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Cônicas
As secções de um plano com um cone de duas folhas formam as três “cônicas”
O plano secante não é paralelo a nenhuma geratriz, e não passa pelo vértice.
O plano secante é paralelo a duas geratrizes, ou seja, é paralelo ao eixo do cone.
O plano secante é paralelo a só uma das geratrizes.
ESTUDO DA ELIPSE
1 – A Elipse como “lugar geométrico”
Definição
É o conjunto de todos os pontos de um plano para os quais a soma das distâncias a dois pontos fixos, F 1 e F 2 , deste plano, é
constante e maior que F 1 F 2.
- C: centro
- F1 e F 2 : focos
- 2c: distância focal
- V 1 e V 2 : vértices
- : eixo maior
- 2a: medida do eixo maior
- : eixo menor
- 2b: medida do eixo menor O centro C de uma elipse é ponto médio do eixo maior , do eixo menor e do segmento.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo , temos:
Excentricidade
A excentricidade de uma elipse é dada pela razão:
Observações:
F 0 9 7 Como a > c ( hipotenusa maior que cateto), então a excentricidade da elipse está no intervalo 0 < e < 1.
F 0 9 7e 0 a elipse aproxima-se de um circunferência, isto é, a distância focal 2c 0 e a b.
F 0 9 7e 1 a elipse ficará bem “achatada”, pois a distância focal 2c 2a e b 0.
Área de uma elipse
A área da elipse é dada S =F 0 7 0ab
2 – O traçado da elipse
- Sobre uma prancha de madeira fixe uma folha de papel.
- Nessa prancha, pregue duas tachinhas de sapateiro, separadas por uma distância qualquer.
- A seguir, tome um barbante com comprimento igual a 2a e amarre suas extremidades, uma em cada tachinha. O comprimento do barbante deve ser maior que a distância entre as tachinhas.
- Mantendo o barbante esticado com o auxílio de um lápis, trace uma elipse.
- Chamamos de F 1 e F 2 os pontos em que as tachinhas foram pregadas. Assim, para qualquer ponto P da elipse temos:
d(P,F 1 ) + d(P,F 2 ) = comprimento do barbante = 2a
3 – A Elipse no Plano Cartesiano Equações reduzidas da elipse
a) 1 o^ caso: centro C(X0, Y 0 ) e eixo maior paralelo a Ox
y
x 0 x
y 0
a a
b
b
C
b) 2 o^ caso: centro C(X0, Y 0 ) e eixo maior paralelo a Oy
y
x 0 x
y 0
a
a
b b
C
0
c) 3 o^ Casos particulares (centro C na origem)
- 1 o^ caso: eixo maior em Ox
y
a a x
b
b
C
- 2 o^ caso: eixo maior em Oy
y
x
a
a
b b
C
Observações:
- Em qualquer caso (mesmo quando o eixo maior não é paralelo a um dos eixos cartesianos), para deduzir a equação da elipse, basta impor P(x, y) pertencente à elipse e aplicar a definição d (^) PF1 + d (^) PF2 = 2a.
- A equação geral da elipse pode ser deduzida a partir do desenvolvimento da equação reduzida, e existirá o termo Kxy, K 0, quando o eixo maior não for paralelo a um dos eixos cartesianos.
y
(^0) x 0 x
F 1
F 2
y 0
a
a
b b C
c) Casos particulares (centro C na origem)
- (^) 1 o^ caso: eixo transverso em Ox
F 2 F 1
y
x
a a
b
b
0 C
- 2 o^ caso: eixo transverso em Oy
F 1
F 2
y
x
a
a
b b
0 C
Observações:
- Em qualquer caso (mesmo quando o eixo transverso não é paralelo a um dos eixos cartesianos), para
deduzir a equação da hipérbole, basta impor P(x, y) pertencente à hipérbole e aplicar a definição | d (^) PF1 – d (^) PF2| = 2a.
- A equação geral da hipérbole pode ser deduzida a partir do desenvolvimento da equação reduzida.
- Na equação geral da hipérbole, quando o eixo transverso não é paralelo a um dos eixos cartesianos, aparece, na equação, o termo Kxy, K 0.
