Aula de estatística, Notas de aula de Engenharia Agrícola

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Prof. Dalton Rocha Pereira

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Muitos problemas na teoria de

probabilidade podem ser resolvidos por

simples contagem do número de

diferentes formas que um evento pode

ocorrer. A teoria matemática de contagem

é formalmente conhecida como análise

combinatória.

Princípios Fundamentais da contagem: ◦ (^) Princípio da Adição: ◦ (^) Exemplo 1: E1 Lançamento de um dado: {1, 2, 3, 4 , 5, 6} n1 = 6 E2 Lançamento de uma moeda: {c, K} n2 = 2 ◦ (^) Que resultados possíveis apresenta o experimento E1 ou E2? E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, c, K} ◦ (^) n= n1 + n2=

Princípios Fundamentais da contagem:

◦ (^) Princípio da Adição: ◦ (^) Exemplo 2: Deseja-se fazer uma viagem para a cidade A ou para a cidade B. Existem 5 caminhos possíveis para a cidade A e 3 possíveis caminhos para a cidade B. Logo, para esta viagem, existem no total 5 + 3 = 8 caminhos possíveis.

Princípios Fundamentais da contagem: ◦ (^) Princípio Generalizado da Adição: E1, E2,..., Ek  Disjuntos não implicam disjuntos dois a dois Disjuntos dois a dois N { A∪B ∪C} = nA + nB + nC A∩B∩C = ∅ Disjuntos N { A∪B ∪C} ≠ nA + nB + nC A∩B∩C = ∅

Princípios Fundamentais da contagem:

◦ (^) Princípio da multiplicação: Suponhamos um procedimento executado em k fases, concomitantes entre si. A fase 1 tem n1 maneiras de ser executada, a fase 2 possui n2 maneiras de ser executada e a fase k tem nk modos de ser executada. A fase 1 poderá ser seguida da fase 2 até a fase k, uma vez que são concomitantes. Logo, há n1 x n2 x ... X nk maneiras de executar o procedimento.

Princípios Fundamentais da contagem: ◦ (^) Princípio da multiplicação ◦ (^) Exemplo 2: Supondo uma viagem para a cidade C, mas para chegar até lá você deve passar pelas cidades A e B. Da sua cidade até a cidade A existem 2 caminhos possíveis; da cidade A até a B existem 4 caminhos disponíveis e da cidade B até a C há 3 rotas possíveis. Portanto, há 2 x 4 x 3 = 24 diferentes caminhos possíveis de ida da sua cidade até a cidade C.

Princípio Fundamental da contagem:

◦ (^) Suponha que seja realizado os experimentos E e E2. Se o experimento E1 pode resultar em n possíveis resultados, e para cada um dos possíveis resultados de E1 existem n2 possíveis resultados do experimento E2, então a ocorrência dos dois experimentos nos poderá fornecer n = n1 x n2 possíveis resultados.

Princípio Fundamental da contagem (generalização):  (^) Preparar um lanche para a turma, com tipos variados de recheio de sanduíches e refrigerantes. (3 x 5) = 15 (15 x 5) = 75 Queijo Prato Fanta

• Pão Francês Queijo Mussarela Coca-cola
• Pão de Forma Presunto Guraná
• Bengala Salame Pepsi Mortadela Guravita

Princípio Fundamental da contagem

 Esses princípios enunciados são bastante

intuitivos. Mas a seguir serão

apresentados alguns exemplos um pouco

mais complexos de aplicação.

Princípio Fundamental da contagem

◦ (^) Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar? ◦ (^) Inicialmente, devemos observar que não podemos colocar o zero como primeiro algarismo do número. Como os números devem ser pares, existem apenas 5 formas (0, 2, 4, 6,

8. de escrever o último algarismo.

Princípio Fundamental da contagem

◦ (^) Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar? ◦ (^) Contudo, se colocamos o zero como último algarismo do número, nossas escolhas para distribuição dos algarismos mudam. Portanto, podemos pensar na construção desse número como um processo composto de 2 fases excludentes entre si.

◦ (^) Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar? ◦ (^) Sem fixar o zero, temos: 3º algarismo: 4 possibilidades (2, 4, 6, 8) 1º algarismo: 8 possibilidades (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), excluindo a escolha feita para o último algarismo; 2º algarismo: 8 possibilidades (0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), porém excluindo as escolhas feitas para o primeiro e último algarismos. ◦ (^) Portanto, temos 8 x 8 x 4 = 256 maneiras de escrever um número de três algarismos distintos sem zero no último algarismo.

◦ (^) Quantos números naturais pares de três algarismos distintos podemos formar? ◦ (^) Ao todo, temos 72 + 256 = 328 formas de escrever o número.