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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Conjuntos numéricos são coleções de números que possuem características semelhantes. Eles nasceram como resultado das necessidades da humanidade em determinado período histórico. Veja quais são eles! Conjunto dos Números Naturais O conjunto dos Números Naturais foi o primeiro de que se teve notícia. Nasceu da simples necessidade de se fazer contagens, por isso, seus elementos são apenas os números inteiros e não negativos. Representado por N, o conjunto dos números naturais possui os seguintes elementos: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, …} Conjunto dos Números Inteiros O conjunto dos números inteiros é uma ampliação do conjunto dos números naturais. Ele é formado pela união do conjunto dos números naturais com os números negativos. Em outras palavras, o conjunto dos números inteiros, representado por Z, possui os seguintes elementos: Z = {…, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, …} Conjunto dos Números Racionais O conjunto dos números racionais nasceu da necessidade de dividir quantidades. Portanto, esse é o conjunto dos números que podem ser escritos na forma de fração. Representado por Q, o conjunto dos números racionais possui os seguintes elementos: Q = {x ∈ Q: x = a/b, a ∈ Z e b ∈ N} A definição acima é lida da seguinte maneira: x pertence aos racionais, tal que x é igual a a dividido por b, com a pertencente aos inteiros e b pertencente aos naturais. Em outras palavras, se é fração ou um número que pode ser escrito na forma de fração, então é um número racional. Os números que podem ser escritos na forma de fração são: 1 – Todos os números inteiros; 2 – Decimais finitos; 3 – Dízimas periódicas. Os decimais finitos são aqueles que possuem um número finito de casas decimais. Observe: 1, 2,
Aluno (a)_______________________________________________________________________________ Professor (a) __________________________________________________________________________ 4, Dízimas periódicas são decimais infinitos, mas que repetem a sequência final de suas casas decimais. Observe: 2,333333.... 4,45454545.... 6,758975897589.... Conjunto dos Números Irracionais A definição de números irracionais depende da definição de números racionais. Portanto, pertencem ao conjunto dos números irracionais todos os números que não pertencem ao conjunto dos racionais. Dessa forma, ou um número é racional ou ele é irracional. Não existe possibilidade de um número pertencer a esses dois conjuntos simultaneamente. Dessa maneira, o conjunto dos números irracionais é complementar ao conjunto dos números racionais dentro do universo dos números reais. Outra maneira de definir o conjunto dos números irracionais é a seguinte: Os números irracionais são aqueles que não podem ser escritos na forma de fração. São eles: 1 – Decimais infinitos 2 – Raízes não exatas Os decimais infinitos são números que possuem infinitas casas decimais e que não são dizimas periódicas. Por exemplo: 0,12345678910111213... π √ Conjunto dos Números Reais O conjunto dos números reais é formado por todos os números citados anteriormente. Sua definição é dada pela união entre o conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais. Representado por R, esse conjunto pode ser escrito matematicamente da seguinte maneira: R = Q U I = {Q + I} I é o conjunto dos números irracionais. Dessa maneira, todos os números citados anteriormente são também números reais. Conjunto dos Números Complexos O conjunto dos números complexos nasceu da necessidade de se encontrar raízes não reais de equações de grau maior ou igual a 2. Ao tentar resolver a equação x^2 + 2x + 10 = 0, por exemplo, por meio da fórmula de Bhaskara, teremos: x^2 + 2x + 10 = 0 a = 1, b = 2 e c = 10
