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Instituto Superior de Engenharia de Coimbra Revis˜ao sobre N´umeros Complexos
- Chama-se n´umero complexo a um n´umero da forma
z = a + bi,
em que a, b ∈ IR e i ´e a unidade imagin´aria, que verifica i^2 = −1; por vezes escreve-se tamb´em i =
Diz-se que a ´e a parte real de z e b a parte imagin´aria; escreve-se
Re(z) = a, Im(z) = b.
- i ´e uma das ra´ızes solu¸c˜oes da equa¸c˜ao x^2 + 1 = 0; a outra solu¸c˜ao ´e −i.
- Dois n´umeros complexos a + bi e c + di dizem-se iguais se a = c e b = d.
- Adi¸c˜ao de complexos. Sejam z = a + bi e w = c + di. Define-se
z + w = (a + c) + (b + d)i.
- Multiplica¸c˜ao de complexos. Sejam z = a + bi e w = c + di. Define-se
zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac − bd) + (ad + bc)i
- Conjugado. Chama-se conjugado do complexo z = a + bi a
z¯ = a − bi.
- M´odulo. Chama-se m´odulo do complexo z = a + bi ao n´umero real n˜ao negativo
|z| = |a + bi| =
a^2 + b^2.
- Propriedade. z ¯z = a^2 + b^2 , isto ´e, z z¯ = |z|^2.
- Regra pr´atica para escrever a divis˜ao z/w, em que w 6 = 0, na forma a + bi:
z w
z w¯ w w¯
z w¯ |w|^2
isto ´e, multiplicam-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
- Exemplo. Escrever o complexo 3+2 2+5ii na forma alg´ebrica a + bi:
3 + 2i 2 + 5i
= (3 + 2i)(2^ −^5 i) (2 + 5i)(2 − 5 i)
= 6 −^15 i^ + 4i^ −^10 i
2 22 + 5^2 =
i.
- Representa¸c˜ao geom´etrica de n´umeros complexos
Consideremos um referencial ortonormado xOy no plano. A cada complexo z = a + bi fazemos corresponder o ponto de abcissa a e ordenada b: P (a, b). y
x
z = a + bi
O a
b b
Ao ponto P (a, b) chama-se afixo (ou imagem) do complexo z = a + bi. O afixo de 0 + 0i ´e a origem. O eixo dos xx ´e designado por eixo real e o eixo dos yy por eixo imagin´ario. Quando se estabelece a correspondˆencia a + bi → P (a, b), dizemos que o plano xOy ´e o plano complexo ou plano de Argand.
- Representa¸c˜ao de n´umeros complexos na forma polar (ou trigonom´etrica)
Chama-se argumento do complexo z ao ˆangulo θ formado pela semi-recta Oz e pela parte positiva do eixo dos xx; escreve-se θ = arg(z). Como ´e ´obvio, o argumento de z n˜ao ´e ´unico, pois qualquer ˆangulo da forma
θ + 2kπ, (k = ± 1 , ± 2 ,.. .)
´e um argumento de z. No entanto, existe um ´unico argumento em ] − π, π], chamado argumento principal. y
x
θ
z ρ
O a
b b
Para calcular θ = arg(z), determina-se um ˆangulo θ tal que
tg θ = b a
(a 6 = 0)
tendo em conta o quadrante onde se encontra o afixo de z.
Exemplo. Calcular o argumento do complexo z = − 1 − i. Como
tg θ =
podemos, erradamente, ser levados a pensar que θ = π/4. Ora acontece que o afixo de z est´a no 3o^ quadrante e, portanto, θ = − 3 π/4. Tamb´em pod´ıamos escolher θ = 5π/4.
Dado um complexo z = a + bi, podemos observar na figura acima que a = ρ cos θ e b = ρ sin θ, onde ρ = |z| =
a^2 + b^2. Logo, z = a + bi = ρ(cos θ + i sin θ). Esta representa¸c˜ao do complexo z ´e chamada a forma polar ou trigonom´etrica. Se atendermos `a conhecida f´ormula de Euler eθi^ = cos θ + i sin θ,
zk = √nρ e(^
θ+2 nkπ )i , k = 0, 1 ,... , n − 1.
Exemplo. Calcular as ra´ızes de ´ındice 4 (ra´ızes quartas) de w = −3 + i
Escrevendo w na forma polar obtemos (confirmar!)
w = −3 + i
12 e^5 πi/^6.
Aplicando a f´ormula, obtemos as seguintes 4 ra´ızes quartas de w:
k = 0 ⇒ z 0 = 8
12 e^5 πi/^24 k = 1 ⇒ z 1 = 8
12 e^17 πi/^24 k = 2 ⇒ z 2 = 8
12 e^29 πi/^24 k = 3 ⇒ z 3 = 8
12 e^41 πi/^24
Na figura seguinte est˜ao representadas as ra´ızes quartas de w.
√ (^812)
z (^1) z 0
z 2 z 3
x
y
b b
b b
- Equa¸c˜ao quadr´atica real Como ´e sabido, as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao quadr´atica real
ax^2 + bx + c = 0,
(a, b, c ∈ IR, a 6 = 0) podem ser obtidas atrav´es da f´ormula resolvente
x = −b^ ±
b^2 − 4 ac 2 a
- Se ∆ = b^2 − 4 ac ≥ 0, a equa¸c˜ao tem duas ra´ızes reais (distintas ou coincidentes);
- Se ∆ = b^2 − 4 ac < 0, a equa¸c˜ao n˜ao admite ra´ızes reais; as suas duas ra´ızes s˜ao complexas conjugadas
x =
−b + i
2 a ∨^ x^ =^
−b − i
2 a.
