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Conjuntos
PROFESSOR OLIMAR QUEIROZ – MATEMÁTICA
A compreensão de conjuntos é a principal base para o estudo da álgebra e de conceitos de grande importância na Matemática, como funções e inequações. A notação que usamos para conjuntos é sempre uma letra maiúscula do nosso alfabeto (por exemplo, conjunto A ou conjunto B). Em se tratando da representação dos conjuntos, ela pode ser feita pelo diagrama de Venn , pela simples descrição das características dos seus elementos, pela enumeração dos elementos ou pela descrição das suas propriedades. Ao trabalhar com problemas que envolvem conjuntos, existem situações que exigem a realização de operações entre os conjuntos , sendo elas a união, a intersecção e a diferença.
Notação e representação de conjuntos
Para representação de um conjunto, utilizamos sempre uma letra maiúscula do alfabeto , e os elementos estão sempre entre chaves e são separados por vírgula. Para representar o conjunto dos números pares maiores que 1 e menores que 20, por exemplo, usamos a seguinte notação: P ={2,4,6,8,10,12,14,16,18}.
- Formas de representação dos conjuntos
- Representação por enumeração : podemos enumerar seus elementos, ou seja, fazer uma lista, sempre entre chaves. Veja um exemplo: A = {1,5,9,12,14,20}
- Descrevendo as características : podemos simplesmente descrever a característica do conjunto. Por exemplo, seja X um conjunto, temos que X = {x é um número positivo múltiplo de 5}; Y: é o conjunto dos meses do ano.
- Diagrama de Venn: os conjuntos também podem ser representados na forma de um diagrama, conhecido como diagrama de Venn, que é uma representação mais eficiente para a realização das operações. Exemplo: Dado o conjunto A = {1,2,3,4,5}, podemos representá-lo no diagrama de Venn a seguir:
Diagrama do conjunto A
Elementos de um conjunto e relação de pertinência
Dado um elemento qualquer, podemos dizer que o elemento pertence ao conjunto ou não pertente a esse conjunto. Para representar essa relação de pertinência de forma mais rápida, utilizamos os símbolos (lê-se pertence) e ∉ (lê-se não pertente). Por exemplo, seja P o conjunto dosnúmeros pares, podemos dizer que o 7 ∉ P e que 12 P.
Igualdade de conjuntos
É inevitável a comparação entre os conjuntos, sendo assim, podemos afirmar que dois conjuntos são iguais ou não verificando cada um dos seus elementos. Seja A = { 0,1,3,4,8} e B = { 8,4,3,1,0}, ainda que os elementos estejam em ordem diferente, podemos afirmar que os conjuntos A e B são iguais: A = B.
Relação de inclusão
Ao comparar dois conjuntos, podemos nos deparar com diversas relações, e uma delas é a relação de inclusão. Para essa relação, precisamos conhecer alguns símbolos: ⊃ → contém ⊂ → está contido ⊅ → não contém ⊄ → não está contido Dica: o lado da abertura do símbolo sempre ficará virado para o conjunto maior.
Conjunto vazio
Com um nome mais sugestivo ainda, o conjunto vazio não possui nenhum elemento e é subconjunto de qualquer conjunto. Para representar o conjunto vazio, há duas representações possíveis, sendo elas V: { } ou o símbolo Ø.
Conjuntos das partes
Conhecemos como conjuntos das partes todos os subconjuntos possíveis de um determinado conjunto. Seja A: {1,2,3,4}, podemos listar todos os subconjuntos desse conjunto A começando com os conjuntos que possuem nenhum elemento (vazios) e, depois, os que possuem um, dois, três e quatro elementos, respectivamente.
- Conjunto vazio : { };
- Conjuntos unitários : {1}; {2};{3}; {4}.
- Conjuntos com dois elementos : {1,2}; {1,3}; {1,4}; {2,3}; {2,4}; {3,4}.
- Conjuntos com três elementos : {1,2,3}; {1,3,4}; {1,2,4}; {2,3,4}.
- Conjunto com quatro elementos : {1,2,3,4}. Sendo assim, podemos descrever o conjunto das partes de A desta forma: P: { { }, {1}, {2}, {3}, {4}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4}, {1,2,3}, {1,3,4}, {1,2,4}, {2,3,4}, {1,2,3,4} } Para saber a quantidade de partes em que é possível dividir um conjunto, usamos a fórmula: n[ P(A)] = 2n O número de partes de A é calculado por uma potência de base 2 elevada a n , em que n é a quantidade de elementos do conjunto. Considere o conjunto A: {1,2,3,4}, que possui quatro elementos. O total de subconjuntos possíveis desse conjunto é 24 =16.
Conjunto finito e infinito
Ao trabalhar com conjuntos, encontramos conjuntos que são limitados (finitos) e aqueles que são ilimitados (infinitos). O conjunto dos números pares ou ímpares, por exemplo, é infinito e, para representá-lo, descrevemos alguns dos seus elementos em sequência, de forma que seja possível prever quais serão os próximos elementos, e colocamos reticências no final. I: {1,3,5,7,9,11...} P: {2,4,6,8,10, ...} Já em um conjunto finito, não colocamos as reticências no final, pois ele possui começo e final definidos. A: {1,2,3,4}.