Aluno (a)_______________________________________________________________________________ Professor (a) __________________________________________________________________________ Exemplo: Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t} e B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto união (A U B). Para encontrar o conjunto união basta juntar os elementos dos dois conjuntos dados. Temos de ter o cuidado de incluir os elementos que se repetem nos dois conjuntos uma única vez. Assim, o conjunto união será: A U B = {c, a, r, e, t, i, o, u} Intersecção de Conjuntos A intersecção de conjuntos corresponde aos elementos que se repetem nos conjuntos dados. Ela é representada pelo símbolo ∩. Exemplo : Dados os conjuntos A = {c, a, r, e, t } e B= B = {a, e, i, o, u}, represente o conjunto intersecção (). Devemos identificar os elementos comuns nos conjuntos dados que, neste caso, são os elementos a e e , assim o conjunto intersecção ficará: = {a, e} Obs : quando dois conjuntos não apresentam elementos em comum, dizemos que a intersecção entre eles é um conjunto vazio. Nesse caso, esses conjuntos são chamados de disjuntos : A ∩ B = Ø
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MMC - MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM
O mínimo múltiplo comum (MMC) corresponde ao menor número inteiro positivo, diferente de zero, que é múltiplo ao mesmo tempo de dois ou mais números. Lembre-se que para encontrar os múltiplos de um número, basta multiplicar esse número pela sequência dos números naturais. Note que o zero (0) é múltiplo de todos os números naturais e que os múltiplos de um número são infinitos. Para saber se um número é múltiplo de um outro, devemos descobrir se um é divisível pelo outro. Por exemplo, 25 é múltiplo de 5, pois ele é divisível por 5. Obs: Além do MMC, temos o MDC que corresponde ao máximo divisor comum entre dois números inteiros. Para essas situações, o melhor é usar o método da fatoração, ou seja, decompor os números em fatores primos. Acompanhe, no exemplo abaixo, como calcular o MMC entre 12 e 45 usando esse método: Cálculo do MMC através da fatoração Observe que nesse processo vamos dividindo os elementos pelos números primos, ou seja, aqueles números naturais divisíveis por 1 e por ele mesmo: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19... No final, multiplicam-se os números primos que foram utilizados na fatoração e encontramos o MMC. MDC - MÁXIMO DIVISOR COMUM O máximo divisor comum (MDC ou M.D.C) corresponde ao maior número divisível entre dois ou mais números inteiros.
Aluno (a)_______________________________________________________________________________ Professor (a) __________________________________________________________________________ Assim, pela fatoração podemos concluir que o 4 (2x2) é o maior número que divide ambos e, portanto, é o máximo divisor comum de 20 e 24. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Os critérios de divisibilidade nos ajudam a saber antecipadamente quando um número natural é divisível por um outro. Ser divisível significa que quando dividimos esses números, o resultado será um número natural e o resto será igual a zero. Vamos apresentar os critérios de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10. Divisibilidade por 2 Todo número cujo algarismo da unidade é par será divisível por 2, ou seja, os números terminados por 0, 2, 4, 6 e 8. Exemplo O número 438 é divisível por 2, pois termina em 8, que é um número par. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismo é um número divisível por 3. Exemplo Verifique se os números 65283 e 91277 são divisíveis por 3. Solução Somando os algarismos dos números indicados, temos: 6 +5+2+8+3= 9 + 1 + 2 + 7 + 7 = 26 Como 24 é um número divisível por 3 (6. 3 = 24), então 65283 é divisível por 3. Já o número 26, não é divisível por 3, portanto, 91277 também não é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Para um número ser divisível por 4 é necessário que seus dois últimos algarismos sejam 00 ou divisíveis por 4. Exemplo Qual das opções abaixo apresenta um números que não é divisível por 4? a) b)
