A Equação Quadrática, Exercícios de Matemática

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A Equação Quadrática

Alexandre Trovon

Departamento de Matemática – UFPR

2 – A Equação Quadrática

Como vimos antes equações quadráticas já eram resolvidas por meio de completamento de quadrados desde os tempos babilônicos. Entretanto, a obtenção de uma fórmula utilizando letras para representar quantidades como hoje fazemos, sintetizando o método de solução, é algo muito mais recente.

Isso ocorreu somente com a publicação de “La Géométrie” de Descartes, em 1637. Nessa obra, pela primeira vez, o autor utiliza as primeiras letras do alfabeto a , b , c , ... para representar constantes e as últimas x , y , z , u , ... para representar variáveis e incógnitas. Descartes também é o primeiro a escrever produtos na forma de potências ao utilizar-se de letras, por exemplo x ⋅ x como x^2 , x ⋅ x ⋅ x como x^3 , etc. É nesse contexto que a fórmula para a equação quadrática aparece como a conhecemos hoje.

Em períodos anteriores ao século XV, o processo de solução das equações quadráticas era registrado de maneira “retórica”, isto é, como uma receita textual, de modo muito semelhante ao que ocorria na época babilônica. Em [1], por exemplo, encontramos a referência dada pelo matemático indiano Brahmagupta para solução de uma equação quadrática no ano de 628 dC:

Ao número absoluto multiplicado por quatro vezes o coeficiente do quadrado, some o quadrado do coeficiente do termo médio. A raiz quadrada do mesmo, menos o coeficiente do termo médio, se dividido por duas vezes o coeficiente do quadrado, é igual ao termo médio.

As equações a que Brahmagupta se refere, quando escritas em linguagem moderna,

são da forma ax^2 + bx = c , sendo c o chamado “número absoluto”. Nesse caso, de

acordo com as explicações, pode-se concluir que x = 4 ac + b^2 − b 2 a

Apesar de esforços de matemáticos como Cardano, tentando compilar o que se conhecia sobre as soluções das equações quadráticas, as tentativas de sistematizar os diferentes tipos de solução dadas por Stevin [7], é somente em “La Géométrie” que temos uma fórmula na linguagem e notações semelhantes às que conhecemos hoje. Nessa obra, dentre várias situações, Descartes apresenta uma maneira geométrica de

se solucionar equações da forma z^2 = az − b^2 , obtendo uma fórmula explícita para z

como z =

a ±

a^2 − b^2.

O quadro a seguir, extraído de [3], mostra a evolução na forma de se representar uma equação quadrática de 1494 a 1693. Ele ilustra a dificuldade de notação que se tinha, e vale lembrar que antes desse período o processo de solução era descrito de forma retórica, como ilustramos no caso indicado por Brahmagupta, acima.

No que segue, vamos ver como deduzir a fórmula para solução da equação quadrática por meio do completamento de quadrados, e a correspondente interpretação geométrica das operações realizadas.

2.1 – Dedução por Completamento de Quadrados

Considerando que ax^2 + bx + c = 0 , primeiramente observe que deve-se ter a ≠ 0 a fim de que realmente a equação seja quadrática. Dessa forma, podemos reescrever a equação assim:

ax^2 + bx + c = 0

a^2 x^2 + abx = − ac Multiplicando por a e isolando o termo sem o x.

( ax ) 2 + b ⋅ ( ax ) = − ac

Aqui fica claro que podemos fazer uma mudança de variável colocando y = ax , para

obtermos a nova equação

y^2 + b ⋅ y = c

em que colocamos c = − ca. O ponto importante nessa mudança de variáveis é que ela preserva o termo b , utilizado no completamento de quadrados. E, ao reescrever a equação nessa forma, pode-se mais facilmente dar a ela uma interpretação geométrica.

A ideia de se fazer a transformação y = ax , e obter uma nova equação com o mesmo

termo linear não é nova. Ela é apresentada no tablete babilônico BM 13 901 para

solução da equação quadrática 11 x^2 + 7 x = 6;.

