Calculo III - Cap 01 - Números Complexos, Notas de aula de Cálculo

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Capítulo 1

Números Complexos

Introdução

Suponha que você queira encontrar as raízes da equação do segundo grau:

x 1 0

2

• =

Rearrumando a equação:

x 1

2 =−

Sabemos que a equação não possui raízes reais já que não existe nenhum número real que,

elevado ao quadrado, resulte num número negativo. Os matemáticos resolveram esse problema

definindo um “ número imaginário ” i que permite fazer:

x = − 1 =i

O tal “ número imaginário ” i foi definido como:

i = − 1

Esse número tem a seguinte propriedade:

i i= − 1  − 1 =− 1

As potências do número imaginário são dadas por:

i i

1

i i i 1 1 1

2 =  = −  − =−

i i i ( 1 ) i i

3 2 =  = −  =−

i i i ( 1 ) ( 1 ) 1

4 2 2 =  = −  − =

Daqui por diante as potências se repetem, por exemplo,i i i 1 i i

5 4 =  =  = tal qual

1 i.

Nos problemas de eletricidade a letra i é substituída pela letra j para não haver

confusão com a letra que representa a corrente elétrica.

Um pouco de história...

Leonhard Euler (1 707 - 1783 )

Leonhard Euler foi um dos matemáticos mais produtivos da

história. Euler introduziu muitas notações que utilizamos até hoje, como

o i para representar o número imaginário − 1 , f(x) para representar

uma função, a letra e para representar a base do logaritmo neperiano, o

símbolo  para indicar um somatório, além de relacionar funções

exponenciais, logarítmicas e trigonométricas aos números complexos.

Para saber mais: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematicians/Euler.html

Números complexos

Um número complexo, representado pela letra z, é composto por uma parte real e uma parte

imaginária:

z =a+bi

A parte real do número complexo é o número real a e a parte imaginária é o número real b.

Podemos escrever matematicamente:

Re( z)=a e Im( z)=b

Todo número complexo z está associado ao seu número complexo conjugado, geralmente

representado por zou

z :

z =a−bi , onde Re( z)=a eIm( z)=−b

Observando a geometria do número complexo z no gráfico, podemos definir seu o módulo

(tamanho) e argumento (ângulo) conforme o gráfico:

Observando geometricamente o gráfico, podemos extrair as seguintes relações:

2 2 = a +b^ , aplicando o Teorema de Pitágoras.

a

b tg = que produz  

a

b arctg ou  

−

a

b tg

1

Podemos também concluir que:

b sen , ou seja,b= sen

a cos , ou seja,a= cos

A partir dessas duas últimas relações podemos escrever o número complexo na forma

conhecida como trigonométrica ou forma polar:

z =a+bi=(cos+isen)

Observando o número complexo escrito na forma trigonométrica, podemos concluir que:

• Se o argumento  for 0 o , ou 0 radianos, o número complexo terá apenas parte

real que é igual a .

• Se o argumento  for 90

o , ou 2

radianos, o número complexo terá apenas

parte imaginária que é igual a .

• Se o argumento  for 180 o , ou  radianos, o número complexo terá apenas

parte real que é igual a - .

• Se o argumento  for 270

o , ou 2

ou também 2

− radianos, o número

complexo terá apenas parte imaginária que é igual a - .

• Se o argumento  for 360 o , ou 2 radianos, o número complexo terá apenas

parte real que é igual a .

Usando a Calculadora

Podemos converter um número complexo da forma retangular (cartesiana) para a forma

polar (trigonométrica) utilizando calculadoras. Os cálculos a seguir podem ser realizados usando a

calculadora casio fx-82MS que é bastante popular entre os estudantes. Precisamos inicialmente

configurar a calculadora para apresentar o ângulo em graus (ou em radianos, caso seja necessário).

Para acessar o menu de configuração de ângulo pressione as teclas:

Aparecerá no display da calculadora o menu de configuração de ângulo:

Para configurar a apresentação de ângulo para graus, basta pressionar a tecla 1 e para

configurar a apresentação de ângulo para radianos, basta pressionar a tecla 2.

Podemos converter um número complexo da forma retangular (cartesiana) para a forma

polar (trigonométrica) usando as teclas da calculadora conforme o quadro a seguir.

Para converter da forma polar para a forma retangular

Mostra a parte real do número complexoz 2 (cos 60 isen 60 )

o o = +

Mostra a parte imaginária do número complexo z 2 (cos 60 isen 60 )

o o = +

Mostra novamente a parte real do número complexo

Resultado:

z = 1 + 1 , 732050808 i é o número complexo na forma retangular

Para converter da forma retangular para a forma polar

Mostra o módulo do número complexoz = 1 + 3 i

Mostra o argumento do número complexoz = 1 + 3 i

Mostra novamente o módulo do número complexo

Resultado:

z 2 (cos 60 isen 60 )

o o = + é o número complexo na forma polar

Exemplo retirado do manual da calculadora casio fx-82MS

Podemos também substituir vários valores de  na identidade de Euler para obtermos várias

outras identidades.

