... , ym} ´e claramente uma base de N , resulta da hip´otese de indu¸c˜ao que n−1 = m−1. Logo |Y | = m = n = |X| e o teorema ´e v´alido. 

A cardinalidade de uma base de um D-m´odulo livre (D anel de divis˜ao) diz-se a dimens˜ao de M (sobre D) e ´e designada por [M : D].

Teorema 1.17 Se {x 1 ,... , xn} ´e uma base do R-m´odulo M , ent˜ao EndRM ∼= Mn(R).

Dem. Definimos uma fun¸c˜ao ϕ : Mn(R) → EndRM do seguinte modo: dada uma matriz a = (aij ) ∈ Mn(R), ent˜ao aϕ ´e o endomorfismo de M definido por

xi(aϕ) =

∑^ n

j=

aij xj

para i = 1,... , n. Pela propriedade universal dos m´odulos livres, a fun¸c˜ao ϕ est´a bem definida. Os restantes detalhes ficam como exerc´ıcio. 

Lema 1.18 Seja D um dom´ınio. Ent˜ao D[x] ´e um dom´ınio.

Dem. Sejam f, g ∈ D[x] n˜ao nulos, digamos

f = anxn^ +... + a 1 x + a 0 , g = bmxm^ +... + b 1 x + b 0

com an, bm 6 = 0. Ent˜ao f g = anbmxn+m^ + h para algum h ∈ D[x] de grau < n + m. Como D ´e um dom´ınio, temos anbm 6 = 0, logo f g 6 = 0 e D[x] ´e um dom´ınio. 

O resultado seguinte generaliza o algoritmo de divis˜ao dos n´umeros in- teiros ao caso da divis˜ao (`a esquerda) de polin´omios.

Teorema 1.19 Seja D um anel de divis˜ao e sejam f, g ∈ D[x] com g 6 = 0. Ent˜ao existem q, r ∈ D[x] tais que f = qg + r e gr(r) < gr(g). Al´em do mais, q e r s˜ao ´unicos.

Dem. Seja Y = {f − hg | h ∈ D[x]}.

Seja r ∈ Y de grau m´ınimo, e seja q ∈ D[x] tal que r = f − qg. Suponhamos que gr(r) ≥ gr(g). Podemos escrever

r = rnxn^ +... + r 1 x + r 0 e g = smxm^ +... + s 1 x + s 0

com rn, sm 6 = 0. Como n ≥ m, temos r = rns− m^1 xn−mg + p para algum p ∈ D[x] com gr(p) < n. Logo

p = r − rns− m^1 xn−mg = f − (q + rns− m^1 xn−m)g ∈ Y,

contradizendo a minimalidade de gr(r). Logo gr(r) < gr(g). Suponhamos agora que f = q 1 g + r 1 = q 2 g + r 2 com gr(r 1 ), gr(r 2 ) < gr(g). Ent˜ao (q 1 − q 2 )g = r 2 − r 1. Se q 1 − q 2 6 = 0, resulta imediatamente que

gr(r 2 − r 1 ) = gr(q 1 − q 2 ) + gr(g) ≥ gr(g),

contradizendo gr(r 1 ), gr(r 2 ) < gr(g). Logo q 1 = q 2 e consequentemente r 1 = r 2 , provando a unicidade. 

A demonstra¸c˜ao anterior cont´em de facto o princ´ıpio de um algoritmo que permite calcular efectivamente q e r. Sejam

f = anxn^ +... + a 1 x + a 0 e g = bmxm^ +... + b 1 x + b 0

com an, bm 6 = 0. Se gr(f ) < gr(g), tomamos q = 0 e r = f. Se gr(f ) ≥ gr(g), escrevemos f = anb− m^1 xn−mg + p

para algum p ∈ D[x] com gr(p) < gr(f ), e reduzimos o problema da divis˜ao de f por g a divis˜ao de p por g. Como o grau dos dividendos n˜ao pode diminuir indefinidamente, o algoritmo acaba por terminar ao fim de um n´umero finito de passos. Observamos tamb´em que, de forma dual, podemos considerar a divis˜aoa direita f = gq′^ + r, sendo tudo absolutamente an´alogo ao caso da divis˜ao a esquerda. Um dom´ınio D diz-se um dom´ınio de ideaisa esquerda principais se todo o ideal `a esquerda de D for principal, ou seja, da forma Da, para algum a ∈ D.