Aluno (a)_______________________________________________________________________________ Professor (a) __________________________________________________________________________ c) d) 70832 Solução Para responder a questão, vamos verificar os dois últimos algarismos de cada opção: a) 48 é divisível por 4 (12.4=48). b) 00 é divisível por 4. c) 35 não é divisível por 4, pois não existe nenhum número natural que multiplicado por 4 seja igual a 35. d) 32 é divisível por 4 ( 8. 4 = 32) Portanto, a resposta é a letra c. O número 97235 não é divisível por 4. S Divisibilidade por 5 Um número será divisível por 5 quando o algarismo da unidade for igual a 0 ou 5. Exemplo Comprei um pacote com 378 canetas e quero guardá-las em 5 caixas, de forma que em cada caixa tenha o mesmo número de canetas e que não sobre nenhuma caneta. Isso será possível? Solução O algarismo da unidade do número 378 é diferente de 0 e 5, logo não será possível dividir as canetas em 5 partes iguais sem sobrar resto. Divisibilidade por 6 Para um número ser divisível por 6 é necessário que seja ao mesmo tempo divisível por 2 e por 3. Exemplo Verifique se o número 43722 é divisível por 6. Solução O algarismo da unidade do número é par, logo ele é divisível por 2. Temos ainda que verificar se também é divisível por 3, para isso vamos somar todos os algarismos: 4 + 3 + 7 + 2 + 2 = 18 Como o número é divisível por 2 e por 3, também será divisível por 6. Divisibilidade por 7 Para saber se um número é divisível por 7 siga os seguintes passos: Separe o algarismo da unidade do número
Aluno (a)_______________________________________________________________________________ Professor (a) __________________________________________________________________________ 4 + 2 + 6 + 5 + 1 + 3 = 21 Como 21 não é divisível por 9, então o número 426 513 também não será. Divisibilidade por 10 Todo número que o algarismo da unidade é igual a zero é divisível por 10. Exemplo O resultado da expressão 76 + 2. 7 é um número divisível por 10? Solução Resolvendo a expressão: 76 + 2. 7 = 76 + 14 = 90 90 é divisível por 10, pois termina com 0.
Praticando...
- A respeito dos conjuntos numéricos, de suas definições e das relações de inclusão existentes entre eles, assinale a alternativa verdadeira: a) O conjunto dos números naturais é formado pelos números inteiros positivos. b) O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números inteiros positivos e negativos. c) O conjunto dos números racionais contém o conjunto dos números reais. d) O conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais. e) O conjunto dos números reais é disjunto do conjunto dos números racionais.
- A soma entre os 10 sucessores de um número natural é igual a 155. Que número natural é esse? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
- (UFSE)
Aluno (a)_______________________________________________________________________________ Professor (a) __________________________________________________________________________ Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C e 20 votos para A e C. Em consequência: a) venceu A, com 120 votos. b) venceu A, com 140 votos. c) A e B empataram em primeiro lugar. d) venceu B, com 140 votos. e) venceu B, com 180 votos.
4. (ENEM) No dia 17 de Maio próximo passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma Universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da Universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é: a) 20 alunos b) 26 alunos c) 34 alunos d) 35 alunos e) 36 alunos
- (Vunesp) Para dividir os números 36 e 54 por respectivos menores números inteiros consecutivos de modo que se obtenham os mesmos quocientes em divisões exatas, esses números só podem ser, respectivamente: a) 6 e 7 b) 5 e 6 c) 4 e 5 d) 3 e 4 e) 2 e 3
- (Fuvest/SP) No alto da torre de uma emissora de televisão, duas luzes “piscam” com frequências diferentes. A primeira “pisca” 15 vezes por minuto e a segunda “pisca” 10 vezes por minuto. Se num certo instante, as luzes piscam simultaneamente, após quantos segundos elas voltarão a “piscar simultaneamente”?
Aluno (a)_______________________________________________________________________________ Professor (a) __________________________________________________________________________ d) 40 e) 80
- Analise as seguintes afirmações: I - O número 3 744 é divisível por 3 e por 4. II - O resultado da multiplicação de 762 por 5 é um número divisível por 10. III - Todo número par é divisível por 6. Assinale a alternativa correta a) Apenas a afirmação I é verdadeira. b) As alternativas I e III são falsas. c) Todas as afirmações são falsas. d) Todas as afirmações são verdadeiras. e) Apenas as alternativas I e II são verdadeiras.
- Dentre os números apresentados abaixo, o único que não é divisível por 7 é: a) 546 b) 133 c) 267 d) 875 Seu futuro começa aqui! Abraços! Prof Elane Batista.
