Baixe Matemática: Conjuntos Numéricos, Divisibilidade e Frações - Exercícios para Estudo e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
Professor Thiago Pacífico – Matemática-Módulo-
“As equações são mais importantes para mim que a política, pois esta é feita para o presente, enquanto que as primeiras são algo para a Eternidade.” ALBERT EINSTEIN
Æ Conjunto dos Números Naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Æ Conjunto dos Números Naturais Não-Nulos
N* = N – {0} = {1, 2, 3, 4, ...}
Æ Conjunto dos Números Inteiros
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Æ Conjunto dos Números Inteiros Não-Nulos
Z* = Z – {0} = {..., –3, –2, –1, 1, 2, 3, ...}
Æ Conjunto dos Números Inteiros Não-Negativos
Z+ = {0, 1, 2, 3, ...}
Æ Conjunto dos Números Inteiros Não-Positivos
Z_ = {..., –3, –2, –1, 0}
Æ Conjunto dos Números Inteiros Positivos
Z+* = Z+ – {0} = {1, 2, 3, ...}
Æ Conjunto dos Números Inteiros Negativos
Z_* = Z_ – {0} = {..., –3, –2, –1}
Æ Conjunto dos Números Racionais
= = ;p,q ∈ Zcomq ≠ 0 q
p Q x/x
→ Propriedades
- Todo número que pode ser escrito na forma de fração é um número racional. - Todo número inteiro é um número racional. - Todo número decimal exato é um número racional. - Toda dízima periódica, seja ela simples ou composta, é um número racional.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Æ Conjunto dos Números Irracionais
= = ≠ ;p,q ∈ Zcomq ≠ 0 q
p Q Ι x/x
→ (^) 2 = 1 , 4142 ... → e = 2,71828... → π = 3,14159...
Æ Conjunto dos Números Reais
R = Q ∪ Q
Æ Conjunto dos Números Complexos
C = {z/z = a + bicoma,b ∈ Rei^2 =− 1}
RESUMO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS (DIAGRAMA DE VENN)
Æ Naturais e Inteiros
Todos os naturais e inteiros podem ser escritos como fração. Afinal, eles representam divisões exatas.
Exemplos:
5
10 1
2 2 = = 5
30 1
6 6 −
= − − = 8
0 1
0 0 = = 2
Æ Decimais
Esse número pode ser escrito na forma fracionária colocando-se o número sem vírgula sobre 1 seguido de tantos zeros quanto forem as casas decimais, ou seja, após a virgula.
Exemplos:
10
4 0 , 4 = 100
12 0 , 12 = 1000
8125 8 , 125 = 10
15 100
225 2 , 25 = =
Observação
→ Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). → Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. → Existem infinitos números primos.
Importante
Dois números naturais a e b são ditos primos entre si ou relativamente primos, se e somente se, o MDC (a, b) = 1.
DIVISÃO EM N
Æ Algoritmo da Divisão
Onde: a = b⋅q + r Obs.: r < b (sempre!!!)
Æ Critérios de Divisibilidade
Divisibilidade Condição por 2 Se termina em número par. por 3 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 3. por 4 Se seus dois últimos algarismos é 00 ou é um múltiplo de 4. por 5 Se termina em 0 ou em 5. por 6 Se é divisível por 2 e por 3. por 8 Se seus três últimos algarismos é 000 ou é um múltiplo de 8. por 9 Se a soma dos algarismos é múltiplo de 9. por 10 Se termina em 0.
Æ Extras → Divisibilidade por 7
Separa-se o algarismo das unidades do restante, então a diferença entre esse número e o dobro do algarismo das unidades, tem que ser divisível por 7.
→ Divisibilidade por 11
A diferença entre as somas dos algarismos de ordem ímpar e de ordem par (ou somar e subtrair os algarismos alternadamente) resulta em um no^ divisível por 11. Dica
O resto da divisão por 9 de um número natural é igual ao resto da divisão por 9 da soma dos algarismos desse número.
Æ Múltiplos de um Número Natural
M(1) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, ...} M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, ...) M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, ...} .............................................. M(x) = {0, x, 2x, 3x, 4x, 5x, ...}
Æ Divisores de um Número Natural
D(1) = {1} D(2) = {1, 2} D(3) = {1, 3} D(4) = {1, 2, 4} D(5) = {1, 5} D(6) = {1, 2, 3} D(7) = {1, 7} D(8) = {1, 2, 4, 8}
Observação
→ Um número p é chamado de primo quando ele admite apenas dois divisores naturais (1 e p). → Quando um número não é primo dizemos que ele é composto. → Existem infinitos números primos.
Æ MMC e MDC
MMC à mínimo (ou menor) múltiplo comum
O m.m.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.
MDC à máximo (ou maior) divisor comum
O m.d.c de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.
