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Tipologia: Notas de estudo
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GEOMETRIA ANAL ITICA
C ONICAS^
Julho/
2 De nic~ao das C^onicas como Lugar Geometrico
Estudaremos as sec~oes c^onicas como curvas planas. Para isso, utilizaremos de nic~oes equivalentes as anteriores | mas que se referem somente ao plano no qual esta a curva | e que dep endem de p ontos esp eciais desse plano, chamados focos da curva.
Elipse: conjunto de to dos os p ontos P do plano tais que e constante a soma d 1 + d 2 das dist^ancias d 1 e d 2 ; resp ectivamente, de P a dois p ontos xos F 1 e F 2 , chamados focos da elipse.
F F
P
d d
1 2
(^12)
d 1 + d 2 = constante
Hiperb ole: conjunto de to dos os p ontos P do plano tais que e constante o modulo da diferenca jd 1 d 2 j das dist^ancias d 1 e d 2 ; resp ectivamente, de P a dois p ontos xos F 1 e F 2 , chamados focos da hiperb ole.
jd 1 d 2 j = constante
o o F F
P d d
1 2
1 2
Parab ola: conjunto de to dos os p ontos P do plano tais que a dist^ancia d 1 de P a um p onto xo F ; chamado foco da parab ola, e igual a dist^ancia d 2 de P a uma reta xa D , chamada diretriz da parab ola.
F
D
d
d
1
2 P
d 1 = d 2
Note que as duas primeiras c^onicas s~ao simetricas em relac~ao a reta que passa p elos
fo cos e a parab ola e simetrica em relac~ao a reta que passa p elo fo co e e p erp endicular a diretriz.
Em Animac~oes/Construc~oes p o dem ser encontradas construc~oes animadas das c^onicas.
3 Equac~ao Can^onica das C^onicas
A m de determinar mais facilmente as equac~oes das c^onicas, escolhemos, para a elipse e a hiperb ole, um sistema de co ordenadas tal que os fo cos estejam no eixo x e equidistantes da origem. Para a parab ola escolhemos um sistema tal que o fo co esteja no eixo x e a origem equidistante do fo co e da diretriz. Assim obtemos as equac~oes a seguir, chamadas equac~oes can^onicas ou reduzidas das c^onicas.
constante 2 a > 2 c; tem a equac~ao reduzida
x^2 a^2
y 2 b^2
= 1 ; com a^2 = b^2 + c^2 :
Elementos:
Centro: C = (0; 0)
Eixo maior: A 1 A 2 Eixo menor: B 1 B 2 Excentricidade: e =
c a
A (^) 1 F 1 F 2 A 2
x
y
B 1
B 2
muito menor do que a e p ortanto b^2 e aproximadamente igual a a^2 : Isto signi ca
Analogamente, se e e aproximadamente 1 ; ent~ao a e aproximadamente igual a c e
alongada. Passamos a deduzir a equac~ao reduzida. S~ao equivalentes:
d((x; y ); F 1 ) + d((x; y ); F 2 ) = 2 a
(x + c)^2 + y 2 +
Analogamente, se e e muito maior do que 1 ; ent~ao c e muito maior do que a e p ortanto b^2 e muito maior do que 0; isto signi ca que, neste caso, a hiperb ole H e muito ab erta. A deduc~ao da equac~ao reduzida e semelhante a do item a).
Em Animac~oes/Variac~oes/Par ^amet ros p o dem ser encontradas animac~oes re etindo variac~oes dos par^ametros das c^onicas.
4 Equac~ao Can^onica das C^onicas
com Centro Generico (h; k )
As equac~oes can^onicas das c^onicas descritas anteriormente t^em to das fo cos no eixo x e, centro ou vertice em (0; 0): Analisamos agora o caso em que o centro ou o vertice e um p onto (h; k ) qualquer do plano e os fo cos est~ao na reta y = k paralela ao eixo x; ou na reta x = h paralela ao eixo y : As equac~oes com um centro generico em (h; k ) e fo cos na reta y = k s~ao:
Elipse:
(x h)^2 a^2
(y k )^2 b^2
= 1 com a^2 = b^2 + c^2 ;
Parab ola: (y k )^2 = 4 p (x h);
Hiperb ole:
(x h)^2 a^2
(y k )^2 b^2
= 1 com b^2 = c^2 a^2 :
As equac~oes resp ectivas com centro ou vertice generico em (h; k ) mas fo cos na reta x = h s~ao obtidas tro cando x h p or y k nas equac~oes acima.