Fazendo 2

= na indentidade de Euler:

i 2

isen 2

e 2 cos

i ^ = 



Fazendo 2

i 2

isen 2

e 2 cos

i =^ − 

 −

Fazendo =:

e cos isen 1

i = + =−



Fazendo  = 2 :

e cos 2 isen 2 1

i 2 = + =



Representação fasorial

A representação fasorial é resultado da simplificação da forma exponencial. Essa nova

maneira de representar um número complexo é muito utilizada nos cálculos de Engenharia.

Um número complexo na forma fasorial possui a seguinte representação:

i z e

O conjugado do número complexo z, na forma fasorial, é dado por:

−i z e

Devemos ler o número complexo

o z = 5  30 , por exemplo, como “cinco fase trinta graus”.

Operações com números complexos

As operações entre números complexos são realizadas mais facilmente se utilizarmos as suas

variadas formas. Por exemplo, a soma e a subtração de números complexos deve ser realizada na

forma retangular.

Considere os números complexos z =a+bie z 2 =c+di. A soma z 1 +z 2 é igual a:

z 1 +z 2 =(a+bi)+(c+di)=(a+b)+(c+d)i

O número complexo somado com o seu conjugado é igual a:

z 1 +z 1 =(a+bi)+(a−bi)= 2 a

A subtração do número complexo e seu conjugado é dada por:

z 1 −z 1 =(a+bi)−(a−bi)= 2 bi

Se o número complexo estiver em qualquer outra forma diferente da retangular, devemos

adequá-lo a essa forma.

A multiplicação e a divisão de números complexos deve ser realizada na forma exponencial

ou fasorial, já que, nessas formas, podemos operar de maneira mais simples.

Considere os números complexos na forma exponencial^1

i z 1 1 e

 =  e^2

i z 2 2 e

 = . A

multiplicação entre esses dois números complexos é dada por:

i( ) 1 2

i 2

i 1 2 1 z z =e^1  e^2 = e ^1 +^2

A divisão entre os números complexos^1

i z 1 1 e

 =  e^2

i z 2 2 e

 =  é dada por:

i( )

2

1 i 2

i 1

2

(^1 )

2

1 e e

e

z

z (^)  −





Como a forma fasorial é equivalente à forma exponencial, poderíamos ter feito:

z 1 z 2 = 1  1  2  2 = 1  2 ( 1 + 2 )

z

z 1 2 2

1

2 2

1 1

2

1  − 

A multiplicação de um número complexo e seu conjugado resulta em:

i i 2 i i 2 z 1  z 1 =e e = e =

 − −

Podemos utilizar a multiplicação anterior para eliminarmos o número complexo do

denominador de uma expressão. Suponha que estejamos interessados em eliminar o número

complexo z 1 do denominador da expressão:

z 1

Multiplicando o numerador e o denominador pelo número complexo conjugado de z 1 e

aplicando o resultado da multiplicação de um número complexo e o seu conjugado:

2

1

1

1

1

z

z

z

z

Caso o número complexo z 1 esteja na forma retangular z 1 =a+bipodemos dizer que:

2 2 2

1

1 a b

z a bi

a bi

z

Observe que o denominador

2 2 a +b é o quadrado do módulo do número complexo a +bi.

A potenciação de um número complexo pode ser calculada utilizando a forma exponencial.

Elevando o número complexo

 = 

i z e à n-ésima potência encontramos:

z  e  e cos( n ) isen(n )

n in n n n i =  = = + 

 

Essa expressão é conhecida como fórmula de DeMoivre.

Podemos usar a potenciação para calcular as raízes n-ésimas de um número complexo z. O

problema consiste em encontrar um número complexo w que, elevado à potência n, seja igual a z:

w z

n

Considerando os números complexos w =w cos( )+isen( )ez cos( ) isen( )

=z  + 

temos, após a aplicação da potenciação a w, a seguinte expressão:

cos( n ) isen(n ) z cos( ) isen( )

n w  +  =  + 

Podemos então concluir que:

z

n w = , ou seja, n w z  = 

cos( n)=cos()

sen (n)=sen()

Das duas últimas equações trigonométricas, podemos concluir que:

o n =+k (^360) , ou seja, n

k 360

o +  =

Para que existam n raízes, é necessário que k varie de 0 a (n-1).