Teorema 1.20 Seja D um dom´ınio. Ent˜ao D[x] ´e um dom´ınio de ideais `a esquerda principais.

Dem. Seja R = D[x] e L Ee R. Se L = 0, temos L = R0 trivialmente, logo podemos assumir que L 6 = 0. Seja g ∈ L{ 0 } de grau m´ınimo. E claro que´ Rg ⊆ L. Reciprocamente, seja f ∈ L. Pelo algoritmo de divis˜ao, existem q, r ∈ R tais que f = qg + r e gr(r) < gr(g). Como r = f − qg ∈ L, resulta da minimalidade de gr(g) que r = 0. Logo f = qg ∈ Rg e L = Rg. Logo D[x] ´e um dom´ınio de ideais `a esquerda principais. 

Uma simples adapta¸c˜ao da demonstra¸c˜ao permite demonstrar que Z ´e tamb´em um dom´ınio de ideais `a esquerda principais.

1.2 APˆENDICE: Z-m´odulos finitamente gerados

Vamos investigar a estrutura dos Z-m´odulos finitamente gerados. Principi- amos por apresentar alguns lemas de grande utilidade.

Lema 1.21 Seja M um Z-m´odulo livre sobre {x 1 ,... , xn} e seja N ≤ M. Ent˜ao N ´e livre e tem uma base de cardinalidade ≤ n.

tamb´em Mf = (Mf ϕ−^1 )ϕ ´e finitamente gerado. Podemos ent˜ao escrever Mf = Zx 1 +... Zxn para alguns x 1 ,... , xn ∈ Mf. Como x 1 ,... , xn ∈ Mf , existe k ∈ IN tal que kx 1 =... = kxn = 0. Logo

Mf = { 0 ,... , k − 1 }x 1 +... + { 0 ,... , k − 1 }xn

e consequentemente Mf ´e finito. 

Podemos agora demonstrar o seguinte resultado:

Teorema 1.23 Seja M um Z-m´odulo finitamente gerado. Ent˜ao existe N ≤ M livre sobre uma base finita tal que M = N ⊕ Mf.

Dem. Seja M ′^ = M/Mf. Como M ´e finitamente gerado, M ′^ ´e finitamente gerado. Seja S um conjunto gerador (finito) de M ′. Tomamos um subcon- junto independente maximal S′^ = {x′ 1 ,... , x′ n} de S e definimos N ′^ como sendo o subm´odulo de M ′^ gerado por S′. E claro que´ N ′^ ´e livre de base S′. Dado y ∈ S\S′, temos ky+k 1 x′ 1 +.. .+knx′ n = 0 para alguns k, k 1 ,... , kn ∈ Z n˜ao todos os nulos, caso contr´ario S′^ n˜ao seria maximal entre os subcon- juntos independentes de S. Al´em disso, S′^ independente implica que k 6 = 0. Como S ´e finito, concluimos que existe algum k ∈ IN tal que k(S\S′) ⊆ N ′ e consequentemente kM ′^ ≤ N ′. Como N ′^ ´e um Z-m´odulo livre, resulta do Lema 1.21 que kM ′^ ´e livre sobre uma base finita. Seja ϕ : M ′^ → kM ′ y′^7 → ky′.