Em Animac~oes/Variac~oes/Trans lac~oes p o dem ser encontradas animac~oes apresen- tando translac~oes das c^onicas.
5 Identi cac~ao das C^onicas e de seus Elementos
A equac~ao geral do segundo grau nas duas variaveis x e y e
Ax^2 + B y 2 + C x + D y + E xy + F = 0 (})
e representa uma c^onica, uma c^onica degenerada ou o conjunto vazio. Quando (}) re- presenta uma c^onica e o co e ciente do termo em xy e n~ao-nulo (E 6 = 0), esta tem os fo cos em uma reta n~ao-paralela aos eixos co ordenados. Este caso n~ao sera estudado nesta disciplina, mas sim na de Algebra Linear. Se vo c^e deseja ter uma ideia do que acontece neste caso E 6 = 0 ; consulte Animac~oes/Variac~oes/Rotac~oes. Quando E = 0 ; os fo cos est~ao sobre uma reta paralela a um dos eixos co ordenados, que e o caso aqui estudado. Para identi carmos essa c^onica, completamos quadrados e reescrevemos (}) como uma das equac~oes da Sec~ao 4. O analogo de (}) no caso tridimensional (a equac~ao geral do segundo grau em tr^es variaveis) p o de ser encontrado no link Quadricas da pagina de Calculo I IA.
6 Exerccios Resolvidos
elementos e faca um esb oco de seu gra co.
em x e os termos em y :
completamos o quadrado:
4
e reescrevemos:
nalizamos colo cando no formato can^onico:
(y + 1)^2 22
Vemos, p ortanto (observe o sinal +), que se trata de uma elipse com a = 3 ; b = 2 e c =
Elementos:
Vertices:
e F 2 = (2 +
Excentricidade: e =
y
–1 (^2 5) x
1
(^1 1) –1 2 2
2
B 1
B
A o F o^ o C o F^ o A
o
o
elementos e faca um esb oco de seu gra co.
termos em x e os termos em y :
completamos o quadrado:
e reescrevemos:
elementos e faca um esb oco de seu gra co.
em x e os termos em y :
completamos o quadrado:
9
e reescrevemos:
nalizamos colo cando no formato can^onico:
(y + 3)^2 92
Vemos, p ortanto (observe o sinal +), que se trata de uma elipse com a = 9 ; b = 6 e c =
5 ; p ois c^2 =
Elementos:
Vertices:
Excentricidade: e =
y
6
1 2
2
1
2
1
B B
A
A
C
F
F
o
o
o o o
o
o
elementos e faca um esb oco de seu gra co.
termos em x e os termos em y :
completamos o quadrado:
e reescrevemos:
nalizamos colo cando no formato can^onico:
(y 3)^2 82
(x + 5)^2 62
Vemos, p ortanto (observe o sinal ), que se trata de uma hiperb ole com a = 8 ; b = 6 e c = 10 ; p ois c^2 = 64 + 36 = 100 : Alem disto, temos:
Elementos:
Centro: C = ( 5 ; 3) Vertices: V 1 = ( 5 ; 5) e V 2 = ( 5 ; 11) Fo cos: F 1 = ( 5 ; 7) e F 2 = ( 5 ; 13) Assntotas:
y =
(x + 5) + 3 e y =
(x + 5) + 3
Excentricidade: e =
2
1
o
o
o
o
o
y
C x
F
F
3
Exerccio 6. Identi que a c^onica de equac~ao x^2 6 x + 4 y 11 = 0 ; seus elementos e faca um esb oco de seu gra co. Soluc~ao: Dada a equac~ao x^2 6 x + 4 y 11 = 0 ; primeiro agrupamos os termos em x e os termos em y : x^2 6 x = 4 y + 11 ;
completamos o quadrado:
(x 3)^2 9 = 4 y + 11 ) (x 3)^2 = 4 y + 20 = 4(y 5);
nalizamos colo cando no formato can^onico:
(x 3)^2 = 4(y 5):
Vemos, p ortanto (observe que so ha um quadrado), que se trata de uma parab ola com p = 1 : Alem disto, temos:
Elementos:
Vertice: V = (3; 5)
Diretriz: D : y = 6
Fo co: F = (3; 5 1) = (3; 4)
V
F
D
3
6 5 4
y
x
o
o
8 Exerccios
Exerccio 1. Estab eleca a equac~ao de cada uma das parab olas a seguir, sab endo que:
a) e simetrica em relac~ao ao eixo y ; tem vertice em V = (0; 0) e contem o p onto P = (2; 3);
b) tem vertice em V = ( 2 ; 3) e fo co em F = ( 2 ; 1);
c) tem fo co em F = (3; 1) e diretriz x =
Exerccio 2. Determine o vertice, o fo co, a equac~ao da diretriz e esb o ce o gra co de cada uma das parab olas a seguir:
a) y 2 x = 0;
b) x^2 2 x 20 y 39 = 0;
c) 8 x = 10 6 y + y 2 :
Exerccio 3. Determine os centros, os vertices, os fo cos, a excentricidade e esb o ce o gra co de cada uma das elipses a seguir:
a) 9 x^2 + 5 y 2 45 = 0;
b) 25 x^2 + 16 y 2 + 50 x + 64 y 311 = 0;
c) 4 x^2 + 9 y 2 24 x + 18 y + 9 = 0 :
Exerccio 4. Estab eleca a equac~ao de cada uma das elipses a seguir, sab endo que:
a) seu eixo maior mede 10 um(unidades de medida) e os fo cos s~ao F 1 = ( 4 ; 0) e F 2 = (4; 0):
b) tem centro em C = (2; 4); um fo co em F = (5; 4) e tem excentricidade e =
Exerccio 5. Estab eleca a equac~ao de cada uma das hiperb oles a seguir, sab endo que:
a) tem assntotas de equac~oes y = 2 x e y = 2 x e vertices em V 1 = ( 3 ; 0) e V 2 = (3; 0);
b) tem fo cos em F 1 = (3; 2) e F 2 = (3; 4) e excentricidade e = 2 :
Exerccio 6. Determine os centros, os vertices, os fo cos, a excentricidade e esb o ce o gra co de cada uma das hiperb oles a seguir:
a) 3 x^2 y 2 + 3 = 0;
b) 9 x^2 4 y 2 54 x + 8 y + 113 = 0;
c) 16 x^2 9 y 2 64 x 18 y + 199 = 0 :
Exerccio 7. Classi que, d^e to dos os elementos e esb o ce o gra co de cada uma das curvas com equac~oes dadas a seguir:
a) 16 x^2 + 9 y 2 96 x + 72 y + 144 = 0;
b) y 2 16 x^2 + 2 y + 49 = 0;
c) 4 x^2 y 2 32 x + 4 y + 24 = 0 :
Exerccio 8. A agua que esguicha de um b o cal, mantido horizontalmente a 4 m acima do solo, descreve uma curva parabolica com vertice no b o cal e, medida na vertical, desce 1 m nos primeiros 10 m de movimento horizontal. Calcule a dist^ancia horizontal do b o cal em que a agua atinge o solo.
Exerccio 9. Uma p onte susp ensa de 400 m de comprimento e sustentada p or um cab o principal parabolico (veja a gura). O cab o principal esta 100 m acima da p onte nos ex- tremos e 4 m acima da p onte em seu centro. Calcule o comprimento dos cab os de suten- tac~ao que s~ao colo cados a intervalos de 50 m ao longo da p onte. (Sugest~ao: Utilize o sis- tema de co ordenadas retangulares em que a p onte e o eixo x e a origem esta no meio da p onte.)
^
Exerccio 10. O segmento de reta que passa p elo fo co de uma parab ola, e paralelo a sua diretriz e tem as suas extremidades na propria parab ola e chamado o lactus rectum da parab ola. Mostre que a medida do lactus rectum e o dobro da dist^ancia entre o fo co e a diretriz.
Exerccio 11. Qual e o comprimento de um o usado para delimitar um jardim elptico com 20 m de largura e 60 m de comprimento? qual e a area deste jardim?