- As equações das assíntotas são as retas com pontos em (x 0 ,y 0 ), centro da hipérbole, e (a, b) para o caso de eixo transverso paralelo a Ox, e (b, a) para o caso do eixo transverso paralelo a Oy.
- Quando as assíntotas são os eixos cartesianos, a equação da hipérbole eqüilátera é , 2 1 1 D *.
- (^) 1 o^ caso: k > y
0 x
0 x
- Quando as assíntotas são paralelas aos eixos cartesianos (assíntotas de equações e ), a equação da hipérbole eqüilátera é , 2 1 1 D *.
ESTUDO DA PARÁBOLA
1 – A Parábola como “ lugar geométrico”
Definição
É o conjunto de todos os pontos do plano eqüidistantes de uma reta dada e de um ponto fixo (que não pertence à reta) deste plano.
- r: diretriz
- F: foco
- s: eixo de simetria
- 2a: distância do foco à diretriz
O eixo de simetria da parábola é a reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz.
O vértice V da parábola é o ponto de encontro do eixo de simetria com a parábola.
Note que: d (^) V,F = dV,r = a.
Chamaremos o número 2a de parâmetro da parábola.
Excentricidade
A excentricidade de qualquer parábola é:
e = 1
2 – O Traçado da Parábola
- Fixe uma régua com fita crepe numa prancha.
- Pegue um pedaço de barbante com comprimento F 0 6 C igual a um dos catetos de um esquadro. Fixe uma das extremidades do barbante na extremi-dades do cateto correspondente ao ângulo agudo.
- Coloque o esquadro sobre a prancha e encoste o outro cateto do esquadro na borda da régua. Fixe, com uma tachinha, a outra extremidade do barbante em um ponto F da prancha.
- Com o auxílio de um lápis, mantenha o barbante esticado e encostado no esquadro. Deslizando o esquadro na borda da régua, como mostra a figura, você traçará uma parábola.
- Se chamarmos de r a reta que coincide com a borda da régua, então para todo ponto P da parábola, vale a relação:
d(P,F) = d(P,r)
Assim, podemos afirmar que todo ponto da parábola está igualmente distante da reta r e do
ponto F.
3 – A Parábola no Plano Cartesiano
Considere f = a nas equações abaixo.
1 o^ caso: vértice V(x 0 , y 0 ) e eixo de simetria (s) paralelo a Ox
s
x
y
y 0
x 0
f f
V
d
F
s
x
y
y 0
x 0
f f
V
d
F
2 o^ caso: vértice V(x 0 , y 0 ) e eixo de simetria (s) paralelo a Oy
y s
y (^) 0
F
fV
f
d
(^0) x (^) 0 x
d) Eixo de simetria y = 1 e) Tem concavidade voltada para esquerda.
- As coordenadas do vértice da parábola de equação x 2
a) V(1, 3) b) V(1, -1) c) V(-2, -1) d) V(-2, -3) e) V(-1, 2)
- A diretriz da parábola de equação x 2 +4x+8y+12=0 é:
a) y = 2 d) y = 5 b) y = -1 e) y = 1 c) y = 3
- A equação da parábola de eixo de simetria vertical e que passa pelos pontos A(0, 3), B(1, 0) e C(2, -1) é:
a) (^) y = x^2 – 6x + 5 b) y = x^2 – 4x + 3 c) y = x^2 – 3x + 2 d) y = x^2 – 9x + 20 e) y = x^2 - 4
- A parábola de equação x^2 + 6y = 0 tem diretriz igual a:
a) y = 1 b) y = - c) y = 2 d) y = 3 e) y =
- Numa parábola, o vértice é o ponto (0, 0) e o eixo de simetria é o eixo x. Determine a equação da parábola, sabendo que ela passa pelo ponto (3, -6).