E claro que^ ´ ϕ ´e um homomorfismo sobrejectivo de Z-m´odulos. Se y′ϕ = 0 para y′^ = y + Mf ent˜ao ky + Mf = Mf e portanto ky ∈ Mf. Logo rky = 0 para algum r ∈ IN e concluimos que y ∈ Mf , isto ´e, y′^ = 0. Logo ϕ ´e um isomorfismo de Z-m´odulos, o que implica em particular que M ′^ ´e livre sobre uma base finita, digamos {z 1 + Mf ,... , zr + Mf }. Seja N o subm´odulo de M gerado por {z 1 ,... , zr}. Como a independˆencia de {z 1 +Mf ,... , zr +Mf } implica claramente a independˆencia de {z 1 ,... , zr}, concluimos que N ´e livre de base {z 1 ,... , zr}. Falta mostrar que M = N ⊕ Mf. Seja a ∈ M. Ent˜ao

a + Mf = k 1 (z 1 + Mf ) +... + kr(zr + Mf )

para alguns k 1 ,... , kr ∈ Z. Logo a = k 1 z 1 +... + krzr + b para algum b ∈ Mf e a ∈ N +Mf. Logo M = N +Mf. Finalmente, suponhamos que a ∈ N ∩Mf ,

digamos a = k 1 z 1 +... + krzr. Como a ∈ Mf , temos ka = 0 para algum k ∈ IN. Logo kk 1 z 1 +... + kkrzr = 0. Como {z 1 ,... , zr} ´e independente, isto implica kk 1 =... = kkr = 0 e consequentemente k 1 =... = kr = 0. Logo a = 0, pelo que N ∩ Mf = 0 e M = N ⊕ Mf. 

E poss´^ ´ ıvel mostrar (embora n˜ao o fa¸camos neste curso) que todo o Z- m´odulo finito ´e isomorfo a um produto directo da forma (Z/m 1 Z) ×... × (Z/mnZ) para alguns m 1 ,... , mn ≥ 2. Como todo o Z-m´odulo livre sobre uma base finita ´e a menos de isomorfismo um produto da forma Z ×... × Z, daqui resulta o seguinte:

Teorema 1.24 A menos de isomorfismo, todo o Z-m´odulo finitamente ge- rado ´e isomorfo a um produto directo da forma

Z ×... × Z × (Z/m 1 Z) ×... × (Z/mnZ),

com m 1 ,... , mn ≥ 2.

Note-se que na express˜ao anterior podem estar omissos os factores de qualquer um dos tipos.

1.3 Exerc´ıcios

1.1. Um anel R diz-se booleano se todos os seus elementos forem idem- potentes (isto ´e, se a^2 = a para todo a ∈ R). Mostre que um anel booleano ´e comutativo e satisfaz a + a = 0 para todo a ∈ R.

1.2. Seja G um grupo abeliano e seja End(G) o conjunto dos endomorfismos de G.

a) Mostre que (End(G), +, ◦) ´e um anel. b) Dado um anel R, mostre que G admite uma estrutura de R-m´odulo `a direita se e s´o se existe um homomorfismo de an´eis ϕ : R → End(G).

1.3. Mostre que se todo o elemento n˜ao nulo de um anel R ´e invert´ıvel `a esquerda ent˜ao R ´e um anel de divis˜ao.

1.4. Seja R um anel e G um grupo. Mostre que R[G] ´e um anel de divis˜ao se e s´o se R ´e um anel de divis˜ao e G ´e trivial.

2 AN´EIS PRIMITIVOS E AN´EIS PRIMOS

Uma das abordagens cl´assicas no estudo da teoria de an´eis consiste em estu- dar inicialmente uma classe particular de an´eis ditos primitivos. Em seguida, considera-se uma classe mais geral, os an´eis ditos semiprimitivos. Finalmente, estuda-se o radical de Jacobson de um anel R, o menor ideal J de R tal que R/J ´e semiprimitivo. Um R-m´odulo M diz-se simples se n˜ao tiver subm´odulos pr´oprios n˜ao nulos. Analogamente, um anel R diz-se simples se n˜ao tiver ideais pr´oprios n˜ao nulos.