Exerccio 12. Exceto p or p equenas p erturbac~oes, um satelite se move ao redor da Terra em uma orbita elptica, com um dos fo cos no centro da Terra. Sup onha que no p erigeu (o p onto da orbita mais proximo do centro da Terra) o satelite esta a 400 km da sup erfcie da Terra e que no ap ogeu (o p onto da orbita mais afastado do centro da Terra) o satelite esta a 600 km da sup erfcie da Terra. Calcule o eixo maior e o eixo menor da orbita elptica deste satelite, sup ondo que a Terra e um esfera de 6371 km de raio.
Exerccio 13. Dados os p ontos A = ( 2 ; 2) e B = (6; 6) do plano cartesiano, determine o lugar geometrico de um p onto P que se move neste plano de tal mo do que o co e ciente angular da reta que passa p or A e P ; acrescido de duas unidades, e igual ao co e ciente angular da reta que passa p or B e P :
Exerccio 14. Determine o lugar geometrico de um p onto P que se move no plano cartesiano de tal mo do que o quadrado de sua dist^ancia a origem e igual ao dobro de sua dist^ancia ao eixo das ordenadas.
Exerccio 15. Escreva a integral que calcula a area da regi~ao do plano cartesiano de equac~ao geral x^2 + 4 y 2 2 x 3 = 0 :
Exerccio 25. Calcule a area da regi~ao sombreada delimitada, resp ectivamente:
a) p ela reta x = 1 e a elipse
x^2 + 4 y 2 = 4;
b) p ela reta y = 4 e a elipse
9 x^2 + y 2 = 25 :
y
x 2
−
1
−2 1
y
x
4
(Sugest~ao: Substituic~ao trigonometrica.)
a) Esb o ce a regi~ao R :
b) Apresente uma integral que expressa esta area.-
c) Qual e a tecnica de integrac~ao que vo c^e usaria para resolver esta integral?
9 Resp ostas
Exerccio 1.
c) (y + 1)^2 = 5
Exerccio 2.
a) V = (0; 0); F =
c) V =
Exerccio 3.
p 5 3 :
Exerccio 4.
Exerccio 5.
a)
x^2 9
y 2 36
Exerccio 6.
p 3 3 :
13); e =
p 13 3 :
Exerccio 7.
7); e =
p 7 4 :
c) Hiperb ole: C = (4; 2); V 1 = (1; 2); V 2 = (7; 2);
5 ; 2); e =
Exerccio 8. Dist^ancia horizontal = 160 m.
Exerccio 9. Func~ao altura:
y =
x^2 + 4 :
Exerccio 10. Aula.
Exerccio 11. Area do jardim = 1200 e comprimento do o = 40
Exerccio 12. Eixo menor da orbita elptica do satelite = 13.740,54 km e eixo maior = 13.742,00 km.
^
4 10
28
100
58
28
100
58
10
Exerccio 14. O lugar geometrico e a circunfer^encia de centro C = (0; 0) e raio 1 dada
Exerccio 15. A = 2
3
(x + 1)^2 4
dx:
Exerccio 21. Varia a 3 unidades p or segundo.
Exerccio 22.
Exerccio 23. Varia a
unidades p or segundo.
Exerccio 24. Menor (mnima) dist^ancia e
Exerccio 25.
a)
b)
arcsen
Exerccio 26.
a) Esb o ce a regi~ao R ;
b) A = 2
0
16 + x^2
dx;
c) Substituic~ao trigonometrica
x 4
= tg :
Refer^encias Bibliogra cas
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AVILA, Geraldo S. Calculo. LTC, 1992.
EDWARDS, B., HOSTETLER, R. e LARSON, R. Calculo com Geometria Analtica. LTC, 1994.
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LEITHOLD, Louis. O Calculo com Geometria Analtica. Harbra, 1976.
MUNEM, M.A. e FOULIS, D.J. Calculo. Guanabara, 1982.
SHENK, Al. Calculo e Geometria Analtica. Campus, 1984.
SIMMONS, George F. Calculo com Geometria Analtica. McGraw-Hill, 1987.
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SWOKOWSKI, Earl W. Calculo com Geometria Analtica. McGraw-Hill, 1983.