a) y^2 = 12x b) x^2 = 3y c) x^2 – 6y + 8x – 1 = 0 d) y = 4x^2 e) x = 3y^2
- Os pontos de intersecção da parábola y=x^2 –3x+4 com a reta y = x + 1 são:
a) (2, 3) e (-1, 0) b) (1, 2) e (3, 4) c) e (-1, 0) d) (1, 2) e (2, 3) e) (3, 4) e (-1, 0)
- As retas definidas por x = 4 e y + x = 3 se interceptam no ponto A. A distância do ponto A ao vértice da parábola definida por y = x^2 – 2x – 3 é:
a) 3 b) c) 3 d) 5 e) 6
- A equação da reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola y = -x^2 + 4x – 3 é:
a) y = 2x b) y = 3x c) (^) y = x
d) y = x e) y = x
- As coordenadas do vértice da parábola da equação 2x 2
a) (1, -2) b) (-1, 0) c) (-1, 2) d) (0, 1) e) (1, 2)
- Os valores de b para os quais a parábola y = x 2 + bx tem um único ponto em comum com a reta y = x – 1 são:
a) –1 e 3 b) –1 e 2 c) –3 e – d) 0 e – e) 0 e 2
- O lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos pontos fixos (-1, 0) e (1, 0) é sempre igual a 4, intercepta o eixo y em pontos de ordenadas:
a) 0 e 2 b) F 0 B 1 c) F 0 B 1 3 d) F 0 B 1 e) F 0 B 1
- A equação da parábola de foco F(0, 1) e diretriz de equação y + 1 = 0 é:
a) y = 4x^2 b) (y – 1)^2 = 4x 2 c) y = x^2 d) x 2 = 4y e) y = -4x^2
- Num sistema cartesiano ortogonal, a equação do lugar geométrico dos pontos que eqüidistam do eixo Oy e do ponto (4, 0) é:
a) y 2 = 8(x – 1) b) y = 4(x – 2) c) y 2 = 4x - 2 d) y 2 = 8(x – 2) e) y 2 = 2x - 1
- Qual a distância da origem do sistema cartesiano ao vértice V da parábola de equação x 2 – 6x – y + 10 = 0?
a) b) 10 c) d) e) nda.
- (^) A equação do conjunto de pontos eqüidistantes da reta y = -3 e do ponto F(0, 3) é:
a) x^2 = y b) x^2 = c) x 2 = 4y d) x^2 = 6y e) x^2 = 12y
- A representação gráfica da cônica y = 2x^2 + bx + c intercepta o eixo dos x em 2 e se b e c são, respectivamente, iguais a:
a) e d) e b) e e) e c) e
- A parábola cujo eixo de simetria é Oy, e que passa pelos pontos de intersecção da reta x + y = 0 com a circunferência x^2 + y^2 + 8y = 0, tem por equação:
a) y = b) y = 4x^2 c) y = d) y = e) nda.
- Os vértices de um triângulo estão sobre a parábola de equação y = x^2 + x – 12. Sabendo-se que dois dos vértices estão sobre o eixo x e que o terceiro é o vértice V da parábola, então a área do triângulo vale:
a) b) c) 147 d) e)
- A equação da elipse de focos F 1 (3, 0) e F 2 (-3, 0) e comprimento do eixo maior 8 é:
a) b) c) d) e)
- A equação de uma elipse de vértices V 1 (0, 6) e V 2 (0, -6) e de focos F 1 (0, 4) e F 2 (0, -4) é:
a) b) c) d) e)
- O eixo maior de uma elipse está contido no eixo x. Sabendo que o comprimento do eixo menor é 6 e a distância focal é 10. A equação da elipse é:
a) b) c) d) e)
- A equação da elipse que passa pelos pontos A(2, 0), B e eixo maior contido no eixo x, é:
a) b) c) d) e)
- As coordenadas do vértice da elipse de equação 16x^2
a) (5, 0) e (-5, 0) b) (4, 0) e (-4, 0) c) (3, 0) e (-3, 0)
d) (0, 4) e (0, -4) e) nda.
- A medida do eixo maior de uma elipse de equação , é:
a) 12 d) 24 b) 10 e) 15 c) 6
- Dados os pontos F 1 (2, 0), F 2 (-2, 0) e A(4, 0). A equação da elipse que tem focos em F 1 e F 2 e que passa pelo ponto A, é: a) b) c) d) e) nda.
