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PROBABILIDADE
“Em um experimento aleatório, cujo espaço amostral é equiprovável, a probabilidade de um evento ocorrer é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.” (Laplace)
ESPAÇO AMOSTRAL
Dado um fenômeno aleatório, isto é, sujeito às leis do acaso, chamamos de espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de ocorrer. Exemplos:
- Lançamento de um dado, observando a face voltada para cima F 0D E E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- Lançamento de duas moedas, observando as faces voltadas para cima F 0 D E E = {(ca, ca),(ca, co), (co, ca), (co, co)}.
EVENTO
Chama-se evento a qualquer subconjunto do espaço amostral. Assim, por exemplo, no lançamento de um dado, o evento ocorrência de um número par é {2, 4, 6}.
Observações:
- Se A = F 0C 6 , A é um evento impossível.
- Se A = E, A é um evento certo.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS Dois eventos são mutuamente exclusivos quando não possuem elemento comum. Assim, por exemplo, no lançamento de um dado, o evento A ocorrência de número maior que 5 e o evento B ocorrência de número ímpar menor que 4 são exclusivos, pois A = {6} e B = {1, 3}. Note que A F 0C 7 B = F 0C 6.
EVENTOS COMPLEMENTARES
Dois eventos são complementares quando cada um é formado por todos os resultados que não são do outro, ou seja, quando são exclusivos e a sua união é o espaço amostral. Representamos o complementar de um evento A por ou por. Observamos então, que pela definição:
AF 0 C 7=F 0 C 6 AF 0 C 8= E
PROBABILIDADE
Sendo n(A) o número de elementos de um evento A e n(E) o número de elementos do espaço amostral E , (E F 0B 9^ F 0C 6 e A F 0C C E), a probabilidade do evento A, que se indica por P(A) , é o número:
em que n(A) é o número de casos favoráveis ao evento A e n(E) o número de casos possíveis, desde que sejam igualmente prováveis (equiprováveis). Observações: P(E) = 1 P(F 0C 6 ) = 0 0 F 0A 3 P(A) F 0A 3 1 P(A) + P() = 1 P(AF 0C 8 B) = P(A) + P(B) – P(AF 0C 7 B)
Exemplo 1
Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11? Temos:
- F 05 7 = {1, 2, 3, ..., 15}
- Seja o evento E: “o número da bola sorteada é maior ou igual
a 11”. Temos: E = {11, 12, 13, 14, 15}. Assim:
Exemplo 2
Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a possibilidade de esse número ser: a) menor que 3? e b) maior ou igual a 3?
Temos: F 05 7 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
a) Seja E o evento “o número é menor que 3”. Temos: E = {1, 2}. Então,.
b) Basta considerar o evento complementar em relação ao evento anterior, isto é, E c^ = {3, 4, 5, 6}.
Assim,.
Note sempre que p(E) + p(E c) = 1
Exemplo 3
Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
a) exatamente uma cara?
b) no máximo duas caras?
Vamos construir um diagrama de árvore onde na 1ª, 2ª e 3ª colunas, respectivamente, representaremos os possíveis resultados para o 1º, 2º e 3º lançamentos.
O espaço amostral é formado pelas oito seqüências indicadas.
a) O evento E 1 que nos interessa é: {(K, C, C), (C, K, C), (C, C, K)} Assim,. b) As seqüências que nos interessam são aquelas que apresentam nenhuma, uma ou duas caras. Assim, o evento pedido é:
E 2 = {(C, C, C), (K, C, C), (C,
K, C), (C, C, K),
(K, K, C), (K, C, K), (C, K, K)}
Logo,.
Exemplo 4
Uma classe tem 20 meninos e 25 meninas. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos para representantes de classe. Qual a probabilidade de essa comissão vir a ser formada exclusivamente por meninosF 03 F
O número de elementos de F 05 7 é igual ao número de maneiras de se escolher uma comissão qualquer de cinco pessoas, a partir dos 45 alunos. Como vimos, n(F 05 7 ) = C (^) 45,5.