Lema 2.1 Todo o anel de divis˜ao ´e simples.

Dem. Exerc´ıcio. 

Dado um subconjunto S de um R-m´odulo M , definimos o aniquilador de S como sendo AnnRS = {r ∈ R | rS = 0}.

E imediato que Ann^ ´ RM ´e um ideal de R. Se AnnRM = 0, dizemos que M ´e um R-m´odulo fiel. Por exemplo, R ´e um R-m´odulo fiel. Um anel R diz-se primitivo se existir um R-m´odulo simultaneamente sim- ples e fiel.

Teorema 2.2 Todo o anel simples ´e primitivo.

Dem. Seja R um anel simples. Pelo Teorema 1.6, R tem um ideal `a esquerda maximal L. Ent˜ao L ´e um subm´odulo do R-m´odulo R e podemos considerar o R-m´odulo quociente R/L. E um exerc´´ ıcio elementar mostrar que o R-m´odulo R/L ´e simples. Como AnnR(R/L) E R, 1 ∈/ AnnR(R/L) e R ´e simples, resulta que AnnR(R/L) = 0 e logo R/L ´e tamb´em fiel. Logo R ´e primitivo. 

Lema 2.3 Seja M um R-m´odulo n˜ao nulo. Ent˜ao M ´e simples se e s´o se M ∼= R/L para algum ideal `a esquerda maximal L de R.

Dem. Suponhamos que M ´e simples e fixemos x ∈ M { 0 }. Consideremos o homomorfismo ϕ : R → M r 7 → rx

Como M ´e simples e Rϕ ´e um subm´odulo n˜ao nulo de M , resulta que ϕ ´e sobrejectivo. Logo M ∼= R/Kerϕ pelo Teorema do Homomorfismo. E claro´ que Kerϕ Ce R. Vejamos que Kerϕ ´e maximal. Suponhamos que Kerϕ ⊂ L′ para algum L′^ Ce R. Ent˜ao 0 < L′ϕ ≤ M , logo M = L′ϕ pois M ´e simples. Em particular, x = ax para algum a ∈ L′^ e logo

1 = (1 − a) + a ∈ Kerϕ + L′^ = L′,

contradizendo L′^ Ce R. Conclui-se assim que Kerϕ ´e maximal. A implica¸c˜ao rec´ıproca j´a foi observada na demonstra¸c˜ao do teorema an- terior. 

Uma caracteriza¸c˜ao alternativa dos an´eis primitivos ´e dada pelo seguinte resultado.

Teorema 2.4 Um anel R ´e primitivo se e s´o se existe LCe R tal que L+A = R para todo o ideal n˜ao nulo A de R.

Dem. Suponhamos que R ´e primitivo. Ent˜ao R tem um m´odulo simples e fiel M. Pelo lema anterior, podemos assumir que M = R/L para algum L Ce R maximal. Seja 0 6 = A C R. Como M ´e fiel, temos AnnRM = 0. Dado a ∈ A{ 0 }, resulta que a /∈ AnnRM e logo ar + L = a(r + L) 6 = L para algum r ∈ R. Como ar ∈ A, conclui-se que A 6 ⊆ L. Como L ⊂ L + A Ee R, resulta da maximalidade de L que L + A = R. Reciprocamente, se existe L Ce R tal que L + A = R para todo o ideal n˜ao nulo A de R, podemos pelo Lema de Zorn tomar L′^ Ce R maximal tal que L ⊆ L′. Pelo lema anterior, R/L′^ ´e simples. Suponhamos que AnnR(R/L′) 6 = 0. Como AnnR(R/L′) E R, obtemos L + AnnR(R/L′) = R. Como L, AnnR(R/L′) ⊆ L′, obtemos L′^ = R, absurdo, pois L′^ ´e maximal. Logo AnnR(R/L′) = 0 e R/L′^ ´e fiel. Logo R ´e primitivo.