Exemplos: M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, ...} D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} M(18) = {18, 36, 54, 72, 90, ...} D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18} MMC(12, 18) = 36 MDC(12, 18) = 6
Observação
Podemos calcular o MMC e o MDC de uma quantidade qualquer de números.
Importante
d
c
b
a
= à ad = bc
b d
a c d
c b
a ±
± = =
→ Se a = k⋅b ↔ a/b = k, dizemos que a é diretamente proporcional à b. → Se a = k/b ↔ a⋅b = k, dizemos que a é inversamente proporcional à b. → kà constante de proporcionalidade
QUESTÕES DE CONCURSOS
01. Três irmãos, Maria, José e Thiago Pacífico, receberam respectivamente 1/2, 1/3 e 1/9 de uma determinada herança. A fração desta herança que não foi distribuída entre estes irmãos foi de : a) 2/ b) 8/ c) 1/ d) 1/ 02. Fiz compras em 5 lojas, gastando em cada uma delas a metade do que eu tinha no bolso. Na saída paguei R$ 2,00 de estacionamento e ainda me restaram R$ 20,00. Ao entrar na primeira loja eu tinha: a) R$ 704, b) R$ 640, c) R$ 1.408, d) R$ 1.280, 03. O número que deve ser colocado na posição ⊗ para tornar válida a igualdade 0
1
1 1
1 2 =
+⊗
−
− é:
a) 0 b) 1/ c) 1/ d) 1
04. Uma pessoa gasta 1/4 do dinheiro que tem e, em seguida, 2/3 do que lhe resta, ficando com R$350,00. Quanto tinha inicialmente? a) 1600 b) 1400 c) 1000 d) 700
05. No esquema abaixo tem-se representada a multiplicação de dois números inteiros, no qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C e D.
AB2C x 4 157D
Completado o diagrama corretamente, é verdade que: a) C = D + 1 b) B = A^2 c) A + B = C + D d) A – C = 5
06. O número de três algarismos 2 m 3 é somado ao número 326, resultando o número de três algarismos 5 n 9. Sabendo-se que 5 n 9 é divisível por 9, temos que m + n é igual a: a) 2 b) 6 c) 4 d) 8 07. Um número natural N tem três algarismos. Quando dele subtraímos 396 resulta o número que é obtido invertendo-se a ordem dos algarismos de N. Se, além disso, a soma do algarismo das centenas e do algarismo das unidades de N é igual a 8, então o algarismo das centenas de N é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 08. A respeito de uma divisão em que o dividendo é representado por D, o divisor por d, o quociente por q e o resto por r, assinale o que for correto.
- D – r = d x q (V)
- d = D x q – r (F)
- d = q
D + r (F)
- d x q + r = D (V)
- q = d
D − r (V)
- D = d x q, se r = 0 **(V)
- Considere o número de 9 algarismos, dos quais o algarismo das unidades é n e todos os demais são iguais a 2. (Isto é: o número 22222222n). O valor de n a fim de que este número seja divisível por 6 é:** a) 2 ou 8 b) 2 ou 7 c) 0 ou 6 d) 3 ou 9 e) 4
16. Sejam os números A = 2^3. 3^2. 5 e B = 2. 3^3. 5^2. O MDC e o MMC entre A e B valem, respectivamente: a) 2. 3^2. 5 e 2^3. 3^3. 5^2 b) 2. 5^2. 5^2 e 2^2. 3^2. 5 c) 2. 3. 5 e 2^3. 3^3. 5^2 d) 2^2. 3^2. 5 e 2. 3^2. 5 e) 2^3. 3^2. 5^2 e 2. 3^3. 5^2 17. Dados n = 2^2 .3a.5^2 .7^3 e m = 2^3 .3^5 .5^2 .7b.11, os valores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, são: a) a = 2 e b = 3. b) a = 3 e b = 1. c) a = 0 e b = 2. d) a = 3 e b = 2. e) a = 2 e b = 2. 18. Considerando os números 68 e 36, é correto afirmar: 01. que 4 é o máximo divisor comum de 36 e 68. (V) 02. que 17 é o máximo divisor comum de 36 e 68. (F) 04. que 4 é o mínimo divisor comum de 36 e 68. (F) 08. que 612 é o máximo múltiplo comum de 36 e 68. (F) 16. que 2 é o mínimo múltiplo comum de 36 e 68. (F) 32. que 0 é um múltiplo comum de 36 e 68. (V) 64. que, se 36 e 68 são os dois primeiros termos de uma progressão aritmética, o quarto termo é 132. **(V)
- Dois ônibus partem simultaneamente de um mesmo terminal rodoviário com destinos** diferentes. Um dos ônibus torna a partir do terminal a cada 80 minutos e o outro a cada 90 minutos. Quantos minutos serão necessários para os ônibus partirem novamente juntos do terminal? a) 450 minutos b) 810 minutos c) 650 minutos d) 500 minutos e) 720 minutos 20. Suponha que da estação rodoviária de Montes Claros saia um ônibus para o bairro Santos Reis, a cada 45 minutos, e um ônibus para o bairro Independência, a cada 50 minutos. Suponha, ainda, que a primeira saída conjunta do dia ocorra às 6 horas da manhã. A que horas, depois da primeira saída conjunta, ocorrerá a próxima? a) 21h15min b) 13h30min c) 19h20min d) 16h50min 21. Uma faixa retangular de tecido deverá ser totalmente recortada em quadrados, todos de mesmo tamanho e sem deixar sobras. Esses quadrados deverão ter o maior tamanho (área) possível. Se as dimensões da faixa são 105 cm de largura por 700 cm de comprimento, o perímetro de cada quadrado, em centímetros, será: a) 28. b) 60. c) 100. d) 140. e) 280.
22. Considere um número inteiro formado por cinco algarismos cuja representação na base dez seja abcde****. Considere também o fato de que um número dessa forma é divisível por 11 se, e somente se, a + c + e – b – d for divisível por 11. Com base nessas condições, assinale a alternativa na qual consta um número divisível por 11. a) 50623 b) 65432 c) 71819 d) 78321 e) 83621 23. Se p e q são números naturais distintos e primos, então o MDC(p, q) + MMC(p, q) é igual a: a) p + q b) pq c) pq + 1 d) 2 e) nda 24. Dois números naturais têm soma 63 e razão 6. O produto desses números é: a) 198 b) 258 c) 312 d) 356 e) 486 25. Numa família, a soma das idades da mãe e dos dois filhos gêmeos é exatamente a idade do pai. Se a soma das idades dos pais e dos dois filhos é 54, qual é a idade do pai? a) 21 b) 23 c) 25 d) 27 e) 29 26. Três lápis de tamanhos diferentes são tais que o segundo é 2cm maior que o primeiro e o terceiro ultrapassa o segundo em 3cm. Se a soma dos comprimentos dos três lápis é 28cm, determine, em cm, o comprimento do lápis intermediário. a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 27. A idade de Ricardo, hoje, é igual à idade de sua esposa Luíza mais 3/4 da idade dela. Sabendo- se que há 10 anos a idade de Ricardo era o dobro da idade de sua esposa. Qual a soma das idades de Ricardo e Luíza, hoje? a) 40 b) 70 c) 110 d) 150 e) 190
33. A Editora do livro Como ser aprovado no vestibular, recebeu os seguintes pedidos:
Livraria No^ de exemplares A 130 B 195 C 390
A Editora deseja remeter os três pedidos em n pacotes iguais, de tal forma de n seja o menor possível. Calcule o valor de n.
34. Qual o valor de a+b, se b
a (^) é a fração irredutível equivalente a 1 , 222 ...
a) 9
42
b) 9
21
c) 21 d) 42
35. A expressão
86 390
95 41 8 2 2 3 − 9 é igual a :
a) 0 b) 9 c) – d) 3
36. Três quartos da despesa de uma firma são com o pagamento da folha salarial, nela incluídos os encargos trabalhistas. Sabendo que a firma gasta R$ 210 000,00 com a folha salarial, seu gasto total por mês é de: a) R$ 270 000, b) R$ 280 000, c) R$ 290 000, d) R$ 300 000, 37. Júnior possui uma fazenda onde recolhe 45 litros de leite de cabra por dia, que são utilizados na fabricação de queijo. Com cada 5 litros de leite, ele fabrica 1kg de queijo. O queijo fabricado é então dividido em porções de 125g que são empacotadas em dúzias. Cada pacote é vendido por R$ 6,00. Quanto Júnior arrecada por dia com a venda do queijo? a) R$ 35, b) R$ 34, c) R$ 33, d) R$ 37, e) R$ 36,
38. Calculando-se os 3 4 dos^
2 5 dos^
7 3 de 120, obtém-se: a) 95 b) 87 c) 84 d) 21 e) 16,
39. Um maratonista calcula que, se correr a uma velocidade constante de 10km por hora, chegará ao final do percurso da corrida às 10:00 horas. Contudo, se sua velocidade constante for de 15km por hora, ele chegará às 8:00 horas. Para que ele chegue exatamente às 9:00 horas, sua velocidade constante deverá se de a) 12 km/h b) 12,5 km/h c) 11 km/h d) 11,5 km/h e) 13 km/h 40. Um nadador, disputando a prova dos 400 metros, nado livre, completou os primeiros 300 metros em 3 minutos e 51 segundos. Se este nadador mantiver a mesma velocidade média nos últimos 100 metros, completará a prova em: a) 4 minutos e 51 segundos. b) 5 minutos e 8 segundos. c) 5 minutos e 28 segundos. d) 5 minutos e 49 segundos. e) 6 minutos e 3 segundos.
GABARITO
D A D B B B C - A 0 A B B C C A B - E B
D C C E D C C D C E D C 11 D A B E C A B