O evento E que nos interessa é aquele em que “todos os alunos da comissão são meninos”. O número de comissões assim existentes é C20,.
Assim, a probabilidade pedida é:
EXERCÍCIOS DE SALA
1. (UFS – 2002 - adaptada) 2
Resp: a) e b)
- Retirando-se, ao acaso, 4 cartas de um baralho de 52 cartas, determine a probabilidade de se obter: a) 4 ases;
b) 4 cartas de copas;
c) 2 ases e 2 reis.
- Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos qualquer número par é a mesma, e a de observarmos qualquer número ímpar é também a mesma. Porém a probabilidade de ocorrer um número par é três vezes a probabilidade de ocorrer um número ímpar. Lançando- se esse dado, qual a probabilidade de:
- a) ocorrer um número primo?
- b) ocorrer um múltiplo de 3?
- (PUC – SP) Gira-se o ponteiro (veja a figura) e anota-se o número que ele aponta ao parar. Repete-se a operação. Qual a probabilidade de que a soma dos dois número obtidos seja 5?
- a)
b) 11) c) 12) d) 13) e)
- Num estoque de 10 calças, há 4 defeituosas. Escolhendo-se ao acaso 4 calças, qual a probabilidade de que exatamente duas sejam defeituosas?
- (Fuvest) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é:
- a)
- b)
- c)
- d)
TAREFÃO
1 Sorteando-se um aluno de uma classe, a probabilidade dele ter 18 anos ou mais é 0,8 e a probabilidade dele ter 18 anos ou menos é 0,5. Calcule a probabilidade de que um aluno sorteado tenha exatamente 18 anos.
2 .(PUC – RJ) Uma doença congênita afeta 1 em cada 700 homens. Numa população de um milhão de homens, a probabilidade de que um homem, tomado ao acaso, não seja afetado é:
a) superior a 0,99. b) igual a 0,99. c) menor que 0,98. d) igual a. e) ou 50%.
- Num grupo de 12 profissionais há 4 geógrafos, 4 historiadores e 4 cientistas sociais. Escolhendo-se, ao acaso, uma comissão de 6 pessoas, qual a probabilidade de haver exatamente 2 de cada profissão citada?
- (EAESP – FGV) Uma urna contém 50 bolinhas numeradas de 1 a 50. Sorteando-se uma bolinha, a probabilidade de que o número observado seja múltiplo de 8 é: a) b) c) d)
4
e)
- (PUC – SP) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis. Alguém, querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se alguém que escolhe 5 dezenas tem probabilidade x de ganhar, então quem escolhe 7 dezenas tem que probabilidade de ganhar?
a) 7x b) 14x c) 21x d) 28x e) 35x
- Um dado é viciado, de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número. Calcule a probabilidade de:
a) ocorrer número par; b) ocorrer número maior ou igual a 5.
7 .Um adivinho diz ser capaz de ler o pensamento de outra pessoa. É feita a seguinte experiência: seis cartas (numeradas de 1 a 6) são dadas à pessoa, que concentra sua atenção em duas delas. O adivinho terá que descobrir essas duas cartas. Se o adivinho estiver apenas “chutando”, qual a probabilidade dele:
a) acertar as duas cartas nas quais a outra pessoa concentra a atenção?
b) acertar somente um carta?
c) errar as duas cartas?
- Uma urna contém 4 bolas azuis e 3 bolas verdes.
a) Retirando-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas, qual é a probabilidade de saírem duas bolas de cores diferentes? b) Retirando-se, simultaneamente duas bolas da urna, qual é a probabilidade de elas terem cores diferentes?
Obs.: Compare os resultados obtidos.
- (Fuvest) Escolhendo-se ao acaso duas arestas de um cubo, a probabilidade de elas serem reversas é:
- a)
- b)
- c)
- d)
- e)
- (Vunesp) João lança um dado sem que Antônio veja. João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade agora de Antônio acertar é:
- a)
- b)
- c)
- d)
GABARITO
- a
- a
- (^) c
- a) , b)
- (^) a) , b) , c)
- a) e b)
- (^) d
- b
* IMPORTANTE *
LEITURA COMPLEMENTAR
(para outros vestibulares)
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Chama-se probabilidade condicional de A , relativamente a B , a probabilidade do evento A quando já se verificou o evento B. Indica-se por P(A F 0B D B).
:
5
38)..a F 07 5 Se três moedas de R$ 0,50 são depositadas no controlador, a probabilidade de que, pelo menos, uma seja aceita é igual a 0,999. 38)..b F 07 6 Se um motorista tem somente uma moeda de R$ 1, e uma de R$ 0,50, a probabilidade de que ele consiga abrir o portão é de 0,85. 38)..c F 07 7 Se um motorista, com uma moeda de R$ 1,00 e três moedas de R$ 0,50, inserir primeiro a moeda de R$ 1,00, a probabilidade de que ele consiga abrir o portão será maior que 0,94.
- (U. C. Salvador) Das 180 pessoas que trabalham em uma empresa, sabe-se que 40% têm nível universitário e 60% são do sexo masculino. Se 25% do número de mulheres têm nível universitário, a probabilidade de selecionar-se um funcionário dessa empresa que seja do sexo masculino e não tenha nível universitário é:
- a)
- b)
- c)
- d)
- Uma certa moléstia A é detectada
através de um exame de sangue.
Entre as pessoas que efetivamente
possuem a moléstia A, 80% delas
têm a moléstia detectada pelo exame
de sangue. Entre as pessoas que não
possuem a moléstia 5% delas têm a
moléstia detectada (erroneamente) pelo exame de sangue. Numa cidade, 2% das pessoas têm a moléstia A. Uma pessoa da cidade foi submetida ao citado exame de sangue que a acusou como portadora da moléstia A. Qual a probabilidade de essa pessoa estar efetivamente atacada pela moléstia?
- (PAS – UnB) Em uma eleição, o candidato A tem probabilidade 0, de ganhar, o candidato B tem 0,3, o candidato C tem 0,2 e o candidato D tem 0,1. Em um determinado momento, durante a apuração dos votos, é divulgado que o candidato C não ganhará a eleição.Calcule,em porcentagem a probabilidade,a partir dessa divulgação, de o candidato B ganhar a eleição. Despreze a parte fracionária de seu resultado caso exista. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DE PROBABILIDADES Consideremos uma seqüência de n experimentos tais que:
- cada experimento apresente sempre dois resultados possíveis, que chamaremos de sucesso (S) ou fracasso (F).
- Em qualquer um dos experimentos, a probabilidade de S seja a constante q e, consequentemente, a probabilidade de F seja 1 – q. Nessas condições, a probabilidade P de ocorrerem k (k F 0A 3 n) sucessos (que será igual à probabilidade de ocorrerem n
- k fracassos) é:
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
- Se um casal deseja ter 5 filhos, qual é a probabilidade de que tenham exatamente 3 homens e 2 mulheres.
- Um time de futebol tem probabilidade p = de vencer todas as vezes que joga. Se disputar 5 partidas, qual a probabilidade de que vença ao menos uma?
- (PUC) A probabilidade de que um elefante com 30 anos de idade sobreviva mais 20 anos é 0,7. O zoológico de minha cidade possui cinco elefantes com exatamente 30 anos cada um. Qual é a probabilidade de que daqui a 20 anos apenas um desses animais esteja vivo?
- A probabilidade de um atirador acertar o alvo em cada tiro é. Em 20 tiros, qual é a probabilidade desse atirador acertar no máximo 18 vezes? (Indique somente os cálculos).
- A probabilidade de um jogador de basquetebol marcar ponto em cada lance livre é. Em 5 lances livres qual é a probabilidade desse jogador marcar ponto em exatamente 3 lances?
GABARITO DA LEITURA
COMPLEMENTAR
(PROBABILIDADE CONDICIONAL)
14) CEC
- b
- 37
- 2,835%
- 1 -
- 32,9%