Conjunto universo
O conjunto universo , denotado por U , é definido como o conjunto formado por todos os elementos que devem ser considerados dentro de um problema. Todo elemento pertence ao conjunto universo e todo conjunto está contido no conjunto universo.
Operações com conjuntos
As operações com conjuntos são: união, intersecção e diferença.
- Intersecção de conjuntos A intersecção é uma das operações entre conjuntos. Ocorre uma intersecção quando os elementos pertencem simultaneamente a um ou mais conjuntos. Ao escrever A∩B, estamos procurando os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. Exemplo : Considere A= {1,2,3,4,5,6} e B = {2,4,6,7,8}, os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B são: A∩B = {2,4,6}. A representação dessa operação é feita da seguinte forma:
- Diferença entre conjuntos Diferença entre os conjuntos (A – B) Calcular a diferença entre dois conjuntos é procurar os elementos que pertencem a somente um dos dois conjuntos. Por exemplo, A – B tem como resposta um conjunto composto por elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Exemplo: A: {1,2,3,4,5,6} e B: {2,4,6,7,8}. Note que A ∩ B ={2,4,6}, então temos que: a) A – B = { 1,3,5 } b) B – A = { 7,8 }
- União A união de dois ou mais conjuntos é a junção dos seus termos. Caso haja elementos que se repitam nos dois conjuntos, eles são escritos uma única vez. Por exemplo: A={1,2,3,4,5} e B={4,5,6,7,10,14}. Para representar a união, usamos o símbolo (lê-se: A união com B). A U B = {1,2,3,4,5,6,7,10,14} Para saber mais detalhes sobre essas operações e conferir vários exercícios resolvidos, leia: Operações com conjuntos.
Leis de Morgan
Sejam A e B dois conjuntos e seja U o conjunto universo, existem duas propriedades que são dadas pelas Leis de Morgan, sendo elas:
(A U B)c^ = Ac^ ∩ Bc (A ∩ B)c^ = Ac^ U Bc Exemplo: Dados os conjuntos:
- U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
- A: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}
- B: {5,10,15,20} Vamos verificar que (A U B)c^ = Ac^ ∩ Bc^. Assim, temos que: A U B = {2,4,5,6,8,10,12,14,15,16,18,20} Logo, (A U B)c={1,3,7,9,11,13,17,19} Para verificar a veracidade da igualdade, vamos analisar a operação Ac^ ∩ Bc: Ac:{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19} Bc:{1,2,3,4,6,7,8,9,11,12,13,14,16,17,18,19} Então, Ac^ ∩ Bc^ ={1,3,7,9,11,13,15,17,19}. (A U B)c^ = Ac^ ∩ Bc
Exercícios resolvidos
01) Considere U: {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A: {1,2,3,4,5,6} e B: {4,5,6,7,8,9}. Mostre que (A ∩ B)c^ = Ac^ U Bc. Resolução:
- 1º passo : encontrar (A ∩ B)c. Para isso, temos que A ∩ B = {4,5,6} , então (A ∩ B)c ={1,2,3,7,8,9,10}.
- 2º passo: encontrar Ac^ U Bc. Ac:{7,8,9,10} e Bc:{1,2,3,10}, então Ac^ U Bc^ = {1,2,3,7,8,9,19}. Fica demonstrado que (A ∩ B)c^ = Ac^ U Bc. 02) Sabendo que A é o conjunto dos números pares de 1 até 20, qual é a quantidade total de subconjuntos que podemos construir a partir dos elementos desse conjunto? Resolução: Seja P o conjunto descrito, temos que P: {2,4,6,8,10,12,14,16,18,20}. Sendo assim, o número de elementos de P é 10. Pela teoria do conjunto das partes, o número de subconjuntos possíveis de P é: 210 =
4) Sabe-se que existe uma relação de inclusão entre alguns dos conjuntos numéricos devido aos elementos que pertencem a eles. A respeito dessa relação, assinale a alternativa correta. a) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais possuem intersecção não vazia. b) O conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números inteiros. c) O conjunto dos números complexos é a união entre o conjunto dos números racionais e irracionais. d) A união entre o conjunto dos números naturais e inteiros tem como resultado o próprio conjunto dos números naturais. e) A intersecção entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números inteiros tem como resultado o próprio conjunto dos números naturais. 5) Considerando que A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A ∩ B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B. 6) Dados os conjuntos A = {0, 1}, B = {0, 1, 2} e C = {2, 3}, determine (A U B) ∩ (B U C). 7) Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5} determine (U – A) ∩ (B U C). 8) (UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência: a) venceu A, com 120 votos. b) venceu A, com 140 votos. c) A e B empataram em primeiro lugar. d) venceu B, com 140 votos. e) venceu B, com 180 votos. 9) Considere os conjuntos A = {2, 4, 5, 12, 40, 53} e B = {9, 12, 30, 90}, determine A – B, A ∪ **B e A ∩ B.
- Sejam os conjuntos A = {1, 4, 5, 8}, B = {1, 2, 8} e C = {3, 8, 12}, determine:** a) A ∩ (B ∩ C) b) A – (A ∩ B) c) (A ∪ B) ∩ (B ∪C)
