Progressão Aritmética Progressão aritmética(P.A) Uma progressão aritmética é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante

. O número é chamado de razão da progressão aritmética, e vem do ' r ', de resto da subtração. Alguns exemplos de progressão aritmética:  P.A(1, 4, 7 10, 13,16,19,...), em que r =3(por que o numero do r é a diferença entre os números que vão crescendo);  P.A(-2, -4 -6, -8, -10, -12,...), em que r = - 2 ;  P.A(6, 6, 6, 6, 6, 6,...) em que r = 0. Numa progressão aritmética, a partir do segundo termo, o termo central é a média aritmética do termo antecessor e do sucessor, isto é, an = ( an − 1 + an + 1) /

 Fórmula do termo geral de uma progressão aritmética A fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

an é o enésimo termo (termo geral); a1 é o primeiro termo; n é o número de termos presentes na PA; r é a razão. demonstração  O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.  O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

 O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

, portanto:

 O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

, portanto:

 Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos equidistantes deles; A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética finita, a partir do primeiro, é calculada pela seguinte fórmula:

A soma dos termos entre e é:

[email protected];

Tipos de progressões aritméticas 1.Progressão aritmética constante Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero. Exemplos de progressão aritmética constante:  P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0  P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

2.Progressão aritmética crescente Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maior que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0). Exemplos de progressão aritmética crescente:  P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,...) - razão r = 2  P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,...) - razão r = 3 3.Progressão aritmética decrescente Uma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menor que o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0). Exemplos de progressão aritmética decrescente:  P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,...) - razão r = -  P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,...) - razão r = -

4.Progressão aritmética de segunda ordem Uma progressão aritmética de segunda ordem é considerada por muitos matemáticos o tipo de progessão aritmética mais complexo. Consiste

numa sequência de números que, aparentemente, nada parece com uma progressão aritmética, porém percebe-se que a diferença entre os números da sequência cresce em progressão aritmética como mostra o exemplo:  Sequência - (1,3,7,13,21,31,43,57,73bnk)

Se subtrairmos o primeiro termo da sequência do segundo, teremos como resultado o número 2. Já a diferença entre o segundo e terceiro termos é igual a 4, a diferença entre o terceiro e o quarto termos é igual a 6 e assim sucessivamente. Verificamos que a diferença entre os termos da sequência cresce em progressão aritmética de razão igual a 2. PS:o numero da razão cresce de 2 em 2. Exemplos

Qual o milésimo número ímpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a 1 = 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a 1000.

2.Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22)?

3.Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão?

4.Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo?

5.Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos.

Exercícios propostos: 1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa? *a) 9