Retornando à equação, observe agora que um simples completamento de quadrados resolve o problema:

y^2 + b ⋅ y = c

y^2 + b ⋅ y + b 2

2 = c + b 2

2

y +

b 2

2 = c +

b 2

2

y + b 2

= ± c + b 2

2

y = − b 2

± c + b 2

2

Substituindo na igualdade acima as expressões b 2

2

b^2 4

, c = − ca e y = ax obtemos

finalmente

ax = − b 2

± − ca + b^2 4

x =

− b ± b^2 − 4 ac 2 a

2.2 – Interpretação Geométrica da Fórmula

A multiplicação da expressão ax^2 + bx + c = 0 por a , transformando-a na nova

equação y^2 + b ⋅ y = c através das mudanças de variáveis y = ax e c = − ca nos

permite dar uma interpretação geométrica ao processo de completamento do quadrado

do membro da esquerda da igualdade. De fato, com base na expressão y^2 + b ⋅ y = c

construímos a figura a seguir:

O processo que consiste em somar b 2

2 a ambos os lados da igualdade, faz com que

o membro y^2 + b ⋅ y + b 2

2 represente a área de um quadrado, como ilustra a figura

acima. Nesse caso, o quadrado terá lado y + b 2

. A conclusão então é que o lado do

quadrado será igual à raiz quadrada do termo c + b 2

2 , já que esse último número

agora tem o significado geométrico de área.

y

b /

y (^) b /

y^2 = b^2 − 4 ac

y = ± b^2 − 4 ac

Lembrando que x = y − b 2 a

, escrevemos a variável y como y = 2 ax + b. Dessa forma,

obtemos:

2 ax + b = ± b^2 − 4 ac

x = − b ± b^2 − 4 ac 2 a

Segunda Dedução:

O método que apresentamos a seguir é atribuído a Viète [3]. Na equação

ax^2 + bx + c = 0

efetuamos a substituição x = u + v. Dessa maneira,

a ( u + v ) 2 + b ( u + v ) + c = 0

au^2 + 2 auv + av^2 + bu + bv + c = 0

Reagrupando os termos em u temos

au^2 + (2 av + b ) u + av^2 + bv + c = 0

A fim de se eliminar o termo em u , ficando somente com o termo em u^2 , podemos

impor que o coeficiente de u seja zero, isto é, 2 av + b = 0. Assim, obtemos v = − b 2 a

Substituindo esse valor na equação acima, encontramos

au^2 + a −

b 2 a

2

• b −

b 2 a

' +^ c^ =^0

au^2 + ab^2 4 a^2

b^2 2 a

• c = 0

4 a^2 u^2 − b^2 + 4 ac = 0

u = ± b^2 − 4 ac 2 a

Lembrando que v = − b 2 a

, e também que inicialmente x = u + v , obtemos então a

fórmula

x = u + v

x = −

b 2 a

b^2 − 4 ac 2 a

Finalmente, a título de curiosidade, queremos citar o artigo de Heaton [4]. Segundo

esse autor, até 1896 não se tinha notícia da fórmula x = − b ± b^2 − 4 ac 2 a

e de sua

dedução como método para solução direta de equações quadráticas. Apesar das soluções de Descartes implicarem diretamente as de Heaton elas eram baseadas em um método dedutivo geométrico, não algébrico.

Referências:

1. Berriman, A.: The Babylonian Quadratic Equation. The Mathematical Gazzete 40 (1956), 185 – 192.
2. Bourbaki, N.: Éléments D’Histoire des Mathématiques. Paris: Masson, 1984. Réimpression inchangée de l’edition originale, Berlin: Springer, 2007.
3. Fragoso, V.: Equação do 2 o^ Grau: Uma Abordagem Histórica. 2 a^ Edição. Ijuí: Unijuí, 1999.
4. Heaton, H.: A Method of Solving Quadratic Equations. American Mathematical Monthly 3 (1896), 236–237.
5. Neugebauer, O.: The Exact Sciences in Antiquity , 2nd ed., RI: Brown University Press, 1957; reprinted ed., New York: Dover, 1969.
6. Pesic, P.: Abel’s Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvabilitty. Cambridge: The MIT Press, 2003.
7. Struik, D. (ed.), The principal works of Simon Stevin. Vol. IIB: Mathematics. Amsterdam: N. V. Swets & Zeitlinger, 1958.