- A distância focal na elipse de equação x 2 + 3y 2 = 3, é:
a) d) 2 b) e) 3 c) 2
- A excentricidade da elipse de equação , é:
a) b) c) 2 d) e)
- (^) Numa elipse de vértices V 1 (5,0 ) e V 2 (-5, 0), a excentricidade é e =. A equação da elipse é:
a) b) c) d) e) nda.
- Dada a elipse , assinale a sentença verdadeira.
a) O comprimento do eixo maior é 2. b) O comprimento do eixo menor é 2. c) As coordenadas dos focos são (0, 2) e (0, -2). d) As coordenadas dos vértices são (2, 0) e (-2,
e) A excentricidade é.
- A equação da hipérbole de focos F 1 (0, 6) e F 2 (0, -6), e eixo imaginário 8 unidades de comprimento, é:
a) b) c) d) e)
- Numa hipérbole, a distância focal é 16 e o comprimento do eixo real é 12. Os focos pertencem ao eixo das abscissas. A equação da hipérbole é:
a) b) c) d) e)
- A equação de uma hipérbole equilátera de focos F 1 (6,
- e F 2 (-6, 0) é:
- A parábola de equação y = ax^2 + bx + c passa pelos pontos (1, 0), (2, 5) e (-4, 5); então o valor de a + b + c é:
a) 6 b) 0 c) 2 d) 5 e) 4
- O eixo menor da elipse de equação 5x 2 + 2y^2 = 20 tem comprimento igual a:
a) 2 b) 4 c) 10 d) e) 2
- Qual a distância entre os focos da elipse de equação 2x^2 + y^2 = 2.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nda.
- As coordenadas dos focos da elipse de equação 9x 2 + 25y 2 = 225 são:
a) e b) (2, 0) e (-2, 0) c) (0, 4) e (0, -4) d) (4, 0) e (-4, 0) e) (0, 2) e (0, -2)
- (^) Dados a circunferência (F 0 6 C) x 2 + y 2 = 4 e a elipse (F 0 6 C 1 ) 9x^2 + y^2 = 9 e o ponto P(1, 1), a afirmação correta é:
a) P é ponto interior aF 0 6 Ce exterior aF 0 6 C 1. b) P é ponto exterior aF 0 6 Ce interior aF 0 6 C 1. c) P é ponto interior aF 0 6 Ce interior aF 0 6 C 1. d) P é ponto exterior aF 0 6 Ce exterior aF 0 6 C 1. e) P está sobreF 0 6 C 1 e é exterior aF 0 6 C.
- A equação 9x^2 + 16y 2 – 144 = 0 representa:
a) uma circunferência. b) uma parábola. c) uma elipse. d) uma hipérbole. e) nda.
- (^) Os pontos de intersecção da reta y = com a hipérbole x^2 – 4y 2 = 16 são:
a) (-4, 0) e b) (4, 0) e c) (4, 0) e d) (4, 0) e e) nda.
- Um dos pontos P de intersecção da reta r, que passa por Q = (1, 1) e é perpendicular à reta s de equação x
- y = 0, com a elipse de equação 2x^2 + y 2 + 2y – 1 = 0, é:
a) P = ( –1, –1) b) P = (1, 1) c) P = (1, 2) d) P = ( –1, 2) e) P =(2, –1)
- A reta que passa pelos pontos de intersecção da parábola y = x^2 com a elipse = 1 é
a) y = – x b) y = 2x + 1 c) y = 2x d) y = 3x
- Na elipse de equação , inscreve-se um quadrado. Um dos vértices do quadrado tem abscissa:
a) b) c) d) e)
- A parábola de equação y = ax^2 + bx + c passa pelo ponto (1, 0). Então a + b + c é igual a:
a) 0 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6
- Dada a elipse de equação 25x^2 + 9y^2 – 90y = 0, assinale a alternativa que nos indica corre-tamente as coordenadas do centro, dos focos, as medidas do eixo maior e menor e a distância focal, respectivamente:
a) C(0, 0), F 1 (0, -4), F 2 (0, 4), 10, 6, 8 b) C(0, 5), F 1 (0, 1), F 2 (0, 5), 4, 8, 6 c) C(0, 3), F 1 (1, 0), F 2 (5, 0), 10, 6, 3 d) C(5, 0), F 1 (1, 0), F 2 (9, 0), 6, 8, 10 e) C(0, 5), F 1 (0, 1), F 2 (0, 9), 10, 6, 8
- A equação da elipse que passa pelos pontos (2, 0), (-2,
- e (0, 1) é:
a) x^2 + 4y 2 = 4 b) x^2 + c) 2x 2 – 4y 2 = 1 d) x^2 – 4y 2 = 4 e) x^2 + y 2 = 4
- Sabendo-se que a elipse , a > 0 e b > 0, passa pelos pontos (2, 3) e (0, 3), então a + b vale:
a) 5 d) 6 b) 5 e) 12 c) 2
- A equação 9x 2 + 4y 2 – 18x – 16y – 11 = 0 é de uma elipse. Os semi-eixos maior e menor medem:
a) 4 e 3 d) 3 e 2 b) 4 e 2 e) 3 e 1 c) 4 e 1
- A hipérbole de equação 4x 2 – 9y 2 = 36 tem distância focal igual a:
a) 2 b) 6 c) 4 d) e) 13
- Um dos focos da hipérbole x 2 – 2y 2 – 2x – 8y – 11 = 0 é:
a) d) (1, -2) b) e) (3, -2) c)
- A equação da hipérbole de centro (3, 1), eixo transverso (paralelo ao eixo das abscissas) medindo 2a = 6 e com excentricidade 2 é:
a) b) c) d) e)
- A equação da hipérbole de excentricidade 3, centro (1,
- e eixo conjugado paralelo ao eixo das abscissas medindo 2b = 4 é:
a) b) c) d) e)
- Um ponto P da elipse dista 2 de um dos focos. Qual é a distância de P ao outro foco da elipse.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
- A equação da circunferência com centro na origem e cujo raio é igual ao semi-eixo menor da elipse x^2 + 4y^2 = 4 é:
a) x^2 + y 2 = b) x^2 + y 2 = 16 c) x^2 + y^2 = 4 d) x^2 + y 2 = 1 e) nda.
- (^) A equação da elipse do centro no ponto (2, -6), de distância focal 2c = 2 e cujo eixo maior, paralelo a Oy, tem comprimento 2a = 30 é:
a) b) c) d) e) nda.
- A equação da reta que passa pelo ponto A(3, -2) e pelo centro da elipse x 2 + 4y^2 – 4x = 0 é dada por:
a) y + 2x – 4 = 0 b) y – 2x + 4 = 0 c) 2x + y + 4 = 0 d) 4x + y – 2 = 0 e) nda.
- A equação de uma das assíntotas da hipérbole x^2 – y 2 = 16 é:
a) y = 2x - 1 b) y = 4x c) y = x d) y = 2x + 1 e) y = 2x
- Dada a elipse cuja equação é. Assinale a sentença falsa.
a) Coordenadas de centro é C(1, 3). b) Coordenadas dos vértices (-9, 3) e (11, 3) c) Coordenados dos focos (3, -7) e (3, 9) d) A excentricidade é e) A distância focal é 16.
1 A 41 A
2 B 42 D
3 A 43 E
4 C 44 B
5 E 45 C
6 B 46 B
7 E 47 E
8 A 48 A
9 B 49 C
10 A 50 B
11 C 51 D
12 C 52 C
13 A 53 B
14 E 54 B
15 D 55 B
16 D 56 D
17 A 57 A
18 E 58 C
19 B 59 D
20 C 60 A
21 B 61 C
22 A 62 E
23 B 63 A
24 C 64 E
25 A 65 A
26 A 66 A
27 D 67 D
28 B 68 A
29 C 69 C
30 D 70 E
31 A 71 A
32 C 72 C
33 A 73 D
34 B 74 D
35 C 75 A
36 C 76 C
37 D 77 C
38 A
39 C
